2022版新高考数学人教版一轮练习：第一章　集合与常用逻辑用语

 [考案1]

第一章　集合与常用逻辑用语

(时间：45分钟　满分100分)

一、单选题(本大题共7个小题，每小题5分，共35分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)

1．(2020·课标Ⅲ，1)已知集合A＝{1,2,3,5,7,11}，B＝{x|3<x<15}，则A∩B中元素的个数为(　B　)

A．2　　 B．3　　

C．4　　 D．5

[解析]　∵A＝{1,2,3,5,7,11}，B＝{x|3<x<15}，

∴A∩B＝{5,7,11}，∴A∩B中元素的个数为3，故选B.

2．已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|x2＋x－2<0，x∈Z}，则A∪B＝(　C　)

A．{－1}　　 B．{－1,1}

C．{－1,0,1}　　 D．{－1,0,1,2}

[解析]　由题意知B＝{x|－2<x<1，x∈Z}，所以B＝{－1,0}，所以A∪B＝{－1,0,1}，故选C.

3．(2020·成都市二诊)设全集U＝R，集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|x≤－2或x≥1}，则A∩(∁UB)＝(　A　)

A．{x|－1<x<1}　　 B．{x|－2<x<3}

C．{x|－2≤x<3}　　 D．{x|x≤－2或x>－1}

[解析]　由题意知∁UB＝{x|－2<x<1}，则A∩(∁UB)＝{x|－1<x<3}∩{x|－2<x<1}＝{x|－1<x<1}．

4．(2020·宁夏中卫模拟)命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是(　D　)

A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0

B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0

C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0

D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0

[解析]　命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.

5．已知a∈R，则“－1<a<0”是“ax2＋2ax－1<0对∀x∈R恒成立”的(　A　)

A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件

C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件

[解析]　因为ax2＋2ax－1<0对∀x∈R恒成立，所以a＝0或，即－1<a≤0，由于“－1<a<0”是“－1<a≤0”的充分不必要条件，故选A.

6．下列命题中，真命题是(　D　)

A．命题“若a>b，则ac2>bc2”

B．命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题

C．命题“当x＝2时，x2－5x＋6＝0”的否命题

D．命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”的逆否命题

[解析]　命题“若a>b，则ac2>bc2”是假命题，如a>b且c＝0时，ac2＝bc2；命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题为“若|a|＝|b|，则a＝b”是假命题；命题“当x＝2时，x2－5x＋6＝0”的否命题为“若x≠2，则x2－5x＋6≠0”是假命题；命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”是真命题，其逆否命题与原命题等价，为真命题，故选D.

7．(2020·广东汕头模拟)已知命题p：关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实根；命题q：∀x>0，均有2x－a>0.若“¬p”和“p∧q”都是假命题，则实数a的取值范围是(　C　)

A．(－∞，－2)　　 B．(－2,1]

C．(1,2)　　 D．(1，＋∞)

[解析]　若方程x2＋ax＋1＝0没有实根，则判别式Δ＝a2－4<0，即－2<a<2，即p：－2<a<2.

∀x>0,2x－a>0则a<2x，

当x>0时，2x>1，则a≤1，即q：a≤1.

∵¬p是假命题，∴p是真命题．

∵p∧q是假命题，

∴q是假命题，即得1<a<2.故选C.

二、多选题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

8．已知集合M＝{x|x<1}，N＝{x|x2－x<0}，则(　AD　)

A．M∩N＝{x|0<x<1}　　 B．M∪N＝{x|x>0}

C．M⊆N　　 D．N⊆M

[解析]　本题考查集合的交、并集运算，集合间的关系．由题意得M＝{x|x<1}，N＝{x|0<x<1}．故M∩N＝{x|0<x<1}，选项A正确；M∪N＝{x|x<1}，选项B错误；N⊆M，选项C错误，选项D正确．

9．下列说法正确的是(　BC　)

A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”

B．“x＝－1”是“x2－5x－6 ＝0”的充分不必要条件

C．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题

D．命题“∃x0∈R，使得x＋x0＋1<0”的否定是“∀x∈R，都有x2＋x＋1<0”

[解析]　本题考查否命题，充分、必要条件的判断，逆否命题及特称命题的否定．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，A不正确；由x2－5x－6＝0，解得x＝－1或x＝6，因此“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要条件，B正确；命题“若x＝y，则sin x＝sin y”为真命题，其逆否命题为真命题，C正确；命题“∃x0∈R，使得x＋x0＋1<0”的否定是“∀x∈R，都有x2＋x＋1≥0”，D不正确．故选BC.

10．(2021·凤城市第一中学高一月考改编)不等式1≤|x|≤4成立的充分不必要条件为(　AB　)

A．[－4，－1]　　 B．[1,4]

C．[－4，－1]∪[1,4]　　 D．[－4,4]

[解析]　由不等式1≤|x|≤4，解得：－4≤x≤－1或1≤x≤4，

对于A，B选项中的集合是不等式解集的真子集，

∴不等式1≤|x|≤4成立的充分不必要条件为A，B.故选AB.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)

11．(2018·湖南卷)已知集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,3}，B＝{1,3,4}，则A∪(∁UB)＝  {1,2,3}  .

[解析]　∵∁UB＝{2}，∴A∪(∁UB)＝{1,2,3}．

12．(2020·江西上饶模拟)命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是　∃x0∈R，|x0|＋x<0　.

[解析]　因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是“∃x0∈R，|x0|＋x<0”．

13．(2021·湖南常德一中模拟)条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是  (－∞，1)  .

[解析]　p：x>1，若p是q的充分不必要条件，则p⇒q但qp，也就是说，p对应的集合是q对应的集合的真子集，所以a<1.

14．(2020·衡水金卷A信息卷(五)，14)命题p：若x>0，则x>a；命题q：若m≤a－2，则m<sin x(x∈R)恒成立．若p的逆命题，q的逆否命题都是真命题，则实数a的取值范围是  [0,1)  .

[解析]　命题p的逆命题是若x>a，则x>0，故a≥0.因为命题q的逆否命题为真命题，所以命题q为真命题，则a－2<－1，解得a<1.则实数a的取值范围是[0,1)．

四、解答题(本大题共2个小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15．(本小题满分15分)已知集合A＝{x|x2－6x＋8<0}，B＝{x|(x－a)(x－3a)<0}，a∈R.

(1)若x∈A是x∈B的充分条件，求实数a的取值范围；

(2)若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．

[解析]　A＝{x|x2－6x＋8<0}＝{x|2<x<4}，

B＝{x|(x－a)(x－3a)<0}．

(1)当a＝0时，B＝∅，不符合题意，

当a>0时，B＝{x|a<x<3a}，要满足题设条件，

则解得≤a≤2.

当a<0时，B＝{x|3a<x<a}，要满足题设条件，

则无解．

综上可知：实数a的取值范围为.

(2)要满足A∩B＝∅.

当a>0时，B＝{x|a<x<3a}，则a≥4或3a≤2，

即0<a≤或a≥4，

当a<0时，B＝{x|3a<x<a}，则a≤2或3a≥4，

即a<0，

当a＝0时，B＝∅，满足题意．

综上可知：实数a的取值范围为.

16．(本小题满分15分)设命题p：方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：函数f(x)＝x3＋x2＋9x无极值．

(1)若p为真命题，求实数a的取值范围；

(2)若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围．

[解析]　(1)由得4<a<6，

∴实数a的取值范围为(4,6)．

(2)由题意知p，q一真一假，q为真时，

则f′(x)＝x2＋3(3－a)x＋9≥0恒成立，

∴Δ＝9(3－a)2－36≤0得1≤a≤5，

若p真q假，5<a<6；若q真p假，1≤a≤4.

综上，实数a的取值范围是[1,4]∪(5,6)．