新教材高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形第5节函数y＝asinωx＋φ的图象及应用学案含解析

第五节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

一、教材概念·结论·性质重现

1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

2.用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图

用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：

3．由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法

4．明确以下两个关系

(1)函数的周期与图象的对称性之间的关系．

①正弦曲线或余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期．

②正切曲线相邻两对称中心之间的距离是周期．

(2)对称轴(对称中心)与函数值的关系．

在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设y＝f (x)＝Asin(ωx＋φ)，g(x)＝Acos(ωx＋φ)，x＝x0是对称轴方程⇔f (x0)＝±A，g(x0)＝±A；(x0,0)是对称中心⇔f (x0)＝0，g(x0)＝0.

二、基本技能·思想·活动体验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)将y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象． (×)

(2)函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A． (×)

(3)若函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)． (√)

(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(√)

2．已知函数f (x)＝2sin的图象经过点(0,1)，则该函数的最小正周期T和初相φ分别为(　　)

A．6，　　B．6，　　C．6π，　　D．6π，

A　解析：由已知得2sin φ＝1，所以sin φ＝.又|φ|＜，故φ＝.因此f (x)＝2sin，且T＝＝6.

3．为了得到y＝3cos的图象，只要把y＝3cos的图象上所有点的(　　)

A．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变

B．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变

C．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变

D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

D　解析：y＝3cos图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得到y＝3cos的图象．

4．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.

3　解析：观察函数图象可得周期T＝，

故T＝＝，

所以ω＝3.

考点1　由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式——基础性

1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b在一个周期内的图象如图，则函数的解析式为(　　)

A．y＝2sin＋1   B．y＝2sin＋1

C．y＝2sin＋1   D．y＝2sin＋1

D　解析：结合函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b在一个周期内的图象，可得A＝＝2，b＝1，×＝－，所以ω＝2.再根据五点法作图可得2×＋φ＝0，解得φ＝－，故函数的解析式为y＝2sin＋1.故选D．

2．已知函数f (x)＝Atan(ωx＋φ)，y＝f (x)的部分图象如图，则f ＝(　　)

A．2＋　　B．  　　C．　　D．2－

B　解析：由图象可知，T＝2×＝，所以ω＝2，所以f (x)＝Atan(2x＋φ)．因为函数过点，所以0＝Atan.又|φ|＜，所以φ＝.又f (0)＝1，所以Atan ＝1，解得A＝1，所以f (x)＝tan，

所以f ＝tan＝tan ＝.

3．函数f (x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f (x)的单调递减区间为(　　)

A．，k∈Z   B．，k∈Z

C．，k∈Z   D．，k∈Z

D　解析：由图象知，周期T＝2×＝2，所以＝2，所以ω＝π.由π×＋φ＝＋2kπ，得φ＝＋2kπ，k∈Z.不妨取φ＝，所以f (x)＝cos.由2kπ＜πx＋＜2kπ＋π，k∈Z，得2k－＜x＜2k＋，k∈Z，所以f (x)的单调递减区间为，k∈Z.故选D．

考点2　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换——综合性

将函数f (x)＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数解析式为(　　)

A．y＝2sin B．y＝2sin

C．y＝2sin D．y＝2sin

D　解析：由函数f (x)＝2sin得周期T＝＝π.将函数f (x)＝2sin的图象向右平移个周期，即为函数f (x)的图象向右平移个单位长度，得y＝f ＝2sin＝2sin.

1．(2020·威海一模)已知函数f (x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的最小正周期为π，且其图象向右平移个单位长度得到函数g(x)＝cos ωx的图象，则φ＝(　　)

A．　　B．　　C．　　D．

D　解析：因为f (x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，所以＝π，ω＝2.将f (x)的图象向右平移个单位长度，得到g(x)＝sin＝sin＝cos 2x的图象，所以φ－＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z.因为－π<φ<π，所以φ＝.故选D．

2．(2020·天津卷)已知函数f (x)＝sin.给出下列结论：

①f (x)的最小正周期为2π；

②f 是f (x)的最大值；

③把函数y＝sin x的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数y＝f (x)的图象．

其中所有正确结论的序号是(　　)

A．①　　B．①③　　C．②③　　D．①②③

B　解析：因为f (x)＝sin，所以周期T＝＝2π，故①正确；

f ＝sin＝sin＝≠1，故②不正确；

将函数y＝sin x的图象上所有点向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象，故③正确．故选B．

3．若ω＞0，将函数y＝cos的图象向右平移个单位长度后与函数y＝sin ωx的图象重合，则ω的最小值为________．

　解析：将函数y＝cos的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝cos的图象．因为所得函数图象与函数y＝sin ωx的图象重合，所以－＋＝＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝－－6k(k∈Z)．因为ω＞0，所以当k＝－1时，ω取得最小值.

考点3　三角函数模型及其应用——应用性

某港口某天0时至24时的水深y(单位：米)随时间x(单位：时)的变化曲线近似满足如下函数模型：y＝0.5sin＋3.24(ω>0)．若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为(　　)

A．16时　　B．17时　　C．18时　　D．19时

D　解析：由题意知，x＝0时，

y＝0.5sin ＋3.24＝3.49.

由五点法作图知，

如果当x＝16时，函数取得最小值，则16ωπ＋＝，得ω＝，

此时函数y＝0.5sin＋3.24，

函数的周期为T＝＝≈14.

该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米．

如果当x＝19时，函数取得最小值，则19ωπ＋＝，得ω＝.

此时函数y＝0.5sin＋3.24，

函数的周期为T＝＝，x＝24时，

y＝0.5sin＋3.24>3，如图：

该港口在该天0时至24时内，有且只有2个时刻的水深为3米．故选D．

1．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7 000元的基础上，按月呈f (x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)．已知3月份达到最高价9 000元，9月份价格最低为5 000元，则7月份的出厂价格为________元．

6 000　解析：作出函数简图．

由题意知，A＝2 000，B＝7 000，

T＝2×(9－3)＝12，所以ω＝＝.

将(3,9 000)看成函数图象的第二个特殊点，

则有×3＋φ＝，所以φ＝0，

故f (x)＝2 000sin x＋7 000(1≤x≤12，x∈N*)．

所以f (7)＝2 000×sin ＋7 000＝6 000.

故7月份的出厂价格为6 000元．

2．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示．已知6月份的平均气温最高，为28 ℃，12月份的平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃.

20．5　解析：依题意知，a＝＝23，A＝＝5，所以y＝23＋5cos.当x＝10时，y＝23＋5cos＝20.5.

3．(2021·海淀高三期中)唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子的半径为3 m，它以1 rad/s的角速度逆时针旋转．轮子外边沿有一点P，点P到船底的距离是H(单位：m)，轮子旋转时间为t(单位：s)．当t＝0时，点P在轮子的最高点处.

(1)当点P第一次入水时，t＝____________；

(2)当t＝t0时，函数H(t)的瞬时变化率取得最大值，则t0的最小值是____________．

π　π　解析：(1)当t＝0时，点P在轮子最高点处．由图可知，轮子距离船底1 m，半径3 m，则H＝rcos t＋1＋r＝3cos t＋4，t≥0.当点P第一次入水时，水面高2.5 m，即H＝2.5.代入H＝3cos t＋4得，cos t＝－.第一次入水，即在满足cos t＝－的情况下满足条件t≥0后可取的最小值，t＝.

(2)瞬时变化率取得最大值，即|H′(t)|最大，H′(t)＝－3sin t．当－3sin t＝3时，瞬时变化率取得最大值．此时，t0的最小值为.

考点4　三角函数图象与性质的综合问题——综合性

已知函数f (x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．若f (0)＝，且·＝－8，B，C分别为最高点与最低点．

(1)求函数f (x)的单调递增区间；

(2)若将f (x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值．

解：(1)由f (0)＝，得2sin φ＝，即sin φ＝.

又因为|φ|<，所以φ＝.

由题意知，＝，＝，

则·＝－8＝－8，所以T＝π.

故ω＝2，所以f (x)＝2sin.

由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，

解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

所以函数f (x)的单调递增区间为，k∈Z.

(2)由题意将f (x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，

所以g(x)＝f ＝2sin＝2sin.

因为x∈，所以2x＋∈，sin∈.

所以，当2x＋＝，即x＝0时，sin＝，g(x)取得最大值；

当2x＋＝，即x＝时，sin＝－1，g(x)取得最小值－2.

1．(2020·泰安模拟)函数g(x)＝sin ωx(ω>0)向左平移个单位长度得到函数f (x)，已知f (x)在[0,2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是(　　)

A．f (x)的图象关于直线x＝对称

B．f (x)在(0,2π)上只有3个极大值点，f (x)在(0,2π)上只有2个极小值点

C．f (x)在(0,2π)上单调递增

D．ω的取值范围是

D　解析：函数g(x)＝sin ωx(ω>0)向左平移个单位长度得到函数f (x)＝sin的图象．

已知f (x)在[0,2π]上有且只有5个零点，

当x∈[0,2π]时，ωx＋∈，

所以2ωπ＋∈[5π，6π)，所以ω∈，故D正确．

因此只有满足ωx＋＝，，的x是f (x)在(0,2π)上的极大值点，共3个；只有满足ωx＋＝，的x是f (x)在(0,2π)上的极小值点，但当ω接近时，ωx＋＝<6π，也是一个极小值点，这时有3个极小值点，故B不正确．

当x＝时，f ＝sin，

又因为ω∈，所以ω＋∈，

f 不一定能取到最小值或最大值，所以x＝不一定为对称轴，故A不正确．如果函数f (x)在(0,2π)上单调递增，这与f (x)在[0,2π]上有且只有5个零点矛盾，故C不正确．故选D．

2．已知函数f (x)＝2sincos－sin(x＋π)．

(1)求f (x)的最小正周期；

(2)若将f (x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值．

解：(1)f (x)＝2sin·cos－sin(x＋π)＝cos x＋sin x＝2sin，

于是T＝2π.

(2)由已知得g(x)＝f ＝2sin.

因为x∈[0，π]，所以x＋∈，

所以sin∈，

所以g(x)＝2sin∈[－1,2]．

故函数g(x)在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.

将函数y＝cos x＋sin x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是(　　)

A．  B．  C．  D．

[四字程序]

思路参考：构造正弦型函数的解析式．

B　解析：y＝cos x＋sin x＝2sin，函数的图象向左平移m(m>0)个单位长度，得y＝2sin.由x＋m＋＝kπ＋(k∈Z)，得函数y＝2sin的图象的对称轴为x＝－m＋kπ(k∈Z)．因为所得的图象关于y轴对称，所以－m＋kπ＝0(k∈Z)，即m＝kπ＋(k∈Z)，则m的最小值为.

思路参考：构造余弦型函数的解析式．

B　解析：y＝cos x＋sin x＝2cos，向左平移m(m>0)个单位长度得到y＝2cos.因为此函数图象关于y轴对称，所以y＝2cos为偶函数，易知m的最小值为.

思路参考：根据图象对称轴与函数最值的关系．

B　解析：由解法1，得y＝2sin.因为所得的图象关于y轴对称，可得f (0)＝±2，进而sin＝±1，易知m的最小值为.

思路参考：利用函数图象．

B　解析：y＝cos x＋sin x＝2sin，可得此函数图象的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)，可知离y轴最近的对称轴为x＝和x＝.由图象向左平移m(m>0)个单位长度后关于y轴对称，易知m的最小值为.

1．本题考查三角恒等变换、三角函数的图象和性质，基本解题方法是依据在对称轴处函数值或函数的奇偶性列方程或利用图象．重在对基础知识的考查，淡化特殊技巧，强调通解通法．

2．基于课程标准，解答本题一般需要提升运算求解能力、逻辑推理能力，体现逻辑推理、数学运算的核心素养．

3．基于高考数学评价体系，本题涉及三角恒等变换、三角函数的图象与性质等知识，渗透了转化与化归思想方法，有一定的综合性，属于中低档难度题．

将函数f (x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后，所得函数g(x)的图象关于原点对称，则函数f (x)在的最大值为(　　)

A．0  B．  C．  D．1

D　解析：将函数f (x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后，可得函数g(x)＝sin的图象．根据所得图象关于原点对称，可得＋φ＝kπ.因为|φ|<，所以φ＝，f (x)＝sin.

在上，2x＋∈，故当2x＋＝时，

f (x)取得最大值为1.