数学3.2基本不等式与最大(小)值导学案

3.2　基本不等式与最大(小)值

不等式与最大(小)值

阅读教材P90～P91“例2”以上部分，完成下列问题．

x，y都为正数时，下面的命题成立

(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值；

(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2.

思考：(1) 函数y＝x＋的最小值是2吗？

[提示]　不是，只有当x＞0时，才有x＋≥2，当x＜0时，没有最小值．

(2)设a＞0,2a＋取得最小值时，a的值是什么？

[提示]　2a＋≥2＝2，当且仅当2a＝，即a＝时，取得最小值．

1．下列函数中，最小值为4的函数是(　　)

A．y＝x＋ B．y＝sin x＋(0＜x＜π)

C．y＝ex＋4e－x D．y＝log3x＋logx81

C　[A中x＝－1时，y＝－5＜4，B中y＝4时，sin x＝2，D中x与1的关系不确定，选C．]

2．当x＞0时，x＋的最小值为________．

6　[因为x＞0，所以x＋≥2＝6，当且仅当x＝，即x＝3时等号成立．]

3．当x∈(0,1)时，x(1－x)的最大值为________．

　[因为x∈(0,1)，

所以1－x＞0，

故x(1－x)≤2＝，

当x＝1－x，

即x＝时等号成立．]

4．若点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________．

8　[由已知点A在直线mx＋ny＋1＝0上

所以2m＋n＝1，

所以＋＝＋＝4＋≥8.]

【例1】　(1)已知x>2，则y＝x＋的最小值为________．

(2)若0<x<，则函数y＝x(1－2x)的最大值是________．

(1)6　(2)　[(1)因为x>2，所以x－2>0，

所以y＝x＋＝x－2＋＋2

≥2＋2＝6，

当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立．

所以y＝x＋的最小值为6.

(2)因为0<x<，所以1－2x>0，

所以y＝x·(1－2x)＝×2x×(1－2x)

≤2＝×＝，当且仅当2x＝1－2x，即当x＝时，ymax＝.]

在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件．

1．(1)已知t>0，则函数y＝的最小值为________．

(2)设0<x≤2，则函数ƒ(x)＝的最大值为________．

(1)－2　(2)2　[(1)依题意得y＝t＋－4≥2－4＝－2，等号成立时t＝1，即函数y＝(t>0)的最小值是－2.

(2)因为0<x≤2，所以0<2x≤4,8－2x≥4>0，

故ƒ(x)＝

＝

＝·≤×＝2，

当且仅当2x＝8－2x，即x＝2时取等号，

所以当x＝2时，ƒ(x)＝的最大值为2.]

【例2】　如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(如图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？

[解]　法一：设矩形广告牌的高为x cm，宽为y cm，则每栏的高和宽分别为(x－20) cm，cm，其中x>20，y>25，则两栏面积之和为2(x－20)×＝18 000，由此得y＝＋25，

所以广告牌的面积S＝xy＝

x＝＋25x，

整理得S＝＋25(x－20)＋18 500.

因为x－20>0，

所以S≥2＋18 500＝24 500.

当且仅当＝25(x－20)时等号成立，

此时有(x－20)2＝14 400，解得x＝140，

代入y＝＋25，得y＝175.

即当x＝140，y＝175时，S取得最小值24 500.

故当广告牌的高为140 cm，宽为175 cm时，可使矩形广告牌的面积最小．

法二：设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，则ab＝9 000，其中a>0，b>0.

易知广告牌的高为(a＋20) cm，宽为(2b＋25)cm.

广告牌的面积S＝(a＋20)(2b＋25)＝2ab＋40b＋25a＋500＝18 500＋25a＋40b≥18 500＋2＝24 500，当且仅当25a＝40b时等号成立，此时b＝a，

代入ab＝9 000得a＝120，b＝75.

即当a＝120，b＝75时，S取得最小值24 500.

故当广告牌的高为140 cm，宽为175 cm时，可使矩形广告牌的面积最小．

在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：

(1)先理解题意，设变量时一般把要求最值的变量定为函数；

(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；

(3)在定义域内，求出函数的最值；

(4)写出正确答案．

2．(1)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N＋)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．

(2)用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

(1)5　8　[每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，且x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．]

(2)[解]　设矩形菜园的长为x m、宽为y m，则2(x＋y)＝36，x＋y＝18，矩形菜园的面积为xy m2.

由≤＝＝9，可得xy≤81，当且仅当x＝y，

即x＝y＝9时，等号成立．

因此，这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积为81 m2.

[探究问题]

1．(1)当x＞0时，有最大值，还是最小值？

(2)当x＞0时，有最大值，还是最小值？

[提示]　(1)当x＞0时，＝x＋≥2＝2，

当x＝1时等号成立，即有最小值2.

(2)当x＞0时，＝，因为x＋≥2，所以≤，故有最大值.

2．(1)设a＞0，b＞0，(a＋b)的最小值是什么？

(2)设a＞0，b＞0，且a＋b＝1，＋的最小值是什么？

[提示]　(1)(a＋b)＝3＋＋≥3＋2，当b＝a时等号成立；

(2)由于a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)≥2＋3，

当b＝a，即a＝－1，b＝2－时，＋的最小值为3＋2.

【例3】　(1)若对任意的x＞0，≤a恒成立，求a的取值范围．

(2)设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，求＋的最小值．

思路探究：(1)在中，分子、分母同时除以x，求得的最大值，可得a的范围．

(2)由条件求得a与b的关系式，可求＋的最小值．

[解]　(1)设f(x)＝＝，∵x＞0，∴x＋≥2，∴f(x)≤，即f(x)max＝，∴a≥.

(2)由题意得，3a·3b＝()2，即a＋b＝1，

∴＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，

当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立．

1．(变条件)(1)在例3(2)中，若3是3a与3b的等比中项，求＋的最小值．

(2)在例3(2)中，把条件换为“和的等差中项是”，求2a＋b的最小值．

[解]　(1)由3是3a与3b的等比中项，得3a＋b＝32，即a＋b＝2，故(a＋b)＝1，所以＋＝(a＋b)

＝≥＝2，

当a＝b＝1时等号成立．

(2)由于和的等差中项是，则＋＝1，

故2a＋b＝(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9.

当a＝b＝3时等号成立．

2．(变条件)把例3(2)的条件换为“a＞0，b＞0，且a＋b＋ab＝1”，求a＋b的最小值．

[解]　a＋b＋ab＝1，得b＝＞0，故0＜a＜1，

故a＋b＝a＋＝a＋

＝a＋－1＝a＋1＋－2

≥2－2＝2－2，

当a＋1＝，即a＝－1时等号成立．

最值法解答恒成立问题

将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的处理方法，其一般类型有：

(1)f(x)＞a恒成立⇔a＜f(x)min.

(2)f(x)＜a恒成立⇔a＞f(x)max.

1．利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．

2．使用基本不等式求最值时，若等号取不到，则考虑用函数单调性求解．

3．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用基本不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个正数的积为定值，它们的和一定能在两个数相等时取得最小值．(　　)

(2)函数y＝sin x＋的最小值为2.(　　)

(3)函数y＝＋的最小值为2.(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×

[提示]　(1)错误，这两个数可能不相等，如当x∈(0，π)时，sin x与的积为定值，但sin x≠；

(2)错误，sin x＜0时，函数不存在最小值．

(3)错误，因为只有＝，即x2＋4＝1，x2＝－3时才能取到最小值，但x2＝－3不成立，故(3)错．

2．若x>0，y>0且2(x＋y)＝36，则的最大值为(　　)

A．9　　　 B．18

C．36 D．81

A　[由2(x＋y)＝36得x＋y＝18.

所以≤＝9，

当且仅当x＝y＝9时，等号成立．]

3．一批货物随17列货车从A市以v千米/时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于2千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要________小时．

8　[设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则t＝＝＋≥2＝8(小时)，

当且仅当＝，即v＝100时，等号成立，此时t＝8小时．]

4．求函数f(x)＝的最大值．

[解]　f(x)＝＝，

因为＋≥2＝2，当x＝1时等号成立，所以f(x)≤.