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新教材2022版高考人教A版数学一轮复习学案：4.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图象与应用
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这是一份新教材2022版高考人教A版数学一轮复习学案：4.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图象与应用，共15页。
4.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与应用
必备知识预案自诊
知识梳理
1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念
y=Asin(ωx+φ)
(A>0,ω>0),
x∈[0,+∞)
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T=2πω
f=1T=ω2π
ωx+φ
φ
2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的简图时,要找出的五个特征点如下表所示
x
0-φω
π2-φω
π-φω
3π2-φω
2π-φω
ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
y=Asin(ωx+φ)
0
A
0
-A
0
3.由y=sin x的图象得y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种方法
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的作法:
(1)五点法:用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换,设z=ωx+φ,由z取0,π2,π,3π2,2π来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象.
(2)图象变换法:由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象,有两种主要途径“先平移后伸缩”(即“先φ后ω”)与“先伸缩后平移”(即“先ω后φ”).
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)把y=sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变,所得图象对应的函数解析式为y=sin12x.( )
(2)将y=sin 2x的图象向右平移π3个单位长度,得到y=sin2x-π3的图象.( )
(3)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0)的最大值为A,最小值为-A.( )
(4)如果y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T,那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )
(5)若函数y=Asin(ωx+φ)为偶函数,则φ=2kπ+π2(k∈Z).( )
2.将函数y=2sin2x+π6的图象向右平移14个周期后,所得图象对应的函数为( )
A.y=2sin2x+π4
B.y=2sin2x+π3
C.y=2sin2x-π4
D.y=2sin2x-π3
3.(2020河南开封三模,理6)为了得到函数y=2(sin 2x+cos 2x)的图象,只需把函数y=2sin 2x图象上所有的点( )
A.向左平移π4个单位长度
B.向左平移π8个单位长度
C.向右平移π4个单位长度
D.向右平移π8个单位长度
4.(2020安徽马鞍山二模,6)函数f(x)=sinx+π6的图象平移后对应函数g(x)=sinx+π6+φ的图象,若g(x)为偶函数,则|φ|的最小值为( )
A.π6 B.π3
C.2π3 D.5π6
5.(2020江苏,10)将函数y=3sin2x+π4的图象向右平移π6个单位长度,则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 .
关键能力学案突破
考点
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
【例1】某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2在某一个周期内的图象,列表并填入了部分数据,如下表:
ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
x
π3
5π6
Asin(ωx+φ)
0
5
-5
0
(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;
(2)将y=f(x)图象上所有点向左平移θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象,若y=g(x)图象的一个对称中心为5π12,0,求θ的最小值.
解题心得对函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ≠0),其图象的基本变换有:
(1)纵向伸缩变换:伸长A增大,缩短A减小.
(2)横向伸缩变换:伸长周期增大ω减小;缩短周期减小ω增大.
(3)横向平移变换:左移1个单位长度,y=Asin[ω(x+1)+φ];右移1个单位长度,y=Asin[ω(x-1)+φ].
(4)上下平移:上移1个单位长度y=Asin(ωx+φ)+1;下移1个单位长度y=Asin(ωx+φ)-1.
对点训练1已知函数y=2sin2x+π3.
(1)求它的振幅、周期、初相;
(2)用“五点法”作出函数y在一个周期内的图象;
(3)说明y=2sin2x+π3的图象可由y=sin x的图象经过怎样的变换而得到.
考点
求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式(多考向探究)
考向1 由函数的图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
【例2】(1)
(多选)(2020山东菏泽一模,11)已知函数f(x)=Asin(ωx+4φ)A>0,ω>0,0<φ<π8的部分图象如图所示,若将函数f(x)的图象纵坐标不变,横坐标变为原来的14,再向右平移π6个单位长度,得到函数g(x)的图象,则下列命题正确的是( )
A.函数f(x)的解析式为f(x)=2sin12x+π6
B.函数g(x)的解析式为g(x)=2sin2x-π6
C.函数f(x)图象的一条对称轴是直线x=-π3
D.函数g(x)在区间π,4π3上单调递增
(2)函数y=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,则( )
A.y=2sin2x-π6 B.y=2sin2x-π3
C.y=2sinx+π6 D.y=2sinx+π3
解题心得由图象确定y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的解析式的步骤和方法:
(1)求A,b:确定函数的最大值M和最小值m,则A=M-m2,b=M+m2.
(2)求ω:确定函数的最小正周期T,则可得ω=2πT.
(3)求φ:①把图象上的一个已知点代入来求.
②寻找“五点法”中的某一个点来求,具体如下:“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时,ωx+φ=0;“第二点”(即图象的“峰点”)时,ωx+φ=π2;“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时,ωx+φ=π;“第四点”(即图象的“谷点”)时,ωx+φ=3π2;“第五点”时,ωx+φ=2π.
对点训练2(1)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),其部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为( )
A.f(x)=2sin12x+π4
B.f(x)=2sin12x+3π4
C.f(x)=2sin14x+3π4
D.f(x)=2sin2x+π4
(2)函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,则f11π24的值为( )
A.-62 B.-32 C.-22 D.-1
考向2 由函数y=Asin(ωx+φ)的性质求解析式
【例3】(2020山东济南三模,19)已知函数f(x)=Asinωx+π6(A>0,ω>0)只能同时满足下列条件中的两个:①函数f(x)的最大值为2,②函数f(x)的图象可由y=2sinx-π4的图象平移得到,③函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2.
(1)请写出这两个条件的序号,并求出f(x)的解析式;
(2)求方程f(x)+1=0在区间[-π,π]上所有解的和.
解题心得由函数y=Asin(ωx+φ)的性质确定其解析式的方法:由函数的最值确定A,由函数的周期性确定ω,由函数的奇偶性或对称性确定φ.
对点训练3(2020北京东城一模,17)已知函数f(x)=asin2x-π6-2cos2x+π6(a>0),且满足 .
(1)求函数f(x)的解析式及最小正周期;
(2)若关于x的方程f(x)=1在区间[0,m]上有两个不同解,求实数m的取值范围.
从①f(x)的最大值为1,②f(x)的图象与直线y=-3的两个相邻交点的距离等于π,③f(x)的图象过点π6,0这三个条件中选择一个,补充在上面问题中并作答.
考点
函数y=Asin(ωx+φ)的模型的应用
【例4】据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+BA>0,ω>0,|φ|<π2的模型波动(x为月份,且1≤x≤12,x∈N*),已知3月份达到最高价9千元,9月份价格最低为5千元,则7月份的出厂价格为 元.
解题心得三角函数模型在实际应用中的2种类型及解题策略
1.已知函数模型,利用三角函数的有关性质解决问题,其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则;
2.把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题,其关键是建模.
对点训练4(1)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinπ6x+φ+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( )
A.5 B.6 C.8 D.10
(2)某城市一年中12个月的月平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+Acosπ6(x-6)(x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高为28 ℃,12月份的月平均气温最低为18 ℃,则10月份的月平均气温为 ℃.
考点
三角变换与函数y=Asin(ωx+φ)的综合
【例5】(2020江西名校大联考,理17)已知函数f(x)=2asinπ2-xcosx-2π3,且fπ3=1.
(1)求a的值及f(x)的最小正周期;
(2)若f(α)=-13,α∈0,π2,求sin 2α.
对点训练5(2020北京八中模拟二,16)已知函数f(x)=3sinωx2cosωx2+sin2ωx2,其中ω>0.
(1)若函数f(x)的最小正周期为2,求ω的值;
(2)若函数f(x)在区间0,π2上的最大值为32,求ω的取值范围.
4.5 函数y=Asin(ωx+φ)
的图象与应用
必备知识·预案自诊
考点自诊
1.(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×
2.D 由已知周期T=π,则14T=π4,故右移π4个单位长度后得y=2sin2x-π4+π6=2sin2x-π3的图象,故选D.
3.B 由题得,y=2(sin2x+cos2x)=2sin2x+π4=2sin2x+π8,故选B.
4.B 因为函数g(x)=sinx+π6+φ为偶函数,所以π6+φ=kπ+π2(k∈Z),解得φ=kπ+π3(k∈Z).
当k=0时,φ=π3,
即|φ|的最小值为π3.
5.x=-5π24 将函数y=3sin2x+π4的图象向右平移π6个单位长度后得到函数y=3sin2x-π6+π4=3sin2x-π12的图象.
由2x-π12=π2+kπ,k∈Z,得
平移后的对称轴的方程为x=7π24+kπ2,k∈Z.
当k=0时,x=7π24,当k=-1时,x=-5π24.
所以与y轴最近的对称轴的方程是x=-5π24.
关键能力·学案突破
例1解(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=-π6.
数据补充完整如下表
ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
x
π12
π3
7π12
5π6
13π12
Asin(ωx+φ)
0
5
0
-5
0
函数解析式为f(x)=5sin2x-π6.
(2)由(1)知f(x)=5sin2x-π6,
得g(x)=5sin2x+2θ-π6.
因为y=sinx图象的对称中心为(kπ,0),k∈Z,所以令2x+2θ-π6=kπ,k∈Z,
解得x=kπ2+π12-θ,k∈Z.
由于函数y=g(x)的图象关于点5π12,0成中心对称,令kπ2+π12-θ=5π12,k∈Z,解得θ=kπ2-π3,k∈Z.由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值π6.
对点训练1解(1)y=2sin2x+π3的振幅A=2,周期T=2π2=π,初相φ=π3.
(2)令x'=2x+π3,
则y=2sin2x+π3=2sinx'.
列表,
x
-π6
π12
π3
7π12
5π6
x'=2x+π3
0
π2
π
3π2
2π
y=2sin2x+π3
0
2
0
-2
0
描点画图得函数图象,
(3)把y=sinx的图象上所有的点先向左平移π3个单位长度,得到y=sinx+π3的图象,再把y=sinx+π3的图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变),得到y=sin2x+π3的图象,最后把y=sin2x+π3上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin2x+π3的图象.
例2(1)ABD (2)A (1)由图可知,A=2,T4=π,所以T=4π=2πω,解得ω=12,故f(x)=2sin12x+4φ.
因为图象过点C(0,1),所以1=2sin4φ,即sin4φ=12.
因为0<φ<π8,所以0<4φ<π2,所以4φ=π6,则f(x)=2sin12x+π6,故A选项正确;若其纵坐标不变,横坐标变为原来的14,所得到的函数解析式为y=2sin2x+π6,
再向右平移π6个单位长度,所得到的函数解析式g(x)=2sin2x-π6+π6=2sin2x-π6,故B选项正确;
当x=-π3时,f-π3=2sin0=0,则x=-π3不是函数f(x)图象的一条对称轴,故C选项错误;
令2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2(k∈Z),得kπ-π6≤x≤kπ+π3(k∈Z),
故函数g(x)的单调递增区间是kπ-π6,kπ+π3(k∈Z),
当k=1时,g(x)在区间5π6,4π3上单调递增,故D选项正确.
(2)由题图知,A=2,周期T=2π3--π6=π,
所以ω=2ππ=2,y=2sin(2x+φ).
(方法1)因为函数图象过点π3,2,
所以2=2sin2×π3+φ.
所以2π3+φ=2kπ+π2(k∈Z).
因为|φ|<π2,故令k=0,得φ=-π6,
所以y=2sin2x-π6,故选A.
(方法2)因为函数图象过点-π6,-2,所以-2=2sin2×-π6+φ,
所以2×-π6+φ=2kπ-π2,k∈Z,即φ=2kπ-π6,k∈Z.
因为|φ|<π2,故令k=0,得φ=-π6,所以y=2sin2x-π6.故选A.
对点训练2(1)B (2)D (1)由题图可知A=2,T=2×3π2--π2=4π,
故2πω=4π,解得ω=12.
所以f(x)=2sin12x+φ.
把点-π2,2代入可得2sin12×-π2+φ=2,
即sinφ-π4=1,
所以φ-π4=2kπ+π2(k∈Z),
解得φ=2kπ+3π4(k∈Z).
又0<φ<π,所以φ=3π4.
所以f(x)=2sin12x+3π4.
(2)由图象可得A=2,最小正周期T=4×7π12-π3=π,则ω=2πT=2.
由f7π12=2sin7π6+φ=-2,|φ|<π2,得φ=π3,
则f(x)=2sin2x+π3,
所以f11π24=2sin11π12+π3=2sin5π4=-1.
例3解(1)函数f(x)=Asinωx+π6满足的条件为①③.
由题意可知,条件①②互相矛盾,故③为函数f(x)=Asinωx+π6满足的条件之一.
由③可知,T=π,所以ω=2,故②不合题意,所以函数f(x)=Asinωx+π6满足的条件为①③.
由①可知A=2,
所以f(x)=2sin2x+π6.
(2)因为f(x)+1=0,
所以sin2x+π6=-12.
所以2x+π6=-π6+2kπ(k∈Z)或2x+π6=7π6+2kπ(k∈Z),
即x=-π6+kπ(k∈Z)或x=π2+kπ(k∈Z).
又因为x∈[-π,π],
所以x的取值为-π6,5π6,-π2,π2,
所以方程f(x)+1=0在区间[-π,π]上所有解的和为2π3.
对点训练3解(1)因为f(x)=asin2x-π6-cos2(x+π6)-1=asin2x-π6-cos2x+π3-1=asin2x-π6-cos2x-π6+π2-1=(a+1)sin2x-π6-1,所以函数f(x)的最小正周期T=π.因为a>0,所以函数f(x)的最大值和最小值分别为a,-a-2.
若选①,则a=1,函数f(x)=2sin2x-π6-1;
若选②,则-3为函数f(x)的最小值,从而a=1,函数f(x)=2sin2x-π6-1;
若选③,则(a+1)sin2×π6-π6-1=0,从而a=1,函数f(x)=2sin2x-π6-1.
(2)由(1)知,函数f(x)的最大值为1.
因为关于x的方程f(x)=1在区间[0,m]上有两个不同解,当x∈[0,m]时,2x-π6∈-π6,2m-π6,所以5π2≤2m-π6<9π2,解得4π3≤m<7π3.所以实数m的取值范围是4π3,7π3.
例46 000 作出函数f(x)=Asin(ωx+φ)+BA>0,ω>0,|φ|<π2的简图如图所示,
由题意知A=2000,B=7000,T=2×(9-3)=12,∴ω=2πT=π6.
故f(x)=2000sinπ6x+φ+7000,
∵图象过点(3,9000),则有π6×3+φ=π2,∴φ=0,
故f(x)=2000sinπ6x+7000(1≤x≤12,x∈N*),
∴f(7)=2000×sin7π6+7000=6000(元).
对点训练4(1)C (2)20.5 (1)设水深的最大值为M,由题意并结合函数图象可得3+k=M,k-3=2,解得M=8.
(2)由题意得a+A=28,a-A=18,
即a=23,A=5,
所以y=23+5cosπ6(x-6),令x=10,得y=20.5.
例5解(1)由已知fπ3=1,得2a×12×12=1,解得a=2.
所以f(x)=4cosx32sinx-12cosx
=23sinxcosx-2cos2x
=3sin2x-cos2x-1
=2sin2x-π6-1.
所以f(x)=2sin2x-π6-1的最小正周期为π.
(2)f(α)=-13,2sin2α-π6-1=-13,sin2α-π6=13,因为α∈0,π2,所以2α-π6∈-π6,5π6.
又因为sin2α-π6=13<12,
所以2α-π6∈0,π6.
所以cos2α-π6=
1-sin22α-π6=223,
则sin2α=sin2α-π6+π6=sin2α-π6cosπ6+cos2α-π6sinπ6
=13×32+223×12=3+226.
对点训练5解(1)因为f(x)=
3sinωx2cosωx2+sin2ωx2
=32sinωx+1-cosωx2
=32sinωx-12cosωx+12
=sinωx-π6+12.
因为f(x)的最小正周期为2,即T=2πω=2,所以ω=π.
(2)因为0≤x≤π2,ω>0,
所以-π6≤ωx-π6≤ωπ2-π6.
若f(x)在区间0,π2上的最大值为32,只需ωπ2-π6≥π2,所以ω≥43,即ω的取值范围为43,+∞.
4.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与应用
必备知识预案自诊
知识梳理
1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念
y=Asin(ωx+φ)
(A>0,ω>0),
x∈[0,+∞)
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T=2πω
f=1T=ω2π
ωx+φ
φ
2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的简图时,要找出的五个特征点如下表所示
x
0-φω
π2-φω
π-φω
3π2-φω
2π-φω
ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
y=Asin(ωx+φ)
0
A
0
-A
0
3.由y=sin x的图象得y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种方法
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的作法:
(1)五点法:用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换,设z=ωx+φ,由z取0,π2,π,3π2,2π来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象.
(2)图象变换法:由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象,有两种主要途径“先平移后伸缩”(即“先φ后ω”)与“先伸缩后平移”(即“先ω后φ”).
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)把y=sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变,所得图象对应的函数解析式为y=sin12x.( )
(2)将y=sin 2x的图象向右平移π3个单位长度,得到y=sin2x-π3的图象.( )
(3)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0)的最大值为A,最小值为-A.( )
(4)如果y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T,那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )
(5)若函数y=Asin(ωx+φ)为偶函数,则φ=2kπ+π2(k∈Z).( )
2.将函数y=2sin2x+π6的图象向右平移14个周期后,所得图象对应的函数为( )
A.y=2sin2x+π4
B.y=2sin2x+π3
C.y=2sin2x-π4
D.y=2sin2x-π3
3.(2020河南开封三模,理6)为了得到函数y=2(sin 2x+cos 2x)的图象,只需把函数y=2sin 2x图象上所有的点( )
A.向左平移π4个单位长度
B.向左平移π8个单位长度
C.向右平移π4个单位长度
D.向右平移π8个单位长度
4.(2020安徽马鞍山二模,6)函数f(x)=sinx+π6的图象平移后对应函数g(x)=sinx+π6+φ的图象,若g(x)为偶函数,则|φ|的最小值为( )
A.π6 B.π3
C.2π3 D.5π6
5.(2020江苏,10)将函数y=3sin2x+π4的图象向右平移π6个单位长度,则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 .
关键能力学案突破
考点
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
【例1】某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2在某一个周期内的图象,列表并填入了部分数据,如下表:
ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
x
π3
5π6
Asin(ωx+φ)
0
5
-5
0
(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;
(2)将y=f(x)图象上所有点向左平移θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象,若y=g(x)图象的一个对称中心为5π12,0,求θ的最小值.
解题心得对函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ≠0),其图象的基本变换有:
(1)纵向伸缩变换:伸长A增大,缩短A减小.
(2)横向伸缩变换:伸长周期增大ω减小;缩短周期减小ω增大.
(3)横向平移变换:左移1个单位长度,y=Asin[ω(x+1)+φ];右移1个单位长度,y=Asin[ω(x-1)+φ].
(4)上下平移:上移1个单位长度y=Asin(ωx+φ)+1;下移1个单位长度y=Asin(ωx+φ)-1.
对点训练1已知函数y=2sin2x+π3.
(1)求它的振幅、周期、初相;
(2)用“五点法”作出函数y在一个周期内的图象;
(3)说明y=2sin2x+π3的图象可由y=sin x的图象经过怎样的变换而得到.
考点
求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式(多考向探究)
考向1 由函数的图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
【例2】(1)
(多选)(2020山东菏泽一模,11)已知函数f(x)=Asin(ωx+4φ)A>0,ω>0,0<φ<π8的部分图象如图所示,若将函数f(x)的图象纵坐标不变,横坐标变为原来的14,再向右平移π6个单位长度,得到函数g(x)的图象,则下列命题正确的是( )
A.函数f(x)的解析式为f(x)=2sin12x+π6
B.函数g(x)的解析式为g(x)=2sin2x-π6
C.函数f(x)图象的一条对称轴是直线x=-π3
D.函数g(x)在区间π,4π3上单调递增
(2)函数y=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,则( )
A.y=2sin2x-π6 B.y=2sin2x-π3
C.y=2sinx+π6 D.y=2sinx+π3
解题心得由图象确定y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的解析式的步骤和方法:
(1)求A,b:确定函数的最大值M和最小值m,则A=M-m2,b=M+m2.
(2)求ω:确定函数的最小正周期T,则可得ω=2πT.
(3)求φ:①把图象上的一个已知点代入来求.
②寻找“五点法”中的某一个点来求,具体如下:“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时,ωx+φ=0;“第二点”(即图象的“峰点”)时,ωx+φ=π2;“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时,ωx+φ=π;“第四点”(即图象的“谷点”)时,ωx+φ=3π2;“第五点”时,ωx+φ=2π.
对点训练2(1)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),其部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为( )
A.f(x)=2sin12x+π4
B.f(x)=2sin12x+3π4
C.f(x)=2sin14x+3π4
D.f(x)=2sin2x+π4
(2)函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,则f11π24的值为( )
A.-62 B.-32 C.-22 D.-1
考向2 由函数y=Asin(ωx+φ)的性质求解析式
【例3】(2020山东济南三模,19)已知函数f(x)=Asinωx+π6(A>0,ω>0)只能同时满足下列条件中的两个:①函数f(x)的最大值为2,②函数f(x)的图象可由y=2sinx-π4的图象平移得到,③函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2.
(1)请写出这两个条件的序号,并求出f(x)的解析式;
(2)求方程f(x)+1=0在区间[-π,π]上所有解的和.
解题心得由函数y=Asin(ωx+φ)的性质确定其解析式的方法:由函数的最值确定A,由函数的周期性确定ω,由函数的奇偶性或对称性确定φ.
对点训练3(2020北京东城一模,17)已知函数f(x)=asin2x-π6-2cos2x+π6(a>0),且满足 .
(1)求函数f(x)的解析式及最小正周期;
(2)若关于x的方程f(x)=1在区间[0,m]上有两个不同解,求实数m的取值范围.
从①f(x)的最大值为1,②f(x)的图象与直线y=-3的两个相邻交点的距离等于π,③f(x)的图象过点π6,0这三个条件中选择一个,补充在上面问题中并作答.
考点
函数y=Asin(ωx+φ)的模型的应用
【例4】据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+BA>0,ω>0,|φ|<π2的模型波动(x为月份,且1≤x≤12,x∈N*),已知3月份达到最高价9千元,9月份价格最低为5千元,则7月份的出厂价格为 元.
解题心得三角函数模型在实际应用中的2种类型及解题策略
1.已知函数模型,利用三角函数的有关性质解决问题,其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则;
2.把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题,其关键是建模.
对点训练4(1)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinπ6x+φ+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( )
A.5 B.6 C.8 D.10
(2)某城市一年中12个月的月平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+Acosπ6(x-6)(x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高为28 ℃,12月份的月平均气温最低为18 ℃,则10月份的月平均气温为 ℃.
考点
三角变换与函数y=Asin(ωx+φ)的综合
【例5】(2020江西名校大联考,理17)已知函数f(x)=2asinπ2-xcosx-2π3,且fπ3=1.
(1)求a的值及f(x)的最小正周期;
(2)若f(α)=-13,α∈0,π2,求sin 2α.
对点训练5(2020北京八中模拟二,16)已知函数f(x)=3sinωx2cosωx2+sin2ωx2,其中ω>0.
(1)若函数f(x)的最小正周期为2,求ω的值;
(2)若函数f(x)在区间0,π2上的最大值为32,求ω的取值范围.
4.5 函数y=Asin(ωx+φ)
的图象与应用
必备知识·预案自诊
考点自诊
1.(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×
2.D 由已知周期T=π,则14T=π4,故右移π4个单位长度后得y=2sin2x-π4+π6=2sin2x-π3的图象,故选D.
3.B 由题得,y=2(sin2x+cos2x)=2sin2x+π4=2sin2x+π8,故选B.
4.B 因为函数g(x)=sinx+π6+φ为偶函数,所以π6+φ=kπ+π2(k∈Z),解得φ=kπ+π3(k∈Z).
当k=0时,φ=π3,
即|φ|的最小值为π3.
5.x=-5π24 将函数y=3sin2x+π4的图象向右平移π6个单位长度后得到函数y=3sin2x-π6+π4=3sin2x-π12的图象.
由2x-π12=π2+kπ,k∈Z,得
平移后的对称轴的方程为x=7π24+kπ2,k∈Z.
当k=0时,x=7π24,当k=-1时,x=-5π24.
所以与y轴最近的对称轴的方程是x=-5π24.
关键能力·学案突破
例1解(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=-π6.
数据补充完整如下表
ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
x
π12
π3
7π12
5π6
13π12
Asin(ωx+φ)
0
5
0
-5
0
函数解析式为f(x)=5sin2x-π6.
(2)由(1)知f(x)=5sin2x-π6,
得g(x)=5sin2x+2θ-π6.
因为y=sinx图象的对称中心为(kπ,0),k∈Z,所以令2x+2θ-π6=kπ,k∈Z,
解得x=kπ2+π12-θ,k∈Z.
由于函数y=g(x)的图象关于点5π12,0成中心对称,令kπ2+π12-θ=5π12,k∈Z,解得θ=kπ2-π3,k∈Z.由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值π6.
对点训练1解(1)y=2sin2x+π3的振幅A=2,周期T=2π2=π,初相φ=π3.
(2)令x'=2x+π3,
则y=2sin2x+π3=2sinx'.
列表,
x
-π6
π12
π3
7π12
5π6
x'=2x+π3
0
π2
π
3π2
2π
y=2sin2x+π3
0
2
0
-2
0
描点画图得函数图象,
(3)把y=sinx的图象上所有的点先向左平移π3个单位长度,得到y=sinx+π3的图象,再把y=sinx+π3的图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变),得到y=sin2x+π3的图象,最后把y=sin2x+π3上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin2x+π3的图象.
例2(1)ABD (2)A (1)由图可知,A=2,T4=π,所以T=4π=2πω,解得ω=12,故f(x)=2sin12x+4φ.
因为图象过点C(0,1),所以1=2sin4φ,即sin4φ=12.
因为0<φ<π8,所以0<4φ<π2,所以4φ=π6,则f(x)=2sin12x+π6,故A选项正确;若其纵坐标不变,横坐标变为原来的14,所得到的函数解析式为y=2sin2x+π6,
再向右平移π6个单位长度,所得到的函数解析式g(x)=2sin2x-π6+π6=2sin2x-π6,故B选项正确;
当x=-π3时,f-π3=2sin0=0,则x=-π3不是函数f(x)图象的一条对称轴,故C选项错误;
令2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2(k∈Z),得kπ-π6≤x≤kπ+π3(k∈Z),
故函数g(x)的单调递增区间是kπ-π6,kπ+π3(k∈Z),
当k=1时,g(x)在区间5π6,4π3上单调递增,故D选项正确.
(2)由题图知,A=2,周期T=2π3--π6=π,
所以ω=2ππ=2,y=2sin(2x+φ).
(方法1)因为函数图象过点π3,2,
所以2=2sin2×π3+φ.
所以2π3+φ=2kπ+π2(k∈Z).
因为|φ|<π2,故令k=0,得φ=-π6,
所以y=2sin2x-π6,故选A.
(方法2)因为函数图象过点-π6,-2,所以-2=2sin2×-π6+φ,
所以2×-π6+φ=2kπ-π2,k∈Z,即φ=2kπ-π6,k∈Z.
因为|φ|<π2,故令k=0,得φ=-π6,所以y=2sin2x-π6.故选A.
对点训练2(1)B (2)D (1)由题图可知A=2,T=2×3π2--π2=4π,
故2πω=4π,解得ω=12.
所以f(x)=2sin12x+φ.
把点-π2,2代入可得2sin12×-π2+φ=2,
即sinφ-π4=1,
所以φ-π4=2kπ+π2(k∈Z),
解得φ=2kπ+3π4(k∈Z).
又0<φ<π,所以φ=3π4.
所以f(x)=2sin12x+3π4.
(2)由图象可得A=2,最小正周期T=4×7π12-π3=π,则ω=2πT=2.
由f7π12=2sin7π6+φ=-2,|φ|<π2,得φ=π3,
则f(x)=2sin2x+π3,
所以f11π24=2sin11π12+π3=2sin5π4=-1.
例3解(1)函数f(x)=Asinωx+π6满足的条件为①③.
由题意可知,条件①②互相矛盾,故③为函数f(x)=Asinωx+π6满足的条件之一.
由③可知,T=π,所以ω=2,故②不合题意,所以函数f(x)=Asinωx+π6满足的条件为①③.
由①可知A=2,
所以f(x)=2sin2x+π6.
(2)因为f(x)+1=0,
所以sin2x+π6=-12.
所以2x+π6=-π6+2kπ(k∈Z)或2x+π6=7π6+2kπ(k∈Z),
即x=-π6+kπ(k∈Z)或x=π2+kπ(k∈Z).
又因为x∈[-π,π],
所以x的取值为-π6,5π6,-π2,π2,
所以方程f(x)+1=0在区间[-π,π]上所有解的和为2π3.
对点训练3解(1)因为f(x)=asin2x-π6-cos2(x+π6)-1=asin2x-π6-cos2x+π3-1=asin2x-π6-cos2x-π6+π2-1=(a+1)sin2x-π6-1,所以函数f(x)的最小正周期T=π.因为a>0,所以函数f(x)的最大值和最小值分别为a,-a-2.
若选①,则a=1,函数f(x)=2sin2x-π6-1;
若选②,则-3为函数f(x)的最小值,从而a=1,函数f(x)=2sin2x-π6-1;
若选③,则(a+1)sin2×π6-π6-1=0,从而a=1,函数f(x)=2sin2x-π6-1.
(2)由(1)知,函数f(x)的最大值为1.
因为关于x的方程f(x)=1在区间[0,m]上有两个不同解,当x∈[0,m]时,2x-π6∈-π6,2m-π6,所以5π2≤2m-π6<9π2,解得4π3≤m<7π3.所以实数m的取值范围是4π3,7π3.
例46 000 作出函数f(x)=Asin(ωx+φ)+BA>0,ω>0,|φ|<π2的简图如图所示,
由题意知A=2000,B=7000,T=2×(9-3)=12,∴ω=2πT=π6.
故f(x)=2000sinπ6x+φ+7000,
∵图象过点(3,9000),则有π6×3+φ=π2,∴φ=0,
故f(x)=2000sinπ6x+7000(1≤x≤12,x∈N*),
∴f(7)=2000×sin7π6+7000=6000(元).
对点训练4(1)C (2)20.5 (1)设水深的最大值为M,由题意并结合函数图象可得3+k=M,k-3=2,解得M=8.
(2)由题意得a+A=28,a-A=18,
即a=23,A=5,
所以y=23+5cosπ6(x-6),令x=10,得y=20.5.
例5解(1)由已知fπ3=1,得2a×12×12=1,解得a=2.
所以f(x)=4cosx32sinx-12cosx
=23sinxcosx-2cos2x
=3sin2x-cos2x-1
=2sin2x-π6-1.
所以f(x)=2sin2x-π6-1的最小正周期为π.
(2)f(α)=-13,2sin2α-π6-1=-13,sin2α-π6=13,因为α∈0,π2,所以2α-π6∈-π6,5π6.
又因为sin2α-π6=13<12,
所以2α-π6∈0,π6.
所以cos2α-π6=
1-sin22α-π6=223,
则sin2α=sin2α-π6+π6=sin2α-π6cosπ6+cos2α-π6sinπ6
=13×32+223×12=3+226.
对点训练5解(1)因为f(x)=
3sinωx2cosωx2+sin2ωx2
=32sinωx+1-cosωx2
=32sinωx-12cosωx+12
=sinωx-π6+12.
因为f(x)的最小正周期为2,即T=2πω=2,所以ω=π.
(2)因为0≤x≤π2,ω>0,
所以-π6≤ωx-π6≤ωπ2-π6.
若f(x)在区间0,π2上的最大值为32,只需ωπ2-π6≥π2,所以ω≥43,即ω的取值范围为43,+∞.
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