2022版高考人教版数学一轮练习：练案【30理】【29文】 平面向量的综合应用

这是一份2022版高考人教版数学一轮练习：练案【30理】【29文】 平面向量的综合应用，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 [练案30理][练案29文]第四讲　平面向量的综合应用A组基础巩固一、选择题1．若O为△ABC内一点，||＝||＝||，则O是△ABC的(　B　)A．内心　　 B．外心　　　C．垂心　　 D．重心[解析]　由向量模的定义知O到△ABC的三顶点距离相等，故O是△ABC的外心，故选B.2．设a，b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，则必有(　A　)A．a⊥b　　 B．a∥bC．|a|＝|b|　　 D．|a＋b|＝|a|[解析]　f(x)＝－(a·b)x2＋(a2－b2)x＋a·b.依题意知f(x)的图象是一条直线，所以a·b＝0，即a⊥b.故选A.3．已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足·＝x2－6，则点P的轨迹是(　D　)A．圆　　 B．椭圆C．双曲线　　 D．抛物线[解析]　因为＝(－2－x，－y)，＝(3－x，－y)，所以·＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2－6，所以y2＝x，即点P的轨迹是抛物线．故选D.4．已知A，B是圆心为C半径为的圆上两点，且||＝，则·等于(　A　)A．－　　 B．　　　C．0　　 D．[解析]　由于弦长|AB|＝与半径相等，则∠ACB＝60°⇒·＝－·＝－||·||·cos ∠ACB＝－×·cos 60°＝－.5．已知向量a＝(1，sin θ)，b＝(1，cos θ)，则|a－b|的最大值为(　B　)A．1　　 B．　　　C.　　 D．2[解析]　∵a＝(1，sin θ)，b＝(1，cos θ)，∴a－b＝(0，sin θ－cos θ)．∴|a－b|＝＝.∴|a－b|最大值为.故选B.6．(2020·山东高考预测卷)已知向量a＝(1,2)，b＝(m,1)(m<0)，且向量b满足b·(a＋b)＝3，则(　C　)A．|b|＝B．(2a＋b)∥(a＋2b)C．向量2a－b与a－2b的夹角为D．向量a在b方向上的投影为[解析]　将a＝(1,2)，b＝(m,1)代入b·(a＋b)＝3，得(m,1)·(1＋m,3)＝3，得m2＋m＝0，解得m＝－1或m＝0(舍去)，所以b＝(－1,1)，所以|b|＝＝，故A错误；因为2a＋b＝(1,5)，a＋2b＝(－1,4)，1×4－(－1)×5＝9≠0，所以2a＋b与a＋2b不平行，故B错误；设向量2a－b与a－2b的夹角为θ，因为2a－b＝(3,3)，a－2b＝(3,0)，所以cos θ＝＝，所以θ＝，故C正确；向量a在b方向上的投影为＝＝，故D错误．7．(2021·银川调研)若平面四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是(　C　)A．直角梯形　　 B．矩形C．菱形　　 D．正方形[解析]　由＋＝0得平面四边形ABCD是平行四边形，由(－)·＝0得·＝0，故平行四边形的对角线垂直，所以该四边形一定是菱形，故选C.8．(2021·安徽省黄山市高三第一次质量检测)如图，在△ABC中，∠BAC＝，＝2，P为CD上一点，且满足＝m＋，若△ABC的面积为2，则||的最小值为(　B　)A.　　 B．　　　C．3　　 D．[解析]　＝m＋＝m＋，由于P、C、D共线，所以m＝，设AC＝b，AB＝c，S△ABC＝bcsin A＝bc＝2，∴bc＝8，||2＝2＝2＝＝(b2＋4c2＋2bc)≥×6bc＝3，∴||≥，故选B.二、填空题9．在△ABC中，若·＝·＝2，则边AB的长等于__2__.[解析]　由题意知·＋·＝4，即·(＋)＝4，即·＝4，所以||＝2.10．已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是　　.[解析]　由已知可得Δ＝|a|2＋4a·b＝0，即4|b|2＋4×2|b|2cos θ＝0，所以cos θ＝－，又因为0≤θ≤π，所以θ＝.11．已知向量m＝，n＝.若m·n＝1，则cos＝　－　.[解析]　m·n＝sin cos ＋cos2＝sin ＋＝sin＋，因为m·n＝1，所以sin＝.因为cos＝1－2sin2＝，所以cos＝－cos＝－.故填－.12．(2021·蚌埠模拟)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点.·的最大值为__1__.[解析]　(1)解法一：如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，设E(t,0)，0≤t≤1，则D(0,1)，C(1,1)，＝(t，－1)，＝(1,0)，∴·＝t≤1.解法二：选取{，}作为基底，设＝t，0≤t≤1，则·＝(t－)·＝t≤1.解法三：设＝t，则·＝·＝||·1·cos ∠AED＝||＝|t|||＝|t|≤1.三、解答题13．在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈.(1)若m⊥n，求tan x的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值．[解析]　(1)因为m＝，n＝(sin x，cos x)，m⊥n，所以m·n＝0，即sin x－cos x＝0，所以sin x＝cos x，所以tan x＝1.(2)由已知得|m|＝|n|＝1，所以m·n＝|m|·|n|cos ＝，即sin x－cos x＝，所以sin＝.因为0<x<，所以－<x－<，所以x－＝，即x＝.14．(2020·甘肃会宁一中高三上第二次月考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(2sin B，－)，n＝，且m∥n.(1)求锐角B的大小；(2)如果b＝2，求△ABC的面积S△ABC的最大值．[解析]　(1)∵m∥n，∴2sin B＝－cos 2B，∴sin 2B＝－cos 2B，即tan 2B＝－.又∵B为锐角，∴2B∈(0，π)，∴2B＝，∴B＝.(2)∵B＝，b＝2，∴由余弦定理cos B＝，得a2＋c2－ac－4＝0.又∵a2＋c2≥2ac，∴ac≤4(当且仅当a＝c＝2时等号成立)，∴S△ABC＝acsin B＝ac≤(当且仅当a＝c＝2时等号成立)．∴△ABC的面积的最大值为.B组能力提升1．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(a，b)与n＝(cos A，sin B)平行，则A＝(　B　)A.　　 B．　　　C.　　 D．[解析]　因为m∥n，所以asin B－bcos A＝0，由正弦定理，得sin Asin B－sin Bcos A＝0，又sin B≠0，从而tan A＝，由于0<A<π，所以A＝.2．(2021·邵阳大联考)在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量m＝，n＝，p＝共线，则△ABC的形状为(　A　)A．等边三角形　　 B．等腰三角形C．直角三角形　　 D．等腰直角三角形[解析]　由题意得acos ＝bcos ，acos ＝ccos ，由正弦定理得sin Acos ＝sin Bcos ⇒sin ＝sin ⇒B＝A，同理可得C＝A，所以△ABC为等边三角形．故选A.3．(理)已知点M(－3,0)，N(3,0)．动点P(x，y)满足||·||＋·＝0，则点P的轨迹的曲线类型为(　B　)A．双曲线　　 B．抛物线C．圆　　 D．椭圆(文)(2020·天津市宁河区芦台第一中学高考模拟)如图所示，等边△ABC的边长为2，D为边AC上的一点，且＝λ，△ADE也是等边三角形，若·＝，则λ的值是(　A　)A.　　 B．　　　C.　　 D．[解析]　(理)＝(3,0)－(－3,0)＝(6,0)，||＝6，＝(x，y)－(－3,0)＝(x＋3，y)，＝(x，y)－(3,0)＝(x－3，y)，所以||·||＋·＝6＋6(x－3)＝0，化简可得y2＝－12x.故点P的轨迹为抛物线．故选B.(文)·＝(＋)·(＋＋)＝2＋·＋·＋·＋2＋·＝22＋2·2λcos －2·2λ＋2·2λcos ＋4λ2＋4λ2cos ＝2λ2＋4＝⇒λ2＝，因为λ>0，所以λ＝，选A.4．已知函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的部分图象如图所示，A，B分别是这部分图象上的最高点、最低点，O为坐标原点，若·＝0，则函数f(x＋1)是(　D　)A．周期为4π的函数　　 B．周期为2π的函数C．奇函数　　 D．偶函数[解析]　由题图可得A，B，由·＝0得－3＝0，又ω>0，所以ω＝，所以f(x)＝sin x，所以f(x＋1)＝sin ＝cos x，它是周期4的偶函数．故选D.5．(2021·湖南五市十校联考)已知向量m＝(cos x，sin x)，n＝(cos x，cos x)，x∈R，设函数f(x)＝m·n＋.(1)求函数f(x)的解析式及单调递增区间；(2)设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，若f(A)＝2，b＋c＝2，△ABC的面积为，求a的值．[解析]　(1)由题意知f(x)＝cos2x＋sin xcos x＋＝sin＋1，令2x＋∈，k∈Z，解得x∈，k∈Z，∴函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.　(2)∵f(A)＝sin＋1＝2，∴sin＝1.∵0<A<π，∴<2A＋<，∴2A＋＝，即A＝.由△ABC的面积S＝bcsin A＝，得bc＝2.又b＋c＝2，∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－2bc(1＋cos A)，解得a＝－1.