北师大版必修53.1基本不等式导学案

§3　基本不等式

3.1　基本不等式

1．基本不等式

阅读教材P88～P89阅读材料以上部分，完成下列问题．

(1)基本不等式

如果a，b都是非负数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立，称上述不等式为基本不等式，其中称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数，该不等式又被称为均值不等式．

(2)基本不等式的文字叙述

两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

(3)意义

①几何意义：半径不小于半弦．

②数列意义：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．

思考：(1)不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)成立吗？如何证明？

[提示]　成立，证明如下：由a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，知a2＋b2≥2ab．

(2)设x＞0，y＞0，比较＋和的大小．

[提示]　在不等式a＋b≥2中令a＝，b＝可得＋≥.

2．基本不等式的证明

一般地，对于任意实数a，b，我们有a2＋b2≥2ab，

当且仅当a＝b时，等号成立．

特别地，如果a>0，b>0，我们用，分别代替a，b可得a＋b≥2，

通常我们把上式写作≤(a>0，b>0)．

下面我们来证明一下：

要证　≥， ①

只要证　a＋b≥2， ②

要证②只要证a＋b－2≥0， ③

要证③只要证(－)2≥0， ④

显然④成立，当且仅当a＝b时④中的等号成立．

1．给出下列条件：①ab＞0；②ab＜0；③a＞0，b＞0；④a＜0，b＜0，其中能使＋≥2成立的条件有(　　)

A．1个　 B．2个

C．3个 D．4个

C　[当，均为正数时，＋≥2，故只须a、b同号即可，∴①③④均可以．]

2．不等式x＋4≥4(x＞0)中等号成立的条件是________．

x＝4　[由a＋b≥2(a＞0，b＞0)中等号成立的条件是a＝b知x＝4.]

3．比较大小：________x.

≥　[在不等式≥ab中令a＝x，b＝，可得≥x，当x＝时等号成立．]

4．设常数a>0，若9x＋≥a＋1对一切正实数x成立，则a的取值范围是________．

　[由题意知，当x>0时，ƒ(x)＝9x＋≥2＝6a≥a＋1⇒a≥.]

【例1】　已知0<a<1,0<b<1，则a＋b,2，a2＋b2,2ab中哪一个最大？

[解]　因为a>0，b>0，所以a＋b≥2，a2＋b2≥2ab，所以四个数中最大数应为a＋b或a2＋b2.

又因为0<a<1,0<b<1，

所以a2＋b2－(a＋b)＝a2－a＋b2－b＝a(a－1)＋b(b－1)<0，

所以a2＋b2<a＋b，所以a＋b最大．

(1)在使用基本不等式≤(a≥0，b≥0)时，要注意不等式的双向性．

①从左到右：常使用基本不等式的变形公式ab≤2；

②从右到左：常使用a＋b≥2.

(2)运用基本不等式比较大小应注意等号成立的条件．

(3)特殊值法是解决不等式的一个有效方法， 但要使特殊值具有一般性．

1．设a>0，b>0，试比较，，，的大小，并说明理由．

[解]　因为a>0，b>0，所以＋≥；

即≥(当且仅当a＝b时取等号)，

又2＝≤

＝，所以≤(当且仅当a＝b时等号成立)，

而≤，故≥≥≥(当且仅当a＝b时等号成立)．

【例2】　已知x，y都是正数．

求证：(1)＋≥2；

(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.

[证明]　(1)∵x，y都是正数，

∴＞0，＞0，

∴＋≥2＝2，即＋≥2，

当且仅当x＝y时，等号成立．

(2)∵x，y都是正数，∴x＋y≥2＞0，

x2＋y2≥2＞0，x3＋y3≥2＞0.

∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2·2·2＝8x3y3，

即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3，

当且仅当x＝y时，等号成立．

利用基本不等式证明不等式的注意点

(1)在利用基本不等式证明时，要注意查看基本不等式成立的条件是否满足，若所证明的不等式中含有等号，还要注意等号是否能成立．

(2)在证明过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项，或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便利用基本不等式．

2．已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，

证明：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc．

[证明]　(1－a)(1－b)(1－c)＝(b＋c)(a＋c)(a＋b)≥ 2·2·2＝8abc．

当且仅当b＝c＝a＝时，等号成立．

[探究问题]

1．如何用a，b表示PQ、OP的长度？

[提示]　由射影定理可知PQ＝，而OP＝AB＝.

2．通过OP与PQ的大小关系，你能得出怎样的不等式？

[提示]　半径OP＝，显然，它大于或等于PQ，即≥，其中当且仅当点Q与圆心O重合．

如图所示，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQ＝a，BQ＝b，过点Q作PQ垂直AB于Q，连结AP，PB．你能利用这个图形得出基本不等式≥的几何解释吗？

【例3】　已知a，b，c＞0，求证：a＋b＋c≥＋＋.

思路探究：利用基本不等式及不等式的性质证明．

[证明]　∵a＞0，b＞0，c＞0，

∴a＋b≥2，

b＋c≥2，

a＋c≥2，

∴2(a＋b＋c)≥2(＋＋)，

即a＋b＋c≥＋＋，当且仅当a＝b＝c时等号成立．

1．(变结论)例3的条件不变，求证：(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc．

[证明]　因为a＞0，b＞0，c＞0，所以a＋b≥2＞0，b＋c≥2＞0，a＋c≥2＞0，

所以(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2×2×2＝8abc，即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc，

当且仅当a＝b＝c时等号成立．

2．(变条件)例3的条件中添加“＋＋＝1”，试比较a＋b＋c与9的大小关系．

[解]　因为＋＋＝1，所以a＋b＋c＝(a＋b＋c)＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝3＋2＋2＋2＝9.

当且仅当a＝b＝c＝3时等号成立，

即a＋b＋c≥9.

利用基本不等式证明不等式的技巧

(1)证明不等式时要对其进行合理的拆分，如例3中把a＋b＋c拆分为a＋b，b＋c和c＋a，以便应用基本不等式得出不等关系．

(2)证明不等式时要注意应用不等式的性质，如不等式的可加性、可乘性等．

1．在利用基本不等式时要注意等号成立的条件，特别是连续应用基本不等式时要注意各不等式等号成立的条件是否一致．

2．在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理拆分或适当恒等变形，以便于利用基本不等式．

3．由基本不等式变形得到的常见的结论

(1)ab≤2≤(a，b∈R)；

(2)≤≤(a，b∈R＋)；

(3)＋≥2(a，b同号)；

(4)(a＋b)≥4(a，b∈R＋)；

(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若a，b∈R，则≥.(　　)

(2)不等式a2＋b2≥2ab中等号成立的条件是a＝b．(　　)

(3)2≥ab成立的条件是a＞0，b＞0.(　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)×

[提示]　(1)错误，当a＞0，b＞0时，不等式才能成立；

(2)正确；(3)错误，由2－ab＝－ab

＝＝(a－b)2≥0可知，2≥ab对任意的a，b∈R都成立．

2．若xy＝3，则(　　)

A．x2＋y2≥6　 B．x2＋y2≤6

C．x2＋y2≥3 D．x2＋y2≤3

A　[由x2＋y2≥2xy得x2＋y2≥6.]

3．若a∈R时，下列不等式成立的是________．

①a2＋≥a；②a(1－a)≤；③＋a≥2；④a2＋≥2.

①②④　[由基本不等式知，①④正确，②显然正确，③只有当a＞0时才成立．]

4．设a＞0，b＞0，c＞0，且ab＋bc＋ac＝1，求证a2＋b2＋c2≥1.

[证明]　a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，

相加可得(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(a2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ac．

即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac＝1.

当且仅当a＝b＝c时等号成立．