新教材2022版高考人教A版数学一轮复习学案：4.5　函数y=Asin（ωx+φ）的图象与应用

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4.5　函数y=Asin(ωx+φ)的图象与应用
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念

y=Asin(ωx+φ)
(A>0,ω>0),
x∈[0,+∞)
振幅
周期
频率
相位
初相




A
T=2πω
f=1T=ω2π
ωx+φ
φ

2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的简图时,要找出的五个特征点如下表所示

x
0-φω
π2-φω
π-φω
3π2-φω
2π-φω
ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
y=Asin(ωx+φ)
0
A
0
-A
0

3.由y=sin x的图象得y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种方法


y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的作法:
(1)五点法:用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换,设z=ωx+φ,由z取0,π2,π,3π2,2π来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象.
(2)图象变换法:由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象,有两种主要途径“先平移后伸缩”(即“先φ后ω”)与“先伸缩后平移”(即“先ω后φ”).

考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)把y=sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变,所得图象对应的函数解析式为y=sin12x.(　　)
(2)将y=sin 2x的图象向右平移π3个单位长度,得到y=sin2x-π3的图象.(　　)
(3)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0)的最大值为A,最小值为-A.(　　)
(4)如果y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T,那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.(　　)
(5)若函数y=Asin(ωx+φ)为偶函数,则φ=2kπ+π2(k∈Z).(　　)
2.将函数y=2sin2x+π6的图象向右平移14个周期后,所得图象对应的函数为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.y=2sin2x+π4
B.y=2sin2x+π3
C.y=2sin2x-π4
D.y=2sin2x-π3
3.(2020河南开封三模,理6)为了得到函数y=2(sin 2x+cos 2x)的图象,只需把函数y=2sin 2x图象上所有的点(　　)
A.向左平移π4个单位长度
B.向左平移π8个单位长度
C.向右平移π4个单位长度
D.向右平移π8个单位长度
4.(2020安徽马鞍山二模,6)函数f(x)=sinx+π6的图象平移后对应函数g(x)=sinx+π6+φ的图象,若g(x)为偶函数,则|φ|的最小值为(　　)
A.π6 B.π3
C.2π3 D.5π6
5.(2020江苏,10)将函数y=3sin2x+π4的图象向右平移π6个单位长度,则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是　　　　. 

关键能力学案突破　

考点
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换

【例1】某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)ω>0,|φ|0)个单位长度,得到y=g(x)的图象,若y=g(x)图象的一个对称中心为5π12,0,求θ的最小值.










解题心得对函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ≠0),其图象的基本变换有:
(1)纵向伸缩变换:伸长A增大,缩短A减小.
(2)横向伸缩变换:伸长周期增大ω减小;缩短周期减小ω增大.
(3)横向平移变换:左移1个单位长度,y=Asin[ω(x+1)+φ];右移1个单位长度,y=Asin[ω(x-1)+φ].
(4)上下平移:上移1个单位长度y=Asin(ωx+φ)+1;下移1个单位长度y=Asin(ωx+φ)-1.
对点训练1已知函数y=2sin2x+π3.
(1)求它的振幅、周期、初相;
(2)用“五点法”作出函数y在一个周期内的图象;
(3)说明y=2sin2x+π3的图象可由y=sin x的图象经过怎样的变换而得到.









考点

求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式(多考向探究)

考向1　由函数的图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
【例2】(1)

(多选)(2020山东菏泽一模,11)已知函数f(x)=Asin(ωx+4φ)A>0,ω>0,00,|φ|0,ω>0)的解析式的步骤和方法:
(1)求A,b:确定函数的最大值M和最小值m,则A=M-m2,b=M+m2.
(2)求ω:确定函数的最小正周期T,则可得ω=2πT.
(3)求φ:①把图象上的一个已知点代入来求.
②寻找“五点法”中的某一个点来求,具体如下:“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时,ωx+φ=0;“第二点”(即图象的“峰点”)时,ωx+φ=π2;“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时,ωx+φ=π;“第四点”(即图象的“谷点”)时,ωx+φ=3π2;“第五点”时,ωx+φ=2π.
对点训练2(1)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,00,|φ|0,ω>0)只能同时满足下列条件中的两个:①函数f(x)的最大值为2,②函数f(x)的图象可由y=2sinx-π4的图象平移得到,③函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2.
(1)请写出这两个条件的序号,并求出f(x)的解析式;
(2)求方程f(x)+1=0在区间[-π,π]上所有解的和.















解题心得由函数y=Asin(ωx+φ)的性质确定其解析式的方法:由函数的最值确定A,由函数的周期性确定ω,由函数的奇偶性或对称性确定φ.
对点训练3(2020北京东城一模,17)已知函数f(x)=asin2x-π6-2cos2x+π6(a>0),且满足　　　　　. 
(1)求函数f(x)的解析式及最小正周期;
(2)若关于x的方程f(x)=1在区间[0,m]上有两个不同解,求实数m的取值范围.
从①f(x)的最大值为1,②f(x)的图象与直线y=-3的两个相邻交点的距离等于π,③f(x)的图象过点π6,0这三个条件中选择一个,补充在上面问题中并作答.










考点
函数y=Asin(ωx+φ)的模型的应用

【例4】据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+BA>0,ω>0,|φ|0.
(1)若函数f(x)的最小正周期为2,求ω的值;
(2)若函数f(x)在区间0,π2上的最大值为32,求ω的取值范围.

















4.5　函数y=Asin(ωx+φ)
的图象与应用
必备知识·预案自诊
考点自诊
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×
2.D　由已知周期T=π,则14T=π4,故右移π4个单位长度后得y=2sin2x-π4+π6=2sin2x-π3的图象,故选D.
3.B　由题得,y=2(sin2x+cos2x)=2sin2x+π4=2sin2x+π8,故选B.
4.B　因为函数g(x)=sinx+π6+φ为偶函数,所以π6+φ=kπ+π2(k∈Z),解得φ=kπ+π3(k∈Z).
当k=0时,φ=π3,
即|φ|的最小值为π3.
5.x=-5π24　将函数y=3sin2x+π4的图象向右平移π6个单位长度后得到函数y=3sin2x-π6+π4=3sin2x-π12的图象.
由2x-π12=π2+kπ,k∈Z,得
平移后的对称轴的方程为x=7π24+kπ2,k∈Z.
当k=0时,x=7π24,当k=-1时,x=-5π24.
所以与y轴最近的对称轴的方程是x=-5π24.
关键能力·学案突破
例1解(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=-π6.
数据补充完整如下表
ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
x
π12
π3
7π12
5π6
13π12
Asin(ωx+φ)
0
5
0
-5
0


函数解析式为f(x)=5sin2x-π6.
(2)由(1)知f(x)=5sin2x-π6,
得g(x)=5sin2x+2θ-π6.
因为y=sinx图象的对称中心为(kπ,0),k∈Z,所以令2x+2θ-π6=kπ,k∈Z,
解得x=kπ2+π12-θ,k∈Z.
由于函数y=g(x)的图象关于点5π12,0成中心对称,令kπ2+π12-θ=5π12,k∈Z,解得θ=kπ2-π3,k∈Z.由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值π6.
对点训练1解(1)y=2sin2x+π3的振幅A=2,周期T=2π2=π,初相φ=π3.
(2)令x'=2x+π3,
则y=2sin2x+π3=2sinx'.
列表,
x
-π6
π12
π3
7π12
5π6
x'=2x+π3
0
π2
π
3π2
2π
y=2sin2x+π3
0
2
0
-2
0


描点画图得函数图象,

(3)把y=sinx的图象上所有的点先向左平移π3个单位长度,得到y=sinx+π3的图象,再把y=sinx+π3的图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变),得到y=sin2x+π3的图象,最后把y=sin2x+π3上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin2x+π3的图象.
例2(1)ABD　(2)A　(1)由图可知,A=2,T4=π,所以T=4π=2πω,解得ω=12,故f(x)=2sin12x+4φ.
因为图象过点C(0,1),所以1=2sin4φ,即sin4φ=12.
因为0