2021-2022学年七年级数学上册同步培优（苏科版）第3章 代数式 培优测试卷（二）（解析版）

这是一份2021-2022学年七年级数学上册同步培优（苏科版）第3章 代数式 培优测试卷（二）（解析版），共18页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第3章《代数式》 培优测试卷（二）
（满分150分 时间：90分钟） 班级 姓名 得分
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）
1．如图所示的图形都由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，若按此规律排列下去，则第7个图形中小圆圈的个数为( )

A．46 B．52 C．56 D．60
【答案】D
【分析】
设第n个图形中有an个小圆圈(n为正整数)，根据图形中小圆圈个数的变化可找出“an＝4+n(n+1)(n为正整数)”，再代入n＝7即可求出结论.
【详解】
解：设第n个图形中有an个小圆圈(n为正整数).
观察图形，可知：a1＝4+1×2，a2＝4+2×3，a3＝4+3×4，a4＝4+4×5，…，
∴an＝4+n(n+1)(n为正整数)，
∴a7＝4+7×8＝60.
故选D.
【点睛】
本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中小圆圈个数的变化找出变化规律“an＝4+n(n+1)(n为正整数)”是解题的关键.
2．瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据，，，，……中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门，按此规律第10个数据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题中已给出的5个数据，找出他们之间存在的数字规律，可将其中的一些最简分式的分子与分母同时乘以某个数，即可发现数据之间的关系．
【详解】
解：光谱数据第一个数为：，第二个数为：，第三个数为：，第四个数为：，第五个数为：，
观察上述的五个数字，发现分子依次为：、、、、，故第n项的分子为：，第n项数字的分母为：，故第n项数字为：，
即第10项数字为：，
故选：C．
【点睛】
本题主要考察了数字的规律探寻，解题的关键在于将题中所给的最简分式的分子与分母同时乘以某个数，即可发现数据之间的关系．
3．一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和．例如：23、33和43分别可以“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…若1003也按照此规律来进行“分裂”，则1003“分裂”出的奇数中，最小的奇数是（ ）
A．9999 B．9910 C．9901 D．9801
【答案】C
【分析】
根据“23＝3+5；33＝7+9+l1；43＝13+15+17+19”，归纳出m3“分裂”出的奇数中最小的奇数是m（m﹣1）+1，把m＝100代入，计算求值即可．
【详解】
解：23＝3+5；33＝7+9+l1；43＝13+15+17+19；
∵3＝2×1+1，
7＝3×2+1，
13＝4×3+1，
∴m3“分裂”出的奇数中最小的奇数是m（m﹣1）+1，
∴1003“分裂”出的奇数中最小的奇数是100×99+1＝9901，
故选：C．
【点睛】
本题考查了数字变换规律，有理数的乘方，观察数据特点，正确找出数字的变化规律是解题的关键．
4．根据图中数字的规律，若第n个图中出现数字396，则（ ）


A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】B
【分析】
观察上三角形，下左三角形，下中三角形，下右三角形各自的规律，让其等于396，解得为正整数即成立，否则舍去．
【详解】
根据图形规律可得：
上三角形的数据的规律为：，若，解得不为正整数，舍去；
下左三角形的数据的规律为：，若，解得不为正整数，舍去；
下中三角形的数据的规律为：，若，解得不为正整数，舍去；
下右三角形的数据的规律为：，若，解得，或，舍去
故选：B．
【点睛】
本题考查了有关数字的规律，能准确观察到相关规律是解题的关键．
5．已知的面积为1，如图1，点，分别是边，的中点，图中阴影部分的面积为，如图2，点，分别是边，的三等分点，图中阴影部分的面积为，如图3，点，分别是边，的四等分点 ，图中阴影部分的面积为⋯⋯请用含（为正整数）的代数式表示为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意，作EF⊥BC，作AG⊥BC，利用相似三角形的性质，分别求出线段之间的关系，从而得到面积的变化规律，即可得到答案．
【详解】
解：如图，作EF⊥BC，作AG⊥BC，

在图1中，有，
∵点E是AC中点，点D是BC中点，
∴BD=，，
∴；
在图2中，有点，分别是边，的三等分点，
∴,，
∴；
在图3中，点，分别是边，的四等分点 ，
∴,，
∴；
……
∴在第n个图中，；
故选：C．
【点睛】
本题考查了图形的变化规律，线段的中点，三角形的面积公式等知识，解题的关键是正确求出前几个图形的阴影的面积，找出规律，再进行解题．
6．有一列数：它有一定的规律性．若把第一个数记为a1，第二个数记为a2，……．第n个数记为an，则的值是（ ）
A．2020 B．2021- C．2020- D．2021-
【答案】B
【分析】
分析数据可得an= = ；从而得到的表达式为,根据等比数列的特征即可求和.
【详解】
解：观察可知∵an= = ,
设=b,则
b=
=
∴2b=
∴2b-b=-[]
∴b==,
即=,
故选:B.
【点睛】
本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题找到an的表达式是解题关键.
7．观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
观察图表可以发现：最上方的数字是连续奇数1、3、5，…2n-1；左下方的数字为20，21，22，…2n-1；最后根据右下方的数字=左下方的数字+最上方的数字解答即可．
【详解】
解：观察图表可以发现：最上方的数字是连续奇数1、3、5，…2n-1；
则2n-1=21，解得n=11
左下方的数字为：20，21，22，…2n-1；
令n=11可得：m=211-1=1024
∴n=m+21=1024+21=1045
故选：B．
【点睛】
本题考查了数字的变化类规律题，解题的关键在于根据图表观察、归纳数字变化的规律并灵活运用规律．
8．如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（　　）

A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F
【答案】D
【分析】
设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），然后根据题目中所给的第k次依次移动k个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．
【详解】
设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，
因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），应停在第k（k+1）﹣7p格，
这时P是整数，且使0≤k（k+1）﹣7p≤6，分别取k＝1，2，3，4，5，6，7时，
k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，
若7＜k≤2020，
设k＝7+t（t＝1，2，3）代入可得，k（k+1）﹣7p＝7m+t（t+1），
由此可知，停棋的情形与k＝t时相同，
故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是探索图形、数字变化规律，从图形中提取信息，转化为数字信息，探索数字变化规律是解答的关键.


二、填空题
9．探险家在一次探险中发现了一个原始部落的遗迹，根据发现的结果表明，这个部落所用算术中的符号“+”、 “-”、 “×”、“÷”、“（ ）”、 “=”与我们所学算术中的符号用法相同，也是十进制，虽然每个数字与我们的写法相同，但表示的实际值却不同，下面有几个原始部落的算式：8×8×8=8；9×9×9=5；9×3=3；（93+8）×7=837． 请你按这个原始部落的算术规则计算83×57的结果应为__________
【答案】850
【分析】
首先设8＝a，9＝b，5＝c，3＝d，7＝e，然后根据已知条件得到方程a3＝a，b3＝c，2d＝d，（20+1）e＝100+e，解方程即可求出8，9，5，3，7别表示1，2，8，0，5，然后即可求解．
【详解】
解：设8＝a，9＝b，5＝c，3＝d，7＝e，
则：a3＝a，
∴a＝1；
∵b3＝c，
∴b＝2，c＝8
∵2d＝d，
∴d＝0
∵（20+1）e＝100+e，
∴e＝5
即：8，9，5，3，7别表示1，2，8，0，5
∴83×57可表示为10×85＝850．
故答案为：850
【点睛】
此题主要考查了整数的十进制表示法，解题的关键是读懂题意，准确把握题目隐含的数量关系，然后利用数量关系列出方程解决问题．
10．按照一定规律排列的一列数一次是，，，，，...，按照此规律，这列数中的第个数是__________．
【答案】
【分析】
根据已知的一列数归纳类推出一般规律，由此即可得．
【详解】
这列数的第1个数是，
这列数的第2个数是，
这列数的第3个数是，
这列数的第4个数是，
这列数的第5个数是，
归纳类推得：这列数的第n个数是，其中n为正整数，
则这列数中的第个数是，
故答案为：405．
【点睛】
本题考查了数字类的规律型问题，依据题意，正确归纳出一般规律是解题关键．
11．取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1：这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：如图所示．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值是________．

【答案】128、21、20、3
【分析】
首先根据题意，应用逆推法，用1乘以2，得到2；用2乘以2，得到4；用4乘以2，得到8；用8乘以2，得到16；然后分类讨论，判断出所有符合条件的m的值为多少即可．
【详解】
根据分析，可得：


则所有符合条件的m的值为：128、21、20、3．
故答案为：128、21、20、3．
【点睛】
本题主要考查了规律－数字的变换类，考查了逆推法的应用，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律．
12．已知圆环内直径为acm，外直径为bcm，将100个这样的圆环一个接一个环套地连成条锁链(无缝隙)，那么这条镜链拉直后的长度为____________________cm．
【答案】
【分析】
先分别求出将2、3、4个这样的圆环一个接一个环套地连成条锁链拉直后的长度，再归纳类推出一般规律，由此即可得．
【详解】
由题意，将2个圆环连成条锁链拉直后的长度为，
将3个圆环连成条锁链拉直后的长度为，
将4个圆环连成条锁链拉直后的长度为，
归纳类推得：将n个圆环连成条锁链拉直后的长度为，其中且为整数，
则将100个圆环连成条锁链拉直后的长度为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了列代数式，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
13．如图，有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则移动金属片：规则1：每次只能移动一个金属片；规则2：较大的金属片不能放在较小的金属片上面．则把这n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动_______次．

【答案】2n﹣1
【分析】
设h（n）是把n个金属片从1号针移到3号针过程中最少次数，先求出n＝1、2、3时对应的h（1）、h（2）、h（3），进而找出规律得出h（n），问题即得解决．
【详解】
解：设h（n）是把n个金属片从1号针移到3号针过程中最少次数，
n＝1时，h（1）＝1；
n＝2时，小金属片→2号针，大金属片→3号针，小金属片从2号针→3号针，完成，即h（2）＝3＝22﹣1；
n＝3时，小金属片→3号针，中金属片→2号针，小金属片从3号针→2号针，[用h（2）种方法把中、小两金属片移到2号针，大金属片3号针；再用h（2）种方法把中、小两金属片从2号针3号针，完成]，
h（3）＝2×h（2）+1＝3×2+1＝7＝23﹣1，
h（4）＝2×h（3）+1＝7×2+1＝15＝24﹣1，
……
以此类推，h（n）＝2n﹣1，
故答案为：2n﹣1．
【点睛】
本题考查了归纳推理和图形变化的规律问题，正确理解题意、灵活应用特殊到一般的数学思想、找到规律是解题的关键．
14．如图，在数轴上，点表示1，现将点沿数轴做如下移动：第一次将点向左移动3个单位长度到达点，第2次将点向右平移6个单位长度到达点，第3次将点向左移动9个单位长度到达点…，则第6次移动到点时，在数轴上对应的实数是_________

【答案】3025
【分析】
序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，即可解答．
【详解】
第一次点向左移动3个单位长度至点，则表示的数，1-3=-2；
第2次从点向右移动6个单位长度至点，则表示的数为：-2+6=4；
第3次从点向左移动9个单位长度至点，则表示的数为4-9=-5；
第4次从点向右移动12个单位长度至点，则表示的数为-5+12=7；
第5次从点向左移动15个单位长度至点，则表示的数为7-15=-8；
第6次从点向左移动18个单位长度至点，则表示的数为-8+18=10；
……；
发现序号是奇数的点在负半轴上，
，

，
，
发现序号是偶数的点在正半轴上，
，
，
，
，
则点表示：
【点睛】
此题考查了数轴及数字的规探索，解答此题的关键是先求出前六次这个点移动后在数轴上表示的数，再根据此数值找出规律即可解答.

三、解答题
15．材料：若一个正整数，它的各个数位上的数字是左右对称的，则称这个正整数是对称数．例如：正整数22是两位对称数；正整数797是三位对称数；正整数4664是四位对称数；正整数12321是五位对称数．
根据材料，完成下列问题：
（1）最大的两位对称数与最小的三位对称数的和为___________
（2）若将任意一个四位对称数拆分为前两位数字顺次表示的两位数和后两位数字顺次表示的两位数，则这两个两位数的差一定能被9整除吗？请说明理由．
（3）如果一个四位对称数的个位数字与十位数字的和等于10，并且这个四位对称数能被7整除，请求出满足条件的四位对称数．
【答案】（1）200；（2）一定可以，理由见解析；（3）3773
【分析】
（1）根据题意得出最大的两位对称数是99，最小的三位对称数是101，求出和；
（2）设个位和千位上的数字是a，十位和百位上的数字是b，用a和b表示出这两个两位数的差，得，这个数是9的倍数一定可以被9整除；
（3）设这个四位数的个位数是x，将这个四位数用x表示出来，然后令x的值为1到9，求出对应的四位数的值，找到可以被7整除的数．
【详解】
解：（1）最大的两位对称数是99，
最小的三位对称数是101，
，
故答案是：200；
（2）设个位和千位上的数字是a，十位和百位上的数字是b，
则这两位数分别是、，
，
它们的差是，
这个数是9的倍数，所以这个数一定可以被9整除；
（3）设这个四位数的个位数是x，则十位数是，
这个数可以表示为，化简得，
令，则这个数是1991，
令，则这个数是2882，
令，则这个数是3773，
……
令，则这个数是9119，
其中只有3773能够被7整除，
∴满足条件的四位数是3773．
【点睛】
本题考查用字母表示数，解题的关键是能够理解题意用字母表示出对应的数进行求解．
16．某水果批发市场苹果的价格如下表：
价目表
购买苹果（千克）
单价
不超过20千克的部分
6元/千克
超过20千克但不超过40千克的部分
5元/千克
超过40千克的部分
4元/千克
（1）小明第一次购买10千克苹果，需要付费 元；小明第二次购买苹果x千克（x超过20千克但不超过40千克）需要付费 元（用含x的式子表示）
（2）小强分两次共买100千克，第二次购买的数量多于第一次购买数量，且第一次购买的数量为a千克，请问两次购买水果共需要付费多少元？（用含a的式子表示）
【答案】（1）60，；（2）当时，()元；当时，()元；当时，元
【分析】
（1）图中可以知道：10千克在“不超过20千克的总分”按6元/千克收费；x超过20千克但不超过40千克，前面的20千克按6元/千克来收费，后面多余的（x-20）千克按5元/千克来收费，最后再把2个费用相加；
（2）“小强分两次共购买100千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量”可以知道第一次购买的数量要小于50千克；分a≤20、20＜a≤40、40＜a＜50三种情况讨论计算即可．
【详解】
（1）∵10千克在“不超过20千克的总分”按6元/千克收费，
∴10×6=60元；
∵过20千克但不超过40千克，前面的20千克按6元/千克来收费，后面多余的（x-20）千克按5元/千克来收费，
∴元
故答案为：60，；
（2）∵再次共购买100千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量，
∴，
当时，需要付费为：
 
（元）；
 当时，需要付费为：
（元）；
当时，需要付费为：
（元）．
【点睛】
本题考查了列代数式．利用了分类讨论的思想；比较容易出错，需要把每一段的总费用算出来，然后再相加．
17．观察下列各式：，，…，……
解答下列各题：
（1）尝试并计算：；
（2）尝试并计算：；
（3）已知与互为相反数，试求代数式的值
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）仿照例题原式可化为，即可得到答案；
（2）原式可化为，即可求解；
（3）根据相反数的定义得到，求出x与y的值，再仿照例题的方法计算得到答案.
【详解】
（1）



；
（2）



；
（3）∵与互为相反数，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴



.
【点睛】
此题考查有理数的混合运算，数字类计算的规律探究，正确理解例题，总结并运用数字计算的规律是解题的关键.
18．A、B两处粮库分别有水稻100 t和400 t，全部运送到C、D两米厂加工，而C、D米厂分别能加工水稻150 t和350 t；已知从A、B两处米厂的运价如下表：

到C厂运价
到D厂运价
A粮库
每吨15元
每吨10元
B粮库
每吨12元
每吨12元
（1）若从B粮库运到C地的水稻为x（50＜x＜150）吨，则从B粮库运到D地的水稻为 t；从A粮库将水稻运往D地的运输费用为 元；
（2）用含x的式子表示出总运输费．（要求：列出算式，并化简）
（3）当x=100时，求总运输费用．
【答案】（1）（400-x）、（10x-500）；（2）总运费为（6550-5x）元；（3）6050元．
【分析】
（1）由B粮库有水稻400t全部运出，可得从B粮库运到D地的水稻=400t-从B粮库运到C地的水稻，则第一个空可解；先用x表示出从A粮库将水稻运往D地的吨数，再乘以10则第二个空可解．
（2）据题意先用x分别表示出从A粮库将运往D地C地的水稻质量、从B粮库运到C地D地的水稻质量，再乘以相应的运费单价，最后相加即可用x表示出总费用．
（3）把x=100代入到（2）所得到的代数式中求值即可．
【详解】
（1）：∵从B粮库运到C地的水稻为x（50＜x＜150）吨且B粮库有水稻400t全部运出
∴从B粮库运到D地的水稻为（400-x）t；
∴由表格知从B粮库将水稻运往C、D地的运输费用分别为12x元和12(400-x)元；
∵D地能加工水稻350
∴从A粮库运往D地的水稻为（t）
∴由表格知从A粮库将水稻运往D地的运输费用为（元）；
故答案为：（400-x）；（10x-500）
（2）∵A粮库有水稻100t且全部运出
∴从A粮库运往C地的水稻为100-(x-50)=150-x(t)
∴由表格知从A粮库将水稻运往C地的运输费用为15(150-x)元．
∴运输的总费用为：
=
=（元）．
（3）把x=100代入到-5x+6550中得
-5x+6550=-500+6550=6050（元）
答：当x=100时，总费用为6050元．
【点睛】
此题考查列代数式解决实际问题．关键是理解题意和表格，从中抽象出相等关系．
19．数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：如图所示，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为．根据以上知识解题：

（1）若数轴上两点A、B表示的数为-2、3，则|AB|=____________；
（2）若数轴上两点A、B表示的数为x、-1，
①A、B之间的距离可用含x的式子表示为____________；
②若该两点之间的距离为2，那么x值为____________；
（3）|x+1|+|x-2|的最小值为___________．
【答案】（1）5；（2）①；②1或-3；（3）3
【分析】
（1）利用公式计算即可得到答案；
（2）①利用公式计算即可；②根据①列方程求解即可；
（3）分情况分别计算：当x<-1时，当时，当x>2时，分别化简确定最小值即可得到答案.
【详解】
（1）=5，
故答案为：5；
（2）①，
故答案为：；
②由题意得=2，
∴1+x=2或1+x=-2，
解得x=1或x=-3，
故答案为：1或-3；
（3）当x<-1时，|x+1|+|x-2|=-x-1-x+2=1-2x，无最小值；
当时，|x+1|+|x-2|=x+1+2-x=3；
当x>2时，|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1，无最小值；
∴|x+1|+|x-2|的最小值为3，
故答案为：3.
【点睛】
此题考查绝对值的定义，绝对值的化简，解绝对值方程，整式的加减法计算法则，正确化简绝对值是解题的关键.
20．如图，如图几何体是由若干棱长为的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），观察该图，探究其中的规律．
（1）第个几何体中只有个面涂色的小立方体共有 个．第个几何体中只有个面涂色的小立方体共有 个．
（2）求出第个几何体中只有个面涂色的小立方体的块数．
（3）求出前个几何体中只有个面涂色的小立方体的块数和．

图① 图② 图③
【答案】（1）；（2）796；（3）个几何体的块数和为
【分析】
（1）第1个几何体中，只有两面涂色的小立方体为底层的4个小立方体，为4个，第3个几何体中，只有两面涂色的小立方体为20个小立方体；
（2）列举出图1、图2、图3中，只有两面涂色的小立方体的个数，找出规律，求出第个几何体中只有个面涂色的小立方体的块数即可；
（3）将前100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数相加，求和即可．
【详解】
（1）第个几何体中只有个面涂色的小立方体共有4个，第个几何体中只有个面涂色的小立方体共有20个．
（2）观察图形可知：图①中，只有个面涂色的小立方体共有个；
图②中，只有个面涂色的小立方体共有个；
图③中，只有个面涂色的小立方体共有个，
因此，第个图中，只有2个面涂色的小立方体共有个，
则第个几何体中，只有个面涂色的小立方体共有个．
（3）

=
．
故前个几何体中，只有个面涂色的小立方体的块数和为40000．
【点睛】
本题主要考查图形的变化规律，此类问题从简单图形入手，找出后一个图形与前一个图形相比，数量上的变化规律，从而推出一般结论是解题关键．