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初中数学苏科版九年级上册第2章 对称图形——圆2.7 弧长及扇形的面积达标测试
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这是一份初中数学苏科版九年级上册第2章 对称图形——圆2.7 弧长及扇形的面积达标测试，共19页。试卷主要包含了如图，把直径为的圆形车轮A等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学期苏科版九年级数学上《2.7弧长及扇形的面积》同步强化训练
（时间：90分钟 满分：120分）
一．选择题(每小题2分 共30分)
1．如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ）
A．πcm B．2πcm C．3πcm D．4πcm
第1题图 第3题图 第4题图
2．若圆弧的半径为3，所对的圆心角为60°，则弧长为（ ）
A．π B．π C．π D．3π
3．计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：若圆半径为1，当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d（x）．下列描述正确的是（ ）
A．d（25%）＝1 B．当x＞50%时，d（x）＞1
C．当x1＞x2时，d（x1）＞d（x2） D．当x1+x2＝100%时，d（x1）＝d（x2）
4．如图，扇形OAB中，OB＝3，∠AOB＝100°，点C在OB上，连接AC，点O关于AC的对称点D刚好落在上，则的长是（ ）
A． B． C． D．
5.如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心在．将弓形沿x轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为时，圆心的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
第5题图 第6题图 第7题图
6．如图，把直径为的圆形车轮（）在水平地面上沿直线l无滑动地滚动一周，设初始位置的最低点为P，则下列说法错误的是（ ）A．当点P离地面最高时，圆心O运动的路径的长为B．当点P再次回到最低点时，圆心O运动的路径的长为 C．当点P第一次到达距离地面的高度时，圆心O运动的路径的长为
D．当点P第二次到达距离地面的高度时，圆心O运动的路径的长为
7．将一个半径为1的圆形轮子沿直线l水平向右滚动，图中显示的是轮子上的点P的起始位置与终止位置，其中在起始位置时，在终止位置时与l所夹锐角为60°，则滚动前后，圆心之间的距离可能为（ ）
A． B． C．π D．
8．如图，一根长为2米的竹竿放在墙角，刚开始它与地平线（即直线l）夹角为，当它下滑一段距离后，与地平线的夹角变成，则竹竿中点M经过的路程长为（ ）
A． B． C． D．
第8题图 第9题图 第10题图 第11题图 第12题图
9．如图，在扇形OAB中，OC⊥AB于点D，AB＝8，将△ODB绕点O点逆时针旋转60°，则线段DB扫过的图形面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，⊙的半径为5，A、B是圆上任意两点，且，若弦绕点O旋转一周，则扫过区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，是等腰直角三角形，，，把绕点按顺时针方向旋转45°后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）A． B． C． D．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，则的长为（ ）
A． B．π C． D．
13．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，与AC交于点E，连接CD并延长与⊙O过点A的切线交于点F，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．1﹣
第13题图 第14题图 第15题图 第16题图
14．如图，正方形的边，和 都是以为半径的圆弧，阴影两部分的面积分别记为和，则- 等于（ ）A． B． C． D．
15．如图，点A、B、C、D都在边长为1的网格格点上，以A为圆心，AE为半径画弧，弧EF经过格点D，则扇形AEF的面积是（ ）
A． B． C．π D．
二．填空题(每小题2分 共30分)
16．如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为m（米），某车在标有R＝300处的弯道上从点A行驶了100π米到达点B，则线段AB＝ 米．
17．如图，直角三角形ABC中，，将三角形的斜边AB放在定直线L上，将点A按顺时针方向在L上转动两次，转动到的位置，设BC＝1，AC＝，AB＝2，则点A所经过的路线长是____________．
第17题图 第18题图 第19题图
18．如图，等腰放置在直线上，，.将绕点旋转，使点的对应点落在直线上，再将第一次旋转得到的三角形绕点继续旋转，使其顶点落在直线上点处，则点经过的路径总长为_____（结果保留）．19．如图，正六边形的边长为2，点是四边形内的一个动点，若（1）______；（2）动点所经过的路线长是______．
20.如图，⊙O的半径为10，A、D是圆上任意两点，且AD＝8，以AD为边作正方形ABCD（点C、O在直线AD两侧）若AD边绕点O旋转一周，则BC边扫过的面积为___．
第20题图 第21题图 第22题图 第23题图
21．如图，将绕点C顺时针旋转得到．已知，则线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为__________________．
22．如图，在中，，，，点从点出发沿方向运动，到达点B时停止运动，连结，点关于直线的对称点为，连接A′C，．在运动过程中，点到直线距离的最大值是_______；点到达点时，线段扫过的面积为___________．
23．如图，是半圆O的直径，以O为圆心，C为半径的半圆交于C、D两点，弦切小半圆于点E．已知，，则图中阴影部分的面积为_________（结果保留）
第23题图 第24题图 第25题图 第25题图
24．如图，矩形ABCD，AB＝2，AD＝4，E是AD中点，连接BE、CE，分别以B、C为圆心，BE、CE为半径画弧交BC于点G、F，则图中阴影部分面积为___．
25．如图，在长方形ABCD中，AB=5，AD=3，以点D为圆心，AD长为半径画弧，交线段CD延长线于点E，连接EB，则图中阴影部分的面积为___________（结果保留π）
26．图①中特种自行车的轮子形状为“勒洛三角形”，图②是其一个轮子的示意图，“勒洛三角形”是分别以等边三角形ABC三个顶点A，B，C为圆心，以边长为半径的三段弧围成的图形．若这个等边三角形ABC的边长为30cm，则这种自行车一个轮子的周长为 cm．
27．如图，在矩形ABCD中，AB＞BC，以点B为圆心，AB的长为半径的圆分别交CD边于点M，交BC边的延长线于点E．若DM＝CE，的长为2π，则CE的长 ．
第27题图 第28题图 第29题图 第30题图
28．如图，将一块含45°角的直角三角尺ABC在水平桌面上绕点B按顺时针方向旋转到A1BC1的位置，若AB＝8cm，那么点A旋转到A1所经过的路线长为 cm（结果保留π）．
29．如图，四边形ABCD是正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的．其中：的圆心为点A，半径为AD；的圆心为点B，半径为BA1；的圆心为点C，半径为CB1；的圆心为点D，半径为DC1；…，…的圆心依次按点A，B，C，D循环．若正方形ABCD的边长为1，则的长是 ．
30．如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为 ．
三． 解答题（60分）
31．（6分）如图，扇形AOB中，半径OA在直线l上，∠AOB＝120°，OA＝1，矩形EFGH的边EF也在l上，且EH＝2，OE＝将扇形AOB在直线l上向右滚动．（1）滚动一周时得到扇形A′O′B′，这时OO′＝______．
（2）当扇形与矩形EFGH有公共点时停止滚动，设公共点为D，则DE＝_______．
32．（6分）如图①，小慧同学把一个等边三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕B1点按顺时针方向旋转120°，点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）．
小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO1和弧O1O2，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和．
小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：
（1） 若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形OABC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程；
（2）正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是？
33．（9分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为．（1）画出关于x轴对称的，并写出点的坐标（2）画出绕点O顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；（3）在（2）的条件下，求点A旋转到点所经过的路径长（结果保留）．
34．（10分）将一物体（视为边长为米的正方形）从地面上挪到货车车厢内．如图所示，刚开始点与斜面上的点重合，先将该物体绕点按逆时针方向旋转至正方形的位置，再将其沿方向平移至正方形的位置（此时点与点重合），最后将物体移到车厢平台面上．已知，，过点作于点，米，米．（1）求线段的长度；（2）求在此过程中点运动至点所经过的路程．
35．（10分）已知在中，，，将绕点逆时针方向旋转一定的角度（）得到．（1）如图1，边交边于点．①求证：；②当恰好垂直时，点走过的路径长为______；
（2）如图2，边与边交于点，与交于点，与交于点．若，求的度数．
36．（9分）直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上．（1）将向下平移5个单位得到；（2）画出绕点逆时针旋转后得到的；（3）在（2）的条件下，求在旋转过程中扫过的面积．
37．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点M，OM交⊙O于点N，连结AM．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）若DN=4，AC=8，求线段MN的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
教师样卷
一．选择题(每小题2分 共30分)
1．如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ）
A．πcm B．2πcm C．3πcm D．4πcm
【答案】D 解：根据题意，重物的高度为＝4π（cm）． 故选：D．
第1题图 第3题图 第4题图
2．若圆弧的半径为3，所对的圆心角为60°，则弧长为（ ）
A．π B．π C．π D．3π
【答案】B 解：弧长l＝＝π， 故选：B．
3．计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：若圆半径为1，当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d（x）．下列描述正确的是（ ）
A．d（25%）＝1 B．当x＞50%时，d（x）＞1
C．当x1＞x2时，d（x1）＞d（x2） D．当x1+x2＝100%时，d（x1）＝d（x2）
【答案】D解：A、d（25%）＝＞1，本选项不符合题意．B、当x＞50%时，0≤d（x）＜2，本选项不符合题意．C、当x1＞x2时，d（x1）与d（x2）可能相等，可能不等，本选项不符合题意．D、当x1+x2＝100%时，d（x1）＝d（x2），本选项符合题意．故选：D．
4．如图，扇形OAB中，OB＝3，∠AOB＝100°，点C在OB上，连接AC，点O关于AC的对称点D刚好落在上，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B解：连接OD，∵点D是点O关于AC的对称点，∴AD＝OA，∵OA＝OD，∴OA＝OD＝AD，∴△OAD为等边三角形，∴∠AOD＝60°，∴∠BOD＝100°﹣60°＝40°，∴的长＝＝π，故选：B．
5.如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心在．将弓形沿x轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为时，圆心的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】如图，圆心在，可得r=2∴OA=，AB=2r=4，BC=，==∴一个周期圆心经过的路径长为OA++BC=4，∴C（4+2，0），故当圆心经过的路径长为时，÷4=505…1∴圆心的横坐标是505×（4+2）+=故选D．
第5题图 第6题图 第7题图
6．如图，把直径为的圆形车轮（）在水平地面上沿直线l无滑动地滚动一周，设初始位置的最低点为P，则下列说法错误的是（ ）A．当点P离地面最高时，圆心O运动的路径的长为B．当点P再次回到最低点时，圆心O运动的路径的长为 C．当点P第一次到达距离地面的高度时，圆心O运动的路径的长为
D．当点P第二次到达距离地面的高度时，圆心O运动的路径的长为
【答案】C【详解】圆心运动的路径即为圆滚动的距离．当点P离地面最高时，圆滚动半圈，圆心O运动的路径的长为，故A正确，不符合题意．当点P再次回到最低点时，圆滚动一圈，圆心O运动的路径的长为，故B正确，不符合题意．当点P第一次到达距离地面的高度时，圆滚动圈，圆心O运动的路径的长为，故C错误，符合题意．当点P第二次到达距离地面的高度时，圆滚动圈，圆心O运动的路径的长为，故D正确，不符合题意．故选：C．
7．将一个半径为1的圆形轮子沿直线l水平向右滚动，图中显示的是轮子上的点P的起始位置与终止位置，其中在起始位置时，在终止位置时与l所夹锐角为60°，则滚动前后，圆心之间的距离可能为（ ）
A． B． C．π D．
【答案】B【详解】解：由题意可得，圆形轮子可能滚动不止一周，设OP滚动了n周后又滚动120°后到达终止位置，∴OP滚动的角度α＝120°＋360n，n为整数，可得圆心运动前后的距离即为OP滚动完毕扫过的角度所对应的弧长，即为2πr×＝＋2nπ，n为整数．当n＝0时为．故选：B．
8．如图，一根长为2米的竹竿放在墙角，刚开始它与地平线（即直线l）夹角为，当它下滑一段距离后，与地平线的夹角变成，则竹竿中点M经过的路程长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】连接OM，OM´，点M的路程是：以O为圆心，OM为半径的圆弧，由此解答即可.在Rt△ABO中，∠ABO=60°,点M为AB的中点，∵∠OAB=30°,∴OM=AB= ∴OB=AB=∴△BOM为等边三角形，∠MOB=60°,在Rt△A´OB´∠A´B´O=∠M´B´O=30°,
∴∠MOM´=∠MOB-∠M´B´O=60°-30°=30°∴弧AM= ∴则竹竿中点M经过的路程长为.故答案为：A.
第8题图 第9题图 第10题图 第11题图 第12题图
9．如图，在扇形OAB中，OC⊥AB于点D，AB＝8，将△ODB绕点O点逆时针旋转60°，则线段DB扫过的图形面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】解：如图，在扇形OAB中，OC⊥AB于点D，AB＝8，∴AD＝BD＝AB＝4，在Rt△OBD中，OB2−OD2＝BD2＝16，∵△ODB绕O旋转60°到△OD′B′，∴△ODB≌△OD′B′，∴∠DOD′＝∠BOB′＝60°，∴S扇形ODD′＝，S扇形OBB′＝∴S阴影＝S扇形OBB′−S扇形ODD′＝-==．
故选：C．
10．如图，⊙的半径为5，A、B是圆上任意两点，且，若弦绕点O旋转一周，则扫过区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D 解：根据题意，线段AB旋转一周的过程中，扫过区域的面积是圆环的面积；过O作OC⊥AB，如图由垂径定理，则，∵，∴，∴圆环的面积为：；故选：D．
11．如图，是等腰直角三角形，，，把绕点按顺时针方向旋转45°后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）A． B． C． D．
【答案】B【详解】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，AB=AC=2，∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，∴∠BAB′=∠CAC′=45°，∴点B′、C、A共线，∴线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积=S扇形BAB′+S△AB′C′-S扇形CAC′-S△ABC=S扇形BAB′-S扇形CAC′=π．故选：B．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，则的长为（ ）
A． B．π C． D．
【答案】C解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，∠B＝90°，∴AE＝AD＝2，∵AB＝，∴cos∠BAE＝＝，∴∠BAE＝30°，∴∠EAD＝60°，∴的长＝＝，故选：C．
13．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，与AC交于点E，连接CD并延长与⊙O过点A的切线交于点F，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．1﹣
【答案】C【详解】解：如图1，连接OA，∵AF是⊙O的切线，∴∠OAF＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∴∠BAD＝90°，∴BD是⊙O的直径，∵OA＝OB＝OD，∴∠ABO＝∠OAB＝30°，∠OAD＝∠ADO＝∠AOD＝60°，∵∠BDC＝∠BAC＝60°，∴∠ADF＝180°﹣60°﹣60°＝60°＝∠OAD，∴OA∥DF，∴∠F＝180°﹣∠OAF＝90°，∵∠DAF＝30°，∴AD＝2DF，∵⊙O的半径为1，∴AD＝OA＝2，DF＝1，AF=∵∠AOD＝60°，∴阴影部分的面积为：＝＝．故选：C．
第13题图 第14题图 第15题图 第16题图
14．如图，正方形的边，和 都是以为半径的圆弧，阴影两部分的面积分别记为和，则- 等于（ ）A． B． C． D．
【答案】A【详解】解：如图示则可得： 正方形的面积；①两个扇形的面积；②②①，得：．故选：A．
15．如图，点A、B、C、D都在边长为1的网格格点上，以A为圆心，AE为半径画弧，弧EF经过格点D，则扇形AEF的面积是（ ）
A． B． C．π D．
【答案】A 解：由题意，扇形的半径AD＝＝，∠EAF＝45°，∴扇形AEF的面积＝＝．故选：A．
二．填空题(每小题2分 共30分)
16．如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为m（米），某车在标有R＝300处的弯道上从点A行驶了100π米到达点B，则线段AB＝ 米．
【答案】300 解：设线段AB对应的圆心角度数为n，∵100π＝＝，∴n＝60°，又AO＝BO，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝AO＝BO＝300（米），故答案为：300．
17．如图，直角三角形ABC中，，将三角形的斜边AB放在定直线L上，将点A按顺时针方向在L上转动两次，转动到的位置，设BC＝1，AC＝，AB＝2，则点A所经过的路线长是____________．
【答案】．【详解】解：点A的路线是由以B为圆心AB＝2为半径，圆心角为120度所对的弧，加上与以为圆心，AC＝为半径的四分之一圆弧长之和，即＝． 故答案为：．
第17题图 第18题图 第19题图
18．如图，等腰放置在直线上，，.将绕点旋转，使点的对应点落在直线上，再将第一次旋转得到的三角形绕点继续旋转，使其顶点落在直线上点处，则点经过的路径总长为_____（结果保留）．
【答案】【详解】解：将绕点旋转，使点的对应点落在直线，点到处，如图：根据题意：，，，同理：，根据旋转的性质可知，点A到和到的运动轨迹是分别以C，为圆心，为半径的圆的一部分，两次旋转经过的路径都是圆上经过的弧长所对的圆心角为，设点经过的路径总长为，
，故答案是：．
19．如图，正六边形的边长为2，点是四边形内的一个动点，若（1）______；（2）动点所经过的路线长是______．
【答案】120° 【详解】（1）由题意结合正六边形的性质可知CF平分，且．∴．∵，
∴．故答案为：．（2）如图，延长CB、FA，交于点N，由（1），可知点M在的外接圆上的劣弧上．设该外接圆圆心为O，作．由题意可知，即为等边三角形，∴，∴．∴．由正六边形的性质可知．∴，∴．∴圆O的直径为．∴ ．故答案为：．
20.如图，⊙O的半径为10，A、D是圆上任意两点，且AD＝8，以AD为边作正方形ABCD（点C、O在直线AD两侧）若AD边绕点O旋转一周，则BC边扫过的面积为___．
【答案】16π【详解】解：如图所示，连接OD、OC，过点O作OE⊥AD于点E，延长OE交BC于点F．∵AD为弦，OE⊥AD，由垂径定理可得DE=AE=AD=4．∵四边形ABCD为正方形，∴BC∥AD，AD=BC=8，
∴∠CFO=∠DEO=90°，∴四边形DEFC为矩形，CF=DE=4．∵AD边绕点O旋转一周，则BC边扫过的图形为以OC为外圆半径，OF为内圆半径的圆环，∴圆环面积为S=π•OC2-π•OF2=π（OC2-OF2）=π•CF2=16π．故答案为：16π．
第20题图 第21题图 第22题图 第23题图
21．如图，将绕点C顺时针旋转得到．已知，则线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为__________________．
【答案】【详解】解：如图：由旋转可得：∠ACA′=∠BCB′=120°，又AC=3，BC=2，S扇形ACA′==，S扇形BCB′==则线段AB扫过的图形的面积为=，故答案为：
22．如图，在中，，，，点从点出发沿方向运动，到达点B时停止运动，连结，点关于直线的对称点为，连接A′C，．在运动过程中，点到直线距离的最大值是_______；点到达点时，线段扫过的面积为___________．
【答案】 【详解】解：（1）由题意可得点A′的运动轨迹是以点C为圆心，CA为半径的圆上，∵点从点出发沿方向运动，到达点B时停止运动，，点关于直线的对称点为，∴∠ACA′最大为90°当CA′⊥AB时，点A′到直线AB的距离最大，如图过点B作BE⊥AC∵，，，
∴在Rt△ABE中，BE=1，AE=，在Rt△BCE中，BE=CE=1∴CA′=CA=又∵CA′⊥AB∴在Rt△ACF中，CF=∴A′F=A′C-CF=即点到直线距离的最大值是；点到达点时，线段扫过的面积为
==故答案为：；
23．如图，是半圆O的直径，以O为圆心，C为半径的半圆交于C、D两点，弦切小半圆于点E．已知，，则图中阴影部分的面积为_________（结果保留）
【答案】【详解】解：如图所示，连接OE，OF∵弦AF切小半圆于点E∴OE⊥AF又∵OC=OF∴AE=EF，∠AOE=∠FOE（三线合一）∵OC=OE=1，OA=2∴∠OAE=30°∴∠AOE=FOE=60°∴∠FOD=60°，∠EOD=120°∴
∴，，∴
故答案为：.
第23题图 第24题图 第25题图 第25题图
24．如图，矩形ABCD，AB＝2，AD＝4，E是AD中点，连接BE、CE，分别以B、C为圆心，BE、CE为半径画弧交BC于点G、F，则图中阴影部分面积为___．
【答案】2π-4【详解】解：矩形ABCD，AB=2，AD=4，E是AD中点，∴AB=AE=2，AD∥BC，∴∠ABE=∠AEB=45°，∴∠GBE=∠AEB=45°，∴AB=AE=2，BE=，∴图中阴影部分的面积=2S扇形EBF-S△BEC=2××4×2=2π-4，故答案为2π-4．
25．如图，在长方形ABCD中，AB=5，AD=3，以点D为圆心，AD长为半径画弧，交线段CD延长线于点E，连接EB，则图中阴影部分的面积为___________（结果保留π）
【答案】【详解】解：∵长方形ABCD，AB=5，AD=3，∴AD=BC=3，AB=CD=5，∴阴影部分的面积=圆的面积+矩形的面积-三角形BCE的面积∴阴影部分的面积=故答案为：
26．图①中特种自行车的轮子形状为“勒洛三角形”，图②是其一个轮子的示意图，“勒洛三角形”是分别以等边三角形ABC三个顶点A，B，C为圆心，以边长为半径的三段弧围成的图形．若这个等边三角形ABC的边长为30cm，则这种自行车一个轮子的周长为 cm．
【答案】30π 解：自行车一个轮子的周长＝3×＝30π（cm）．故答案为30π．
27．如图，在矩形ABCD中，AB＞BC，以点B为圆心，AB的长为半径的圆分别交CD边于点M，交BC边的延长线于点E．若DM＝CE，的长为2π，则CE的长 ．
【答案】4﹣2 解：连接BM，则AB＝BE＝BM，设BM＝R，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝BE，∠B＝∠BCD＝90°，∵DM＝VE，
∴CM＝BC，∵的长为2π，∴＝2π，解得：R＝4，
即BM＝BE＝CD＝AB＝4，在Rt△BCM中，由勾股定理得：BC2+CM2＝BM2，BC＝CM＝2，∴CE＝4﹣2，故答案为：4﹣2．
第27题图 第28题图 第29题图 第30题图
28．如图，将一块含45°角的直角三角尺ABC在水平桌面上绕点B按顺时针方向旋转到A1BC1的位置，若AB＝8cm，那么点A旋转到A1所经过的路线长为 cm（结果保留π）．
【答案】6π．解：∵点A旋转到A1所经过的路线长是以点B为圆心，AB为半径，旋转角度是180﹣45＝135°，∴根据弧长公式可得：＝6πcm．故填空答案：6π．
29．如图，四边形ABCD是正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的．其中：的圆心为点A，半径为AD；的圆心为点B，半径为BA1；的圆心为点C，半径为CB1；的圆心为点D，半径为DC1；…，…的圆心依次按点A，B，C，D循环．若正方形ABCD的边长为1，则的长是 ．
【答案】4039π 解：由图可知，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1，AD＝AA1＝1，BA1＝BB1＝2，……，ADn﹣1＝AAn＝4（n﹣1）+1，BAn＝BBn＝4（n﹣1）+2，故的半径为BA2020＝BB2020＝4（2020﹣1）+2＝8078，的弧长＝．故答案为：4039π．
30．如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为 ．
【答案】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D＝CD′，由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，∴∠COD′＝90°，∴CD′＝＝＝2，的长l＝＝，∴阴影部分周长的最小值为2+＝．
故答案为：．
四． 解答题（60分）
31．（6分）如图，扇形AOB中，半径OA在直线l上，∠AOB＝120°，OA＝1，矩形EFGH的边EF也在l上，且EH＝2，OE＝将扇形AOB在直线l上向右滚动．（1）滚动一周时得到扇形A′O′B′，这时OO′＝______．
（2）当扇形与矩形EFGH有公共点时停止滚动，设公共点为D，则DE＝_______．
【答案】 【详解】（1）扇形AOB滚动一周得到扇形A′O′B′，∵∠AOB＝120°，OA＝1∴∴（2）∵∴即扇形AOB滚动5周后，O与E相距，继续滚动，B点与HE相交，即公共点D点，∴，，∴
32．（6分）如图①，小慧同学把一个等边三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕B1点按顺时针方向旋转120°，点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）．
小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO1和弧O1O2，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和．
小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：
（2） 若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形OABC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程；
（2）正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是？
【答案】（1）；；；（2）41次【详解】解：（1）如图所示，正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段弧，即弧OO1、弧O1O2以及弧O2O3，∴ 顶点O运动过程中经过的路程为：，顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积为：=1+π，正方形OABC经过5次旋转，顶点O经过的路程为：．（2）∵ 正方形OABC经过3次旋转，顶点O经过的路程为：，根据第四次正方形旋转O点不动，也就是此时也是正方形OABC经过4次旋转的路程， ∴ π=10×π+π，∴正方形纸片OABC经过了：10×4+1=41次旋转．
33．（9分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为．（1）画出关于x轴对称的，并写出点的坐标（2）画出绕点O顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；（3）在（2）的条件下，求点A旋转到点所经过的路径长（结果保留）．
【答案】（1）见解析，；（2）见解析，；（3）【详解】解：（1）如图所示：即为所求，∴由图象可得；（2）如图所示：即为所求，∴由图象可得；（3）由（2）的图象可得：点A旋转到点所经过的路径为圆弧，∵，∴点A旋转到点所经过的路径长为．
34．（10分）将一物体（视为边长为米的正方形）从地面上挪到货车车厢内．如图所示，刚开始点与斜面上的点重合，先将该物体绕点按逆时针方向旋转至正方形的位置，再将其沿方向平移至正方形的位置（此时点与点重合），最后将物体移到车厢平台面上．已知，，过点作于点，米，米．（1）求线段的长度；（2）求在此过程中点运动至点所经过的路程．
【答案】（1）米；（2）4米．【详解】解：（1）∵MG∥PQ，∴∠FGM=∠FBP=30°．∴在中，（米）．（2）连接A1A2，则必过点D1，且四边形A1BGA2是矩形．∴A1A2=BG=BF-GF=（米）．∵四边形ABCD和四边形A1BC1D1都是正方形，∴AB=A1B，∠A1BC1=∠ABC=90°．∴∠ABA1=180°-∠A1BC1-∠FBP=180°-90°-30°=60°．∴（米）．∴在整个运动过程中，点A运动至A2的路程为：（米）．
35．（10分）已知在中，，，将绕点逆时针方向旋转一定的角度（）得到．（1）如图1，边交边于点．①求证：；②当恰好垂直时，点走过的路径长为______；
（2）如图2，边与边交于点，与交于点，与交于点．若，求的度数．
【答案】（1）①见解析；②；（2）【详解】解：（1）①证明：∵绕点逆时针方向旋转一定的角度得到，；∴，，∴（SAS），∴；
②∵，∴，∴，当恰好垂直时，∴，∴，∴，∵点走过的路径长为以A点为圆心，AB长为半径,圆心角为60°的扇形的弧长，∴点走过的路径长为；故答案为：；（2）如图，过点A作于点，于点,∴，∵是由绕点A逆时针方向旋转得到，，，∴，，，∴,
∴，在和中，，
，，∴（AAS），∴；又∵，，，∴四边形AMPN为正方形，∴平分，，∴．
36．（9分）直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上．（1）将向下平移5个单位得到；（2）画出绕点逆时针旋转后得到的；（3）在（2）的条件下，求在旋转过程中扫过的面积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作．（2）如图，△A2B2C1即为所求作．（3）在（2）的条件下，A1B1扫过的面积==．
37．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点M，OM交⊙O于点N，连结AM．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）若DN=4，AC=8，求线段MN的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）8；（3）【详解】（1）证明：连接OC，如图，∵CM为切线，∴OC⊥CM，∴∠OCM＝90°，∵OD⊥AC，∴AD＝CD，即OE垂直平分AC，∴AM＝CM，在△AOM和△COM中，∴△AOM≌△COM（SSS），∴∠OAM＝∠OCM＝90°，∴AM⊥AO，∴AM与⊙O相切；（2）解：设⊙O的半径为x，则OD＝ON−DN＝x−4，OA＝x，在Rt△OAD中，AD＝AC＝4，∵AD2＋OD2＝OA2，∴(4)2＋(x−4)2＝x2，解得x＝8，∴OD＝4，OA＝8，∴∠OAD＝30°，∴∠AOD＝60°，∴OM＝2OA＝16，∴MN＝OM−ON＝16−8＝8．（3）∵∠AOM＝60°，∠OAM＝90°，∴∠AMO=30°∴在Rt△AOM中，AM＝，∴S阴影＝S四边形AOCM−S扇形OAC＝2××8×8−=．
2021-2022学期苏科版九年级数学上《2.7弧长及扇形的面积》同步强化训练
（时间：90分钟 满分：120分）
一．选择题(每小题2分 共30分)
1．如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ）
A．πcm B．2πcm C．3πcm D．4πcm
第1题图 第3题图 第4题图
2．若圆弧的半径为3，所对的圆心角为60°，则弧长为（ ）
A．π B．π C．π D．3π
3．计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：若圆半径为1，当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d（x）．下列描述正确的是（ ）
A．d（25%）＝1 B．当x＞50%时，d（x）＞1
C．当x1＞x2时，d（x1）＞d（x2） D．当x1+x2＝100%时，d（x1）＝d（x2）
4．如图，扇形OAB中，OB＝3，∠AOB＝100°，点C在OB上，连接AC，点O关于AC的对称点D刚好落在上，则的长是（ ）
A． B． C． D．
5.如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心在．将弓形沿x轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为时，圆心的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
第5题图 第6题图 第7题图
6．如图，把直径为的圆形车轮（）在水平地面上沿直线l无滑动地滚动一周，设初始位置的最低点为P，则下列说法错误的是（ ）A．当点P离地面最高时，圆心O运动的路径的长为B．当点P再次回到最低点时，圆心O运动的路径的长为 C．当点P第一次到达距离地面的高度时，圆心O运动的路径的长为
D．当点P第二次到达距离地面的高度时，圆心O运动的路径的长为
7．将一个半径为1的圆形轮子沿直线l水平向右滚动，图中显示的是轮子上的点P的起始位置与终止位置，其中在起始位置时，在终止位置时与l所夹锐角为60°，则滚动前后，圆心之间的距离可能为（ ）
A． B． C．π D．
8．如图，一根长为2米的竹竿放在墙角，刚开始它与地平线（即直线l）夹角为，当它下滑一段距离后，与地平线的夹角变成，则竹竿中点M经过的路程长为（ ）
A． B． C． D．
第8题图 第9题图 第10题图 第11题图 第12题图
9．如图，在扇形OAB中，OC⊥AB于点D，AB＝8，将△ODB绕点O点逆时针旋转60°，则线段DB扫过的图形面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，⊙的半径为5，A、B是圆上任意两点，且，若弦绕点O旋转一周，则扫过区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，是等腰直角三角形，，，把绕点按顺时针方向旋转45°后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）A． B． C． D．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，则的长为（ ）
A． B．π C． D．
13．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，与AC交于点E，连接CD并延长与⊙O过点A的切线交于点F，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．1﹣
第13题图 第14题图 第15题图 第16题图
14．如图，正方形的边，和 都是以为半径的圆弧，阴影两部分的面积分别记为和，则- 等于（ ）A． B． C． D．
15．如图，点A、B、C、D都在边长为1的网格格点上，以A为圆心，AE为半径画弧，弧EF经过格点D，则扇形AEF的面积是（ ）
A． B． C．π D．
二．填空题(每小题2分 共30分)
16．如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为m（米），某车在标有R＝300处的弯道上从点A行驶了100π米到达点B，则线段AB＝ 米．
17．如图，直角三角形ABC中，，将三角形的斜边AB放在定直线L上，将点A按顺时针方向在L上转动两次，转动到的位置，设BC＝1，AC＝，AB＝2，则点A所经过的路线长是____________．
第17题图 第18题图 第19题图
18．如图，等腰放置在直线上，，.将绕点旋转，使点的对应点落在直线上，再将第一次旋转得到的三角形绕点继续旋转，使其顶点落在直线上点处，则点经过的路径总长为_____（结果保留）．19．如图，正六边形的边长为2，点是四边形内的一个动点，若（1）______；（2）动点所经过的路线长是______．
20.如图，⊙O的半径为10，A、D是圆上任意两点，且AD＝8，以AD为边作正方形ABCD（点C、O在直线AD两侧）若AD边绕点O旋转一周，则BC边扫过的面积为___．
第20题图 第21题图 第22题图 第23题图
21．如图，将绕点C顺时针旋转得到．已知，则线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为__________________．
22．如图，在中，，，，点从点出发沿方向运动，到达点B时停止运动，连结，点关于直线的对称点为，连接A′C，．在运动过程中，点到直线距离的最大值是_______；点到达点时，线段扫过的面积为___________．
23．如图，是半圆O的直径，以O为圆心，C为半径的半圆交于C、D两点，弦切小半圆于点E．已知，，则图中阴影部分的面积为_________（结果保留）
第23题图 第24题图 第25题图 第25题图
24．如图，矩形ABCD，AB＝2，AD＝4，E是AD中点，连接BE、CE，分别以B、C为圆心，BE、CE为半径画弧交BC于点G、F，则图中阴影部分面积为___．
25．如图，在长方形ABCD中，AB=5，AD=3，以点D为圆心，AD长为半径画弧，交线段CD延长线于点E，连接EB，则图中阴影部分的面积为___________（结果保留π）
26．图①中特种自行车的轮子形状为“勒洛三角形”，图②是其一个轮子的示意图，“勒洛三角形”是分别以等边三角形ABC三个顶点A，B，C为圆心，以边长为半径的三段弧围成的图形．若这个等边三角形ABC的边长为30cm，则这种自行车一个轮子的周长为 cm．
27．如图，在矩形ABCD中，AB＞BC，以点B为圆心，AB的长为半径的圆分别交CD边于点M，交BC边的延长线于点E．若DM＝CE，的长为2π，则CE的长 ．
第27题图 第28题图 第29题图 第30题图
28．如图，将一块含45°角的直角三角尺ABC在水平桌面上绕点B按顺时针方向旋转到A1BC1的位置，若AB＝8cm，那么点A旋转到A1所经过的路线长为 cm（结果保留π）．
29．如图，四边形ABCD是正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的．其中：的圆心为点A，半径为AD；的圆心为点B，半径为BA1；的圆心为点C，半径为CB1；的圆心为点D，半径为DC1；…，…的圆心依次按点A，B，C，D循环．若正方形ABCD的边长为1，则的长是 ．
30．如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为 ．
三． 解答题（60分）
31．（6分）如图，扇形AOB中，半径OA在直线l上，∠AOB＝120°，OA＝1，矩形EFGH的边EF也在l上，且EH＝2，OE＝将扇形AOB在直线l上向右滚动．（1）滚动一周时得到扇形A′O′B′，这时OO′＝______．
（2）当扇形与矩形EFGH有公共点时停止滚动，设公共点为D，则DE＝_______．
32．（6分）如图①，小慧同学把一个等边三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕B1点按顺时针方向旋转120°，点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）．
小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO1和弧O1O2，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和．
小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：
（1） 若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形OABC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程；
（2）正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是？
33．（9分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为．（1）画出关于x轴对称的，并写出点的坐标（2）画出绕点O顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；（3）在（2）的条件下，求点A旋转到点所经过的路径长（结果保留）．
34．（10分）将一物体（视为边长为米的正方形）从地面上挪到货车车厢内．如图所示，刚开始点与斜面上的点重合，先将该物体绕点按逆时针方向旋转至正方形的位置，再将其沿方向平移至正方形的位置（此时点与点重合），最后将物体移到车厢平台面上．已知，，过点作于点，米，米．（1）求线段的长度；（2）求在此过程中点运动至点所经过的路程．
35．（10分）已知在中，，，将绕点逆时针方向旋转一定的角度（）得到．（1）如图1，边交边于点．①求证：；②当恰好垂直时，点走过的路径长为______；
（2）如图2，边与边交于点，与交于点，与交于点．若，求的度数．
36．（9分）直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上．（1）将向下平移5个单位得到；（2）画出绕点逆时针旋转后得到的；（3）在（2）的条件下，求在旋转过程中扫过的面积．
37．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点M，OM交⊙O于点N，连结AM．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）若DN=4，AC=8，求线段MN的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
教师样卷
一．选择题(每小题2分 共30分)
1．如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ）
A．πcm B．2πcm C．3πcm D．4πcm
【答案】D 解：根据题意，重物的高度为＝4π（cm）． 故选：D．
第1题图 第3题图 第4题图
2．若圆弧的半径为3，所对的圆心角为60°，则弧长为（ ）
A．π B．π C．π D．3π
【答案】B 解：弧长l＝＝π， 故选：B．
3．计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：若圆半径为1，当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d（x）．下列描述正确的是（ ）
A．d（25%）＝1 B．当x＞50%时，d（x）＞1
C．当x1＞x2时，d（x1）＞d（x2） D．当x1+x2＝100%时，d（x1）＝d（x2）
【答案】D解：A、d（25%）＝＞1，本选项不符合题意．B、当x＞50%时，0≤d（x）＜2，本选项不符合题意．C、当x1＞x2时，d（x1）与d（x2）可能相等，可能不等，本选项不符合题意．D、当x1+x2＝100%时，d（x1）＝d（x2），本选项符合题意．故选：D．
4．如图，扇形OAB中，OB＝3，∠AOB＝100°，点C在OB上，连接AC，点O关于AC的对称点D刚好落在上，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B解：连接OD，∵点D是点O关于AC的对称点，∴AD＝OA，∵OA＝OD，∴OA＝OD＝AD，∴△OAD为等边三角形，∴∠AOD＝60°，∴∠BOD＝100°﹣60°＝40°，∴的长＝＝π，故选：B．
5.如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心在．将弓形沿x轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为时，圆心的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】如图，圆心在，可得r=2∴OA=，AB=2r=4，BC=，==∴一个周期圆心经过的路径长为OA++BC=4，∴C（4+2，0），故当圆心经过的路径长为时，÷4=505…1∴圆心的横坐标是505×（4+2）+=故选D．
第5题图 第6题图 第7题图
6．如图，把直径为的圆形车轮（）在水平地面上沿直线l无滑动地滚动一周，设初始位置的最低点为P，则下列说法错误的是（ ）A．当点P离地面最高时，圆心O运动的路径的长为B．当点P再次回到最低点时，圆心O运动的路径的长为 C．当点P第一次到达距离地面的高度时，圆心O运动的路径的长为
D．当点P第二次到达距离地面的高度时，圆心O运动的路径的长为
【答案】C【详解】圆心运动的路径即为圆滚动的距离．当点P离地面最高时，圆滚动半圈，圆心O运动的路径的长为，故A正确，不符合题意．当点P再次回到最低点时，圆滚动一圈，圆心O运动的路径的长为，故B正确，不符合题意．当点P第一次到达距离地面的高度时，圆滚动圈，圆心O运动的路径的长为，故C错误，符合题意．当点P第二次到达距离地面的高度时，圆滚动圈，圆心O运动的路径的长为，故D正确，不符合题意．故选：C．
7．将一个半径为1的圆形轮子沿直线l水平向右滚动，图中显示的是轮子上的点P的起始位置与终止位置，其中在起始位置时，在终止位置时与l所夹锐角为60°，则滚动前后，圆心之间的距离可能为（ ）
A． B． C．π D．
【答案】B【详解】解：由题意可得，圆形轮子可能滚动不止一周，设OP滚动了n周后又滚动120°后到达终止位置，∴OP滚动的角度α＝120°＋360n，n为整数，可得圆心运动前后的距离即为OP滚动完毕扫过的角度所对应的弧长，即为2πr×＝＋2nπ，n为整数．当n＝0时为．故选：B．
8．如图，一根长为2米的竹竿放在墙角，刚开始它与地平线（即直线l）夹角为，当它下滑一段距离后，与地平线的夹角变成，则竹竿中点M经过的路程长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】连接OM，OM´，点M的路程是：以O为圆心，OM为半径的圆弧，由此解答即可.在Rt△ABO中，∠ABO=60°,点M为AB的中点，∵∠OAB=30°,∴OM=AB= ∴OB=AB=∴△BOM为等边三角形，∠MOB=60°,在Rt△A´OB´∠A´B´O=∠M´B´O=30°,
∴∠MOM´=∠MOB-∠M´B´O=60°-30°=30°∴弧AM= ∴则竹竿中点M经过的路程长为.故答案为：A.
第8题图 第9题图 第10题图 第11题图 第12题图
9．如图，在扇形OAB中，OC⊥AB于点D，AB＝8，将△ODB绕点O点逆时针旋转60°，则线段DB扫过的图形面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】解：如图，在扇形OAB中，OC⊥AB于点D，AB＝8，∴AD＝BD＝AB＝4，在Rt△OBD中，OB2−OD2＝BD2＝16，∵△ODB绕O旋转60°到△OD′B′，∴△ODB≌△OD′B′，∴∠DOD′＝∠BOB′＝60°，∴S扇形ODD′＝，S扇形OBB′＝∴S阴影＝S扇形OBB′−S扇形ODD′＝-==．
故选：C．
10．如图，⊙的半径为5，A、B是圆上任意两点，且，若弦绕点O旋转一周，则扫过区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D 解：根据题意，线段AB旋转一周的过程中，扫过区域的面积是圆环的面积；过O作OC⊥AB，如图由垂径定理，则，∵，∴，∴圆环的面积为：；故选：D．
11．如图，是等腰直角三角形，，，把绕点按顺时针方向旋转45°后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）A． B． C． D．
【答案】B【详解】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，AB=AC=2，∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，∴∠BAB′=∠CAC′=45°，∴点B′、C、A共线，∴线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积=S扇形BAB′+S△AB′C′-S扇形CAC′-S△ABC=S扇形BAB′-S扇形CAC′=π．故选：B．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，则的长为（ ）
A． B．π C． D．
【答案】C解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，∠B＝90°，∴AE＝AD＝2，∵AB＝，∴cos∠BAE＝＝，∴∠BAE＝30°，∴∠EAD＝60°，∴的长＝＝，故选：C．
13．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，与AC交于点E，连接CD并延长与⊙O过点A的切线交于点F，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．1﹣
【答案】C【详解】解：如图1，连接OA，∵AF是⊙O的切线，∴∠OAF＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∴∠BAD＝90°，∴BD是⊙O的直径，∵OA＝OB＝OD，∴∠ABO＝∠OAB＝30°，∠OAD＝∠ADO＝∠AOD＝60°，∵∠BDC＝∠BAC＝60°，∴∠ADF＝180°﹣60°﹣60°＝60°＝∠OAD，∴OA∥DF，∴∠F＝180°﹣∠OAF＝90°，∵∠DAF＝30°，∴AD＝2DF，∵⊙O的半径为1，∴AD＝OA＝2，DF＝1，AF=∵∠AOD＝60°，∴阴影部分的面积为：＝＝．故选：C．
第13题图 第14题图 第15题图 第16题图
14．如图，正方形的边，和 都是以为半径的圆弧，阴影两部分的面积分别记为和，则- 等于（ ）A． B． C． D．
【答案】A【详解】解：如图示则可得： 正方形的面积；①两个扇形的面积；②②①，得：．故选：A．
15．如图，点A、B、C、D都在边长为1的网格格点上，以A为圆心，AE为半径画弧，弧EF经过格点D，则扇形AEF的面积是（ ）
A． B． C．π D．
【答案】A 解：由题意，扇形的半径AD＝＝，∠EAF＝45°，∴扇形AEF的面积＝＝．故选：A．
二．填空题(每小题2分 共30分)
16．如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为m（米），某车在标有R＝300处的弯道上从点A行驶了100π米到达点B，则线段AB＝ 米．
【答案】300 解：设线段AB对应的圆心角度数为n，∵100π＝＝，∴n＝60°，又AO＝BO，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝AO＝BO＝300（米），故答案为：300．
17．如图，直角三角形ABC中，，将三角形的斜边AB放在定直线L上，将点A按顺时针方向在L上转动两次，转动到的位置，设BC＝1，AC＝，AB＝2，则点A所经过的路线长是____________．
【答案】．【详解】解：点A的路线是由以B为圆心AB＝2为半径，圆心角为120度所对的弧，加上与以为圆心，AC＝为半径的四分之一圆弧长之和，即＝． 故答案为：．
第17题图 第18题图 第19题图
18．如图，等腰放置在直线上，，.将绕点旋转，使点的对应点落在直线上，再将第一次旋转得到的三角形绕点继续旋转，使其顶点落在直线上点处，则点经过的路径总长为_____（结果保留）．
【答案】【详解】解：将绕点旋转，使点的对应点落在直线，点到处，如图：根据题意：，，，同理：，根据旋转的性质可知，点A到和到的运动轨迹是分别以C，为圆心，为半径的圆的一部分，两次旋转经过的路径都是圆上经过的弧长所对的圆心角为，设点经过的路径总长为，
，故答案是：．
19．如图，正六边形的边长为2，点是四边形内的一个动点，若（1）______；（2）动点所经过的路线长是______．
【答案】120° 【详解】（1）由题意结合正六边形的性质可知CF平分，且．∴．∵，
∴．故答案为：．（2）如图，延长CB、FA，交于点N，由（1），可知点M在的外接圆上的劣弧上．设该外接圆圆心为O，作．由题意可知，即为等边三角形，∴，∴．∴．由正六边形的性质可知．∴，∴．∴圆O的直径为．∴ ．故答案为：．
20.如图，⊙O的半径为10，A、D是圆上任意两点，且AD＝8，以AD为边作正方形ABCD（点C、O在直线AD两侧）若AD边绕点O旋转一周，则BC边扫过的面积为___．
【答案】16π【详解】解：如图所示，连接OD、OC，过点O作OE⊥AD于点E，延长OE交BC于点F．∵AD为弦，OE⊥AD，由垂径定理可得DE=AE=AD=4．∵四边形ABCD为正方形，∴BC∥AD，AD=BC=8，
∴∠CFO=∠DEO=90°，∴四边形DEFC为矩形，CF=DE=4．∵AD边绕点O旋转一周，则BC边扫过的图形为以OC为外圆半径，OF为内圆半径的圆环，∴圆环面积为S=π•OC2-π•OF2=π（OC2-OF2）=π•CF2=16π．故答案为：16π．
第20题图 第21题图 第22题图 第23题图
21．如图，将绕点C顺时针旋转得到．已知，则线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为__________________．
【答案】【详解】解：如图：由旋转可得：∠ACA′=∠BCB′=120°，又AC=3，BC=2，S扇形ACA′==，S扇形BCB′==则线段AB扫过的图形的面积为=，故答案为：
22．如图，在中，，，，点从点出发沿方向运动，到达点B时停止运动，连结，点关于直线的对称点为，连接A′C，．在运动过程中，点到直线距离的最大值是_______；点到达点时，线段扫过的面积为___________．
【答案】 【详解】解：（1）由题意可得点A′的运动轨迹是以点C为圆心，CA为半径的圆上，∵点从点出发沿方向运动，到达点B时停止运动，，点关于直线的对称点为，∴∠ACA′最大为90°当CA′⊥AB时，点A′到直线AB的距离最大，如图过点B作BE⊥AC∵，，，
∴在Rt△ABE中，BE=1，AE=，在Rt△BCE中，BE=CE=1∴CA′=CA=又∵CA′⊥AB∴在Rt△ACF中，CF=∴A′F=A′C-CF=即点到直线距离的最大值是；点到达点时，线段扫过的面积为
==故答案为：；
23．如图，是半圆O的直径，以O为圆心，C为半径的半圆交于C、D两点，弦切小半圆于点E．已知，，则图中阴影部分的面积为_________（结果保留）
【答案】【详解】解：如图所示，连接OE，OF∵弦AF切小半圆于点E∴OE⊥AF又∵OC=OF∴AE=EF，∠AOE=∠FOE（三线合一）∵OC=OE=1，OA=2∴∠OAE=30°∴∠AOE=FOE=60°∴∠FOD=60°，∠EOD=120°∴
∴，，∴
故答案为：.
第23题图 第24题图 第25题图 第25题图
24．如图，矩形ABCD，AB＝2，AD＝4，E是AD中点，连接BE、CE，分别以B、C为圆心，BE、CE为半径画弧交BC于点G、F，则图中阴影部分面积为___．
【答案】2π-4【详解】解：矩形ABCD，AB=2，AD=4，E是AD中点，∴AB=AE=2，AD∥BC，∴∠ABE=∠AEB=45°，∴∠GBE=∠AEB=45°，∴AB=AE=2，BE=，∴图中阴影部分的面积=2S扇形EBF-S△BEC=2××4×2=2π-4，故答案为2π-4．
25．如图，在长方形ABCD中，AB=5，AD=3，以点D为圆心，AD长为半径画弧，交线段CD延长线于点E，连接EB，则图中阴影部分的面积为___________（结果保留π）
【答案】【详解】解：∵长方形ABCD，AB=5，AD=3，∴AD=BC=3，AB=CD=5，∴阴影部分的面积=圆的面积+矩形的面积-三角形BCE的面积∴阴影部分的面积=故答案为：
26．图①中特种自行车的轮子形状为“勒洛三角形”，图②是其一个轮子的示意图，“勒洛三角形”是分别以等边三角形ABC三个顶点A，B，C为圆心，以边长为半径的三段弧围成的图形．若这个等边三角形ABC的边长为30cm，则这种自行车一个轮子的周长为 cm．
【答案】30π 解：自行车一个轮子的周长＝3×＝30π（cm）．故答案为30π．
27．如图，在矩形ABCD中，AB＞BC，以点B为圆心，AB的长为半径的圆分别交CD边于点M，交BC边的延长线于点E．若DM＝CE，的长为2π，则CE的长 ．
【答案】4﹣2 解：连接BM，则AB＝BE＝BM，设BM＝R，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝BE，∠B＝∠BCD＝90°，∵DM＝VE，
∴CM＝BC，∵的长为2π，∴＝2π，解得：R＝4，
即BM＝BE＝CD＝AB＝4，在Rt△BCM中，由勾股定理得：BC2+CM2＝BM2，BC＝CM＝2，∴CE＝4﹣2，故答案为：4﹣2．
第27题图 第28题图 第29题图 第30题图
28．如图，将一块含45°角的直角三角尺ABC在水平桌面上绕点B按顺时针方向旋转到A1BC1的位置，若AB＝8cm，那么点A旋转到A1所经过的路线长为 cm（结果保留π）．
【答案】6π．解：∵点A旋转到A1所经过的路线长是以点B为圆心，AB为半径，旋转角度是180﹣45＝135°，∴根据弧长公式可得：＝6πcm．故填空答案：6π．
29．如图，四边形ABCD是正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的．其中：的圆心为点A，半径为AD；的圆心为点B，半径为BA1；的圆心为点C，半径为CB1；的圆心为点D，半径为DC1；…，…的圆心依次按点A，B，C，D循环．若正方形ABCD的边长为1，则的长是 ．
【答案】4039π 解：由图可知，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1，AD＝AA1＝1，BA1＝BB1＝2，……，ADn﹣1＝AAn＝4（n﹣1）+1，BAn＝BBn＝4（n﹣1）+2，故的半径为BA2020＝BB2020＝4（2020﹣1）+2＝8078，的弧长＝．故答案为：4039π．
30．如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为 ．
【答案】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D＝CD′，由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，∴∠COD′＝90°，∴CD′＝＝＝2，的长l＝＝，∴阴影部分周长的最小值为2+＝．
故答案为：．
四． 解答题（60分）
31．（6分）如图，扇形AOB中，半径OA在直线l上，∠AOB＝120°，OA＝1，矩形EFGH的边EF也在l上，且EH＝2，OE＝将扇形AOB在直线l上向右滚动．（1）滚动一周时得到扇形A′O′B′，这时OO′＝______．
（2）当扇形与矩形EFGH有公共点时停止滚动，设公共点为D，则DE＝_______．
【答案】 【详解】（1）扇形AOB滚动一周得到扇形A′O′B′，∵∠AOB＝120°，OA＝1∴∴（2）∵∴即扇形AOB滚动5周后，O与E相距，继续滚动，B点与HE相交，即公共点D点，∴，，∴
32．（6分）如图①，小慧同学把一个等边三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕B1点按顺时针方向旋转120°，点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）．
小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO1和弧O1O2，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和．
小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：
（2） 若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形OABC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程；
（2）正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是？
【答案】（1）；；；（2）41次【详解】解：（1）如图所示，正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段弧，即弧OO1、弧O1O2以及弧O2O3，∴ 顶点O运动过程中经过的路程为：，顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积为：=1+π，正方形OABC经过5次旋转，顶点O经过的路程为：．（2）∵ 正方形OABC经过3次旋转，顶点O经过的路程为：，根据第四次正方形旋转O点不动，也就是此时也是正方形OABC经过4次旋转的路程， ∴ π=10×π+π，∴正方形纸片OABC经过了：10×4+1=41次旋转．
33．（9分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为．（1）画出关于x轴对称的，并写出点的坐标（2）画出绕点O顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；（3）在（2）的条件下，求点A旋转到点所经过的路径长（结果保留）．
【答案】（1）见解析，；（2）见解析，；（3）【详解】解：（1）如图所示：即为所求，∴由图象可得；（2）如图所示：即为所求，∴由图象可得；（3）由（2）的图象可得：点A旋转到点所经过的路径为圆弧，∵，∴点A旋转到点所经过的路径长为．
34．（10分）将一物体（视为边长为米的正方形）从地面上挪到货车车厢内．如图所示，刚开始点与斜面上的点重合，先将该物体绕点按逆时针方向旋转至正方形的位置，再将其沿方向平移至正方形的位置（此时点与点重合），最后将物体移到车厢平台面上．已知，，过点作于点，米，米．（1）求线段的长度；（2）求在此过程中点运动至点所经过的路程．
【答案】（1）米；（2）4米．【详解】解：（1）∵MG∥PQ，∴∠FGM=∠FBP=30°．∴在中，（米）．（2）连接A1A2，则必过点D1，且四边形A1BGA2是矩形．∴A1A2=BG=BF-GF=（米）．∵四边形ABCD和四边形A1BC1D1都是正方形，∴AB=A1B，∠A1BC1=∠ABC=90°．∴∠ABA1=180°-∠A1BC1-∠FBP=180°-90°-30°=60°．∴（米）．∴在整个运动过程中，点A运动至A2的路程为：（米）．
35．（10分）已知在中，，，将绕点逆时针方向旋转一定的角度（）得到．（1）如图1，边交边于点．①求证：；②当恰好垂直时，点走过的路径长为______；
（2）如图2，边与边交于点，与交于点，与交于点．若，求的度数．
【答案】（1）①见解析；②；（2）【详解】解：（1）①证明：∵绕点逆时针方向旋转一定的角度得到，；∴，，∴（SAS），∴；
②∵，∴，∴，当恰好垂直时，∴，∴，∴，∵点走过的路径长为以A点为圆心，AB长为半径,圆心角为60°的扇形的弧长，∴点走过的路径长为；故答案为：；（2）如图，过点A作于点，于点,∴，∵是由绕点A逆时针方向旋转得到，，，∴，，，∴,
∴，在和中，，
，，∴（AAS），∴；又∵，，，∴四边形AMPN为正方形，∴平分，，∴．
36．（9分）直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上．（1）将向下平移5个单位得到；（2）画出绕点逆时针旋转后得到的；（3）在（2）的条件下，求在旋转过程中扫过的面积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作．（2）如图，△A2B2C1即为所求作．（3）在（2）的条件下，A1B1扫过的面积==．
37．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点M，OM交⊙O于点N，连结AM．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）若DN=4，AC=8，求线段MN的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）8；（3）【详解】（1）证明：连接OC，如图，∵CM为切线，∴OC⊥CM，∴∠OCM＝90°，∵OD⊥AC，∴AD＝CD，即OE垂直平分AC，∴AM＝CM，在△AOM和△COM中，∴△AOM≌△COM（SSS），∴∠OAM＝∠OCM＝90°，∴AM⊥AO，∴AM与⊙O相切；（2）解：设⊙O的半径为x，则OD＝ON−DN＝x−4，OA＝x，在Rt△OAD中，AD＝AC＝4，∵AD2＋OD2＝OA2，∴(4)2＋(x−4)2＝x2，解得x＝8，∴OD＝4，OA＝8，∴∠OAD＝30°，∴∠AOD＝60°，∴OM＝2OA＝16，∴MN＝OM−ON＝16−8＝8．（3）∵∠AOM＝60°，∠OAM＝90°，∴∠AMO=30°∴在Rt△AOM中，AM＝，∴S阴影＝S四边形AOCM−S扇形OAC＝2××8×8−=．
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