初中数学人教版九年级上册22.1 二次函数的图象和性质综合与测试测试题

这是一份初中数学人教版九年级上册22.1 二次函数的图象和性质综合与测试测试题，共9页。试卷主要包含了已知抛物线y=x2－3x－4.，画图如图所示等内容，欢迎下载使用。

01 基础题
知识点1 二次函数y=ax2＋bx＋c的图象和性质
1．若二次函数y=x2＋bx＋5配方后为y=(x－2)2＋k，则b，k的值分别为(D)
A．0，4 B．0，1 C．－4，5 D．－4，1
2．抛物线y=x2＋4x＋3的对称轴是(C)
A．直线x=1 B．直线x=－1 C．直线x=－2 D．直线x=2
3．二次函数y=3x2＋6x－1的开口方向、顶点坐标分别是(A)
A．开口向上，顶点坐标为(－1，－4) B．开口向下，顶点坐标为(1，4)
C．开口向上，顶点坐标为(1，4) D．开口向下，顶点坐标为(－1，－4)
4．抛物线y=x2－2x＋m2＋2(m是常数)的顶点在(A)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．二次函数y=ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，1)，则a＋b＋1的值是(D)
A．－3 B．－1 C．2 D．3
6．已知二次函数y=ax2＋bx＋c的x、y的部分对应值如下表：
则该二次函数图象的对称轴为(D)
A．y轴 B．直线x=2.5 C．直线x=2 D．直线x=1.5
7．点P1(1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y=－x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(C)
A．y3>y2>y1 B．y3>y1>y2 C．y1>y2>y3 D．y1=y2>y3
8．二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法错误的是(D)
A．函数有最小值
B．对称轴是直线x=eq \f(1,2)
C．当xD．当－10
9．已知抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴的公共点是(－4，0)，(2，0)，则这条抛物线的对称轴是直线x=－1．
10．已知抛物线y=x2－3x－4.
先确定该抛物线的开口方向、对称轴和顶点，再在下面网格中画出抛物线．
解：y=x2－3x－4=(x－eq \f(3,2))2－eq \f(25,4).
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=eq \f(3,2)，
顶点坐标为(eq \f(3,2)，－eq \f(25,4))．画图如图所示．
知识点2 二次函数y=ax2＋bx＋c的图象变换
11．将抛物线y=x2－4x－4先向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到抛物线的表达式为(D)
A．y=(x＋1)2－13 B．y=(x－5)2－3
C．y=(x－5)2－13 D．y=(x＋1)2－3
12．如果将抛物线y=x2＋2x－1向上平移，使它经过点A(0，3)，那么所得新抛物线的解析式是y=x2＋2x＋3．
02 中档题
13．若抛物线y=－x2＋bx＋c经过点(－2，3)，则2c－4b－9的值是(A)
A．5 B．－1 C．4 D．18
14．若二次函数y=(m＋1)x2－mx＋m2－2m－3的图象经过原点，则m的值为(C)
A．－1或3 B．－1 C．3 D．－3或1
15．抛物线y=－2x2－4x－5经过平移得到y=－2x2，平移方法是(D)
A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
16．若一次函数y=(a＋1)x＋a的图象过第一、三、四象限，则二次函数y=ax2－ax(B)
A．有最大值eq \f(a,4) B．有最大值－eq \f(a,4) C．有最小值eq \f(a,4) D．有最小值－eq \f(a,4)
17．二次函数y=ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表：
给出下列说法：
①抛物线与y轴的交点为(0，6)；
②抛物线的对称轴在y轴的左侧；
③抛物线一定经过点(3，0)；
④在对称轴左侧y随x的增大而增大．
从表中可知，其中正确的个数为(B)
A．4 B．3 C．2 D．1
18．如图，抛物线y=x2－2x－3与y轴交于点C，点D的坐标为(0，－1)，在第四象限抛物线上有一点P.若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，则点P的横坐标为(A)
A．1＋eq \r(2) B．1－eq \r(2) C.eq \r(2)－1 D．1－eq \r(2)或1＋eq \r(2)
提示：令x=0，则y=－3，∴点C的坐标为(0，－3)．
∵点D的坐标为(0，－1)，∴线段CD中点的纵坐标为eq \f(1,2)×(－1－3)=－2.
∵△PCD是以CD为底边的等腰三角形，∴点P的纵坐标为－2.
∴x2－2x－3=－2，解得x1=1－eq \r(2)，x2=1＋eq \r(2)，
∵点P在第四象限，∴点P的横坐标为1＋eq \r(2).故选A.
19．如图，抛物线y=ax2－5ax＋4a与x轴相交于点A、B，且过点C(5，4)．
(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标；
(2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．
解：(1)把点C(5，4)代入抛物线y=ax2－5ax＋4a，得25a－25a＋4a=4，解得a=1.
∴该二次函数的解析式为y=x2－5x＋4.
∵y=x2－5x＋4=(x－eq \f(5,2))2－eq \f(9,4)，
∴顶点P的坐标为(eq \f(5,2)，－eq \f(9,4))．
(2)答案不唯一，如：先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的二次函数解析式为y=(x－eq \f(5,2)＋3)2－eq \f(9,4)＋4=(x＋eq \f(1,2))2＋eq \f(7,4)，即y=x2＋x＋2.
03 综合题
20．设二次函数y1，y2的图象的顶点坐标分别为(a，b)，(c，d)．若a=－2c，b=－2d，
且开口方向相同，则称y1是y2的“反倍顶二次函数”．
(1)请写出二次函数y=x2－x＋1的一个“反倍顶二次函数”；
(2)已知关于x的二次函数y1=x2＋nx和二次函数y2=2x2－nx＋1.若函数y1恰是y2的“反倍顶二次函数”，求n的值．
解：(1)∵y2=x2－x＋1=(x－eq \f(1,2))2＋eq \f(3,4)，顶点坐标为(eq \f(1,2)，eq \f(3,4))，∴y1的顶点坐标为(－1，－eq \f(3,2))．
又∵开口方向相同，
∴二次函数y=x2－x＋1的一个“反倍顶二次函数”可以是y1=(x＋1)2－eq \f(3,2).
(2)∵y1=x2＋nx=(x＋eq \f(n,2))2－eq \f(n2,4)，y2=2x2－nx＋1=2(x－eq \f(n,4))2－eq \f(n2－8,8)，
由题意，得－eq \f(n2,4)=(－2)×(－eq \f(n2－8,8))，解得n=±2.
第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
01 基础题
知识点1 利用“三点式”求二次函数解析式
1．已知二次函数y=x2＋bx＋1的图象经过点(1，3)，则该二次函数的解析式为y=x2＋x＋1．
2．已知A(0，3)，B(2，3)是抛物线y=－x2＋bx＋c上两点，该抛物线的顶点坐标是(1，4)．
3．已知二次函数y=ax2＋bx＋c，当x=0时，y=1；当x=－1时，y=6；当x=1时，y=0.求这个二次函数的解析式．
解：由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b＋c＝0，,a－b＋c＝6，,c＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－3，,c＝1.))
∴这个二次函数的解析式为y=2x2－3x＋1.
4．如图，抛物线y=x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求该抛物线的对称轴以及顶点坐标．
解：(1)∵抛物线y=x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－b＋c＝0，,9＋3b＋c＝0.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝－2，,c＝－3.))
∴该抛物线的解析式是y=x2－2x－3.
(2)∵y=x2－2x－3=(x－1)2－4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，－4)．
知识点2 利用“顶点式”求二次函数解析式
5.已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为(0，－1)，那么这个二次函数的解析式可以是y=2x2－1(答案不唯一)．(只需写一个)
6．若二次函数y=ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值如下表：
则此二次函数的解析式为y=－2x2－12x－13.
7．已知抛物线的顶点坐标是(3，－1)，与y轴的交点是(0，－4)，求这个二次函数的解析式．
解：∵抛物线的顶点坐标是(3，－1)，
∴设二次函数解析式为y=a(x－3)2－1.
又∵图象过点(0，－4)，
∴－4=a(0－3)2－1，解得a=－eq \f(1,3).
∴这个二次函数的解析式为y=－eq \f(1,3)(x－3)2－1.
知识点3 利用“交点式”求二次函数解析式
8．如图所示，抛物线的函数解析式是(D)
A．y=eq \f(1,2)x2－x＋4 B．y=－eq \f(1,2)x2－x＋4 C．y=eq \f(1,2)x2＋x＋4 D．y=－eq \f(1,2)x2＋x＋4
9．经过A(4，0)，B(－2，0)，C(0，3)三点的抛物线的解析式是y=－eq \f(3,8)(x－4)(x＋2)．
10．已知抛物线与x轴交于点A(－3，0)，对称轴是直线x=－1，且过点(2，4)，求抛物线的解析式．
解：∵抛物线与x轴交于点A(－3，0)，对称轴是直线x=－1，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(1，0)．
设抛物线的解析式为y=a(x＋3)(x－1)，
将点(2，4)代入，得4=a(2＋3)(2－1)，解得a=eq \f(4,5).
∴抛物线的解析式为y=eq \f(4,5)(x＋3)(x－1)，即y=eq \f(4,5)x2＋eq \f(8,5)x－eq \f(12,5).
02 中档题
11．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是(D)
A．y=x2－x－2
B．y=－eq \f(1,2)x2－eq \f(1,2)x＋2
C．y=－eq \f(1,2)x2－eq \f(1,2)x＋1
D．y=－x2＋x＋2
12．二次函数y=－x2＋bx＋c的图象的最高点是(－1，－3)，则b，c的值分别是(D)
A．b=2，c=4 B．b=2，c=－4 C．b=－2，c=4 D．b=－2，c=－4
13．二次函数的图象如图所示，则其解析式为y=－x2＋2x＋3．
14．设抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)过A(0，2)，B(4，3)，C三点，其中点C在直线x=2上，且点C到抛物线对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为y=eq \f(1,8)x2-eq \f(1,4)x＋2或y=-eq \f(1,8)x2＋eq \f(3,4)x＋2．
15．如图，已知抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，－3)．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=－x上，并写出平移后抛物线的解析式．
解：(1)设抛物线解析式为y=a(x－1)(x－3)．
∵抛物线过点C(0，－3)，
∴－3=a(－1)×(－3)．解得a=－1.
∴y=－(x－1)(x－3)=－x2＋4x－3.
∵y=－x2＋4x－3=－(x－2)2＋1，
∴顶点坐标为(2，1)．
(2)答案不唯一，如：先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为y=－x2，平移后抛物线的顶点为(0，0)落在直线y=－x上．
16．如图，抛物线y=－x2＋bx＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，对称轴是直线x=－3，B(－1，0)，F(0，1)，请解答下列问题：
(1)求抛物线的解析式；
(2)直接写出抛物线顶点E的坐标，并判断AC与EF的位置关系，不需要说明理由．
解：(1)∵B(－1，0)，抛物线的对称轴是直线x=－3，
∴A(－5，0)．
根据题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－25－5b＋c＝0，,－1－b＋c＝0.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝－6，,c＝－5.))
∴抛物线的解析式为y=－x2－6x－5.
(2)E(－3，4)，AC∥EF.
03 综合题
17．如图，已知抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，－3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标．
解：(1)由题意，得y=ax2＋bx－3.
将A(－1，0)、B(3，0)代入y=ax2＋bx＋c，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－b－3＝0，,9a＋3b－3＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－2.))
∴抛物线的函数解析式为y=x2－2x－3.
(2)当P点在x轴上，P，A，B三点在一条直线上时，点P到点A、点B的距离之和最短，
此时直线l为x=－eq \f(b,2a)=1，∴P(1，0)．
x
－1
0
1
2
3
y
5
1
－1
－1
1
x
…
－3
－2
－1
0
1
…
y
…
－6
0
4
6
6
…
x
－7
－6
－5
－4
－3
－2
y
－27
－13
－3
3
5
3