2022版高考人教版数学一轮练习：练案【23理】【22文】 三角函数式的化简与求值

这是一份2022版高考人教版数学一轮练习：练案【23理】【22文】 三角函数式的化简与求值，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A组基础巩固
一、选择题
1．(2021·河北唐山摸底)cs 105°－cs 15°＝( D )
A．eq \f(\r(2),2) B．－eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(\r(6),2) D．－eq \f(\r(6),2)
[解析] 解法一：cs 105°－cs 15°＝cs(60°＋45°)－cs(60°－45°)＝－2sin 60°sin 45°＝－2×eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)＝－eq \f(\r(6),2)，故选D.
解法二：由题意可知cs 105°－cs 15°＝－sin 15°－cs 15°＝－(sin 15°＋cs 15°)＝－eq \r(2)sin(45°＋15°)＝－eq \r(2)sin 60°＝－eq \f(\r(6),2)，故选D.
2．(2020·北京东城区模拟)eq \f(cs 85°＋sin 25°cs 30°,cs 25°)等于( C )
A．－eq \f(\r(3),2) B．eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(1,2) D．1
[解析] 原式＝eq \f(sin 5°＋\f(\r(3),2)sin 25°,cs 25°)
＝eq \f(sin30°－25°＋\f(\r(3),2)sin 25°,cs 25°)＝eq \f(\f(1,2)cs 25°,cs 25°)＝eq \f(1,2).
3．(2021·山东青岛调研)已知sin α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，tan(π－β)＝eq \f(1,2)，则tan(α－β)的值为( A )
A．－eq \f(2,11) B．eq \f(2,11)
C.eq \f(11,2) D．－eq \f(11,2)
[解析] ∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin α＝eq \f(3,5)，
∴cs α＝－eq \f(4,5)，tan α＝－eq \f(3,4)，
又tan(π－β)＝eq \f(1,2)，∴tan β＝－eq \f(1,2)，
∴tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan α·tan β)＝eq \f(－\f(3,4)＋\f(1,2),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))＝－eq \f(2,11).
4．(2021·湖南岳阳三校第一次联考改编)已知α为三角形内角，且满足cs 2α＝sin α，则α的值为( D )
A．30° B．135°
C．60° D．150°或30°
[解析] 由cs 2α＝sin α，得1－2sin2α＝sin α，即2sin2α＋sin α－1＝0，得sin α＝eq \f(1,2)或sin α＝－1.因为α为三角形内角，所以sin α＝eq \f(1,2)，所以α＝30°或150°，故选D.
5．(2020·广东佛山一中月考)设α为锐角，若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4,5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))的值为( B )
A．eq \f(12,25) B．eq \f(24,25)
C．－eq \f(24,25) D．－eq \f(12,25)
[解析] 因为α为锐角，且cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4,5)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \r(1－cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6))))＝eq \f(3,5)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝2×eq \f(3,5)×eq \f(4,5)＝eq \f(24,25)，故选B.
6．(2021·河南郑州一中月考)若eq \f(2cs2α＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2α))－1,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4))))＝4，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))＝( C )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,3)
C.eq \f(1,4) D．eq \f(1,5)
[解析] ∵eq \f(2cs2α＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2α))－1,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4))))＝eq \f(cs 2α－sin 2α,sin 2α＋cs 2α)＝eq \f(1－tan 2α,1＋tan 2α)＝4，∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))＝eq \f(1＋tan 2α,1－tan 2α)＝eq \f(1,4).故选C.
7．(2020·全国高考信息卷)若α为第二象限角，且sin 2α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))cs(π－α)，则eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,4)))的值为( A )
A．－eq \f(1,5) B．eq \f(1,5)
C.eq \f(4,3) D．－eq \f(4,3)
[解析] ∵sin 2α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))cs(π－α)，
∴2sin αcs α＝－cs2α，∵α是第二象限角，
∴cs α≠0,2sin α＝－cs α，∴4sin2α＝cs2α＝1－sin2α，
∴sin2α＝eq \f(1,5)，∴eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,4)))＝cs 2α＋sin 2α＝cs2α－sin2α＋2sin αcs α＝－sin2α＝－eq \f(1,5)，故选A．
8．(2020·江西九江两校第二次联考改编)已知函数f(x)＝(2cs2x－1)sin 2x＋eq \f(1,2)cs 4x，若α∈(0，π)，且f(α)＝eq \f(\r(2),2)，则α的值为( C )
A．eq \f(π,16) B．eq \f(11π,16)
C.eq \f(9π,16)或eq \f(π,16) D．eq \f(7π,16)
[解析] 由题意知f(x)＝cs 2xsin 2x＋eq \f(1,2)cs 4x＝eq \f(1,2)sin 4x＋eq \f(1,2)cs 4x＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,4)))，
因为f(α)＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4α＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)，
所以4α＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，即α＝eq \f(π,16)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z.
因为α∈(0，π)，所以α＝eq \f(π,16)或α＝eq \f(π,16)＋eq \f(π,2)＝eq \f(9π,16)，故选C.
二、填空题
9．(2021·江苏镇江中学模拟)tan 10°＋tan 50°＋eq \r(3)tan 10°tan 50°＝ eq \r(3) .
[解析] ∵tan 60°＝tan(10°＋50°)＝eq \f(tan 10°＋tan 50°,1－tan 10°tan 50°)，
∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)＝eq \r(3)－eq \r(3)tan 10°tan 50°，
∴原式＝eq \r(3)－eq \r(3)tan 10°tan 50°＋eq \r(3)tan 10°tan 50°＝eq \r(3).
10．(2021·福建宁德质检)若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \r(2)(sin α＋2cs α)，则sin 2α＝ －eq \f(3,5) .
[解析] ∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \r(2)(sin α＋2cs α)，∴sin α＋3cs α＝0，故tan α＝－3，
sin 2α＝2sin αcs α＝eq \f(2sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(2tan α,tan2α＋1)＝eq \f(－6,－32＋1)＝－eq \f(3,5).
11．(此题为更换后新题)(2020·浙江诸暨中学期中)eq \f(sin 10°＋sin 50°,sin 35°sin 55°)＝__2__.
[解析] 原式＝eq \f(sin30°－20°＋sin30°＋20°,sin 35°cs 35°)＝
eq \f(2sin 30°cs 20°,\f(1,2)sin 70°)＝eq \f(cs 20°,\f(1,2)sin 70°)＝2.
11．(此题为发现的重题，更换新题见上题)(2020·浙江诸暨中学期中)eq \f(\r(3)tan 12°－3,4cs212°－2sin 12°)＝－4eq \r(3) .
[解析] 原式＝eq \f(\f(\r(3)sin 12°－3cs 12°,cs 12°),2cs 24°sin 12°)
＝eq \f(2\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin 12°－\f(\r(3),2)cs 12°)),cs 24°sin 24°)
＝eq \f(4\r(3)sin12°－60°,sin 48°)＝－4eq \r(3).
12．(2021·山东烟台模拟)已知θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),10)，则tan θ＝ eq \f(4,3) ，tan 2θ＝ －eq \f(24,7) .
[解析] 解法一：由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),10)，得sin θ－cs θ＝eq \f(1,5)，可得2sin θcs θ＝eq \f(24,25)，
又θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，可求得sin θ＋cs θ＝eq \f(7,5)，
∴sin θ＝eq \f(4,5)，cs θ＝eq \f(3,5)，
∴tan θ＝eq \f(4,3)，tan 2θ＝eq \f(2tan θ,1－tan2θ)＝－eq \f(24,7).
解法二：∵θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),10)，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(7\r(2),10)，
∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(1,7)＝eq \f(tan θ－1,1＋tan θ)，解得tan θ＝eq \f(4,3).
故tan 2θ＝eq \f(2 tan θ,1－tan2θ)＝－eq \f(24,7).
三、解答题
13．(2021·江西临川一中月考)已知0