2021-2022学年七年级数学上册同步培优（苏科版）第2章 有理数 培优测试卷（二）（解析版）

这是一份2021-2022学年七年级数学上册同步培优（苏科版）第2章 有理数 培优测试卷（二）（解析版），共16页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第2章《有理数》 培优测试卷（二）
（满分150分 时间：90分钟） 班级 姓名 得分
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）
1．如图，在一个由六个圆圈组成的三角形里，把-1，-2，-3，-4，-5，-6这6个数分别填入图中圆圈里，要求三角形每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最大值是（ ）

A．-9 B．-10 C．-12 D．-13
【答案】A
【分析】
三角形每条边上的三个数的和S，那么3S是三角形的三个顶点的数字要重复一次的总和，故三个顶点的数字数字最大时，S取最大值.
【详解】
解：六个数的和为：，
最大三个数的和为：，，
S=．
填数如图：

故选A．
【点睛】
考查了有理数的加法， 注重考察学生的思维能力 ．
2．一跳蚤在一直线上从点开始，第次向右跳个单位，紧接着第2次向左跳个单位，第次向右跳个单位，第次向左跳个单位，……，依此规律跳下去，当它跳第次落下时，落点处离点的距离是（ ）个单位.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设向右为正，向左为负．根据正负数的意义列出式子计算即可．
【详解】
解：设向右为正，向左为负．则
1+（-2）+3+（-4）+．+（-100）=[1+（-2）]+[3+（-4）]+．+[99+（-100）]=-50．
∴落点处离O点的距离是50个单位．
故答案为:B．
【点睛】
此题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学．
3．如图，在数轴上，点A、B、C对应的数分别为a、b、c，若以下三个式子：，，都成立，则原点在　　

A．点A的左侧 B．点A和点B之间 C．点B和点C之间 D．点C的左侧
【答案】C
【解析】
【分析】
根据数轴可以得到a、b、c的关系，然后根据题目中的条件，可以得到点原点在什么位置，本题得以解决．
【详解】
解：由数轴可得，
a＜b＜c，|b-a|＜|c-b|，
∵a+c＜0，
∴c＞0，a＜0且|a|＞|c|，
∵|b|＜|c|，a+b＜0，
∴b＜0，
∴原点位于点B和点C之间，
故选C．
【点睛】
本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点，判断出原点的位置．
4．已知 m≥2，n≥2，且 m、n 均为正整数，如果将 mn 进行如图所示的“分解”，那么下列四个叙述中正确的有（ ）

①在 25 的“分解”结果是 15和17两个数．
②在 42 的“分解”结果中最大的数是9．
③若 m3 的“分解”结果中最小的数是 23，则 m＝5．
④若 3n 的“分解”结果中最小的数是 79，则 n＝5．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】C
【分析】
根据所给的例子的分解方法中找出分解的规律,其中最小的数是,从而可判断出②④正确.
【详解】
①在25的“分解”中最大的数是+1=17，所以这个叙述正确；
②在43的“分解”中最小的数是；所以这个正确；
③若53的“分解”中最小的数是21，所以这个叙述是错误的 ；
④若3n的“分解”中最小的数是-2=79 ,解得n=5，故这个是正确的.
综上所述，共有两个正确的结论.故选C
【点睛】
本题考查了有理数的乘方运算和规律总结，仔细观察发现其中的规律是解题的关键.
5．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，，则第2018次输出的结果为　　

A．0 B．3 C．5 D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意找出规律即可求出答案．
【详解】
第一次输出为24，
第二次输出为12，
第三次输出为6，
第四次输出为3，
第五次输出为6，
第六次输出为3，
……
从第三次起开始循环，∴（2018﹣2）÷2=1008
故第2018次输出的结果为：3．
故选B．
【点睛】
本题考查了数字规律，解题的关键是正确理解程序图找出规律．
6．如果对于某一特定范围内的任意允许值，p=|1﹣2x|+|1﹣3x|+…+|1﹣9x|+|1﹣10x|的值恒为一常数，则此值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】
分析：若P为定值，则化简后x的系数为0，由此可判定出x的取值范围，然后再根据绝对值的性质进行化简．
详解：∵P为定值，
∴P的表达式化简后x的系数为0；
由于2+3+4+5+6+7=8+9+10；
∴x的取值范围是：1-7x≥0且1-8x≤0，即≤x≤；
所以P=（1-2x）+（1-3x）+…+（1-7x）-（1-8x）-（1-9x）-（1-10x）=6-3=3．
故选B．
点睛：能够根据P为常数的条件判断出x的取值范围，是解答此题的关键．
7．一只跳蚤在一数轴上从原点开始，第1次向右跳1个单位长度，紧接着第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长度，…，依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，所在位置表示的数是(　　)
A．50 B．－50 C．100 D．－100
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据题意，求得每一次k1，k2，k3，k4，k5，k6点所表示的数，即可得到规律：当n为奇数时：Kn点所表示的数为：；当n为偶数时：Kn点所表示的数为：-．继而求得答案.
【详解】根据题意得：第一次K1点所表示的数为1，第二次k2点所表示的数为-1，第三K3点所表示的数为2，K4点所表示的数为-2，K5点所表示的数为3，K6点所表示的数为-3；
∴K100点所表示的数为：-；
故选：B
【点睛】此题考查了数轴的性质．此题难度适中，解题的关键是得到规律：当n为奇数时：Kn点所表示的数为：；当n为偶数时：Kn点所表示的数为：-．
8．已知x的取值能使|x﹣3|+|x+2|取得最小值，则所有中整数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
分析：由题意已知的取值能使取得最小值，可以分类讨论①②③求出的范围，然后把代入中，进行求解．
详解：∵已知x的取值能使|x−3|+|x+2|取得最小值，
∴当时，有|x−3|+|x+2|=x−3+x+2=2x−1，∴当x=3时有最小值：2×3−1=5；
∴当−2 当时，有|x−3|+|x+2|=3−x−x−2=1−2x，∴当x=−2时有最小值5，
∴，可以使|x−3|+|x+2|取得最小值，
∴
∴所有中整数有−1，0，1，共3个，
故选C.
点睛：结合两个绝对值符号里面的数，分类讨论，化简绝对值是解决本题的关键.


二、填空题
9．求的值，可令
，
，
因此．仿照以上推理，
计算出的值为 __________.
【答案】
【解析】
试题分析：由题意可令，则，再把两个式子相减即可求得结果.
可令，则
则，
所以.
考点：找规律-式子的变化
点评：解答此类问题的关键是根据所给式子的特征得到规律，再把这个规律应用于解题.
10．在求1+3+32+33+34+35+36+37+38的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍，于是她假设：S=1+3+32+33+34+35+36+37+38①，
然后在①式的两边都乘以3，得：3S=3+32+33+34+35+36+37+38+39②，
②-①得，3S-S=39-1，即2S=39-1，
所以S=．
得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母m（m≠0且m≠1），能否求出1+m+m2+m3+m4+…+m2016的值？如能求出，其正确答案是 ______ ．
【答案】.
【解析】
试题分析：设S＝1＋m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2016…………………①，
在①式的两边都乘以m，得：mS＝m＋m2＋m3＋m4＋…＋m2016＋m2017…………………②
②一①得：mS―S＝m2017－1.
∴S＝.
考点：阅读理解题；规律探究题.
11．先找规律，再填数：+-1=，+-=，+-=，+-=，+-________=
【答案】
【解析】
观察这些算式我们可以得到一个规律：每个算式第一个加数的分母依次是1，3，5，7，…，是首项为1，公差为2的等差数列，每个算式的减数的分母依次是1，2，3，4，…即是第几个算式，减数的分母就是几，先由第一个加数的分母是2011，求出是第几个算式，从而得出答案．
解：通过观察得：
每个算式第一个加数的分母依次是1，3，5，7，…，是首项为1，公差为2的等差数列，每个算式的减数的分母依次是1，2，3，4，…即是第几个算式，
设要求的是第n个算式，
则：1+（n-1）×2=2011，
解得：n=1006，
故答案为．
考查的是数字的变化类问题，解题的关键是通过观察找出规律，即每个算式第一个加数的分母依次是1，3，5，7，…，是首项为1，公差为2的等差数列，每个算式的减数的分母依次是1，2，3，4，…即是第几个算式，求解．
12．观察下面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应的等式，探究其中的规律：
①1×=1-
②2×=2-
③3×=3-
……
（1）在下面给出的四个正方形中画出第四个图形，并在右边写出与之对应的等式；
_______________
（2）猜想并写出与第几个图形相对应的等式：______________________________。
【答案】
【解析】分析：本题是图形与算式相结合的规律探究题目，注意观察算式的规律即可.
解析：(1)
算式： ，(2).
故答案为(1). (2). .
13．数轴上有三点A、B、C，且A、B两点间的距离是4，B、C两点的距离是．若点A表示的数是，则点C表示的数是__．（写出所有可能的结果）
【答案】0、4、-4、-8.
【解析】试题分析：本题主要考查的就是在数轴上两点之间的距离计算.在数轴上两点之间的距离等于两点所表示的数的差的绝对值，根据A、B两点间的距离为4以及点A表示的数为-2可得：点B所表示的数为2或-6；当点B的数为2时，则点C所表示的数为0或4；当点B的数为-6时，则点C所表示的数为-8或-4，综上所述，点C表示的数为0或4或-4或-8.
点睛：本题主要考查的就是在数轴上两点之间的距离的计算，在数轴上两点之间的距离等于两点所表示的数的差的绝对值.在解决这种问题的时候我们一定要注意在计算时一定要添加绝对值符号，不能出现漏解的现象.这种问题的考查还有可能出现在解答题里面，一般情况下会给出阅读材料，然后和动点的问题结合在一起.
14．若m1，m2，…m2016是从0，1，2这三个数中取值的一列数，若m1+m2+…+m2016=1546，
（m1﹣1）2+（m2﹣1）2+…+（m2016﹣1）2=1510，则在m1，m2，…m2016中，取值为2的个数为____．
【答案】520
【解析】
试题分析：解决此题可以先设0有a个，1有b个，2有c个，根据据题意列出方程组
求解即可．设0有a个，1有b个，2有c个， 由题意得， 解得，
故取值为2的个数为502个
考点：(1)、规律型：(2)、数字的变化类．

三、解答题
15．已知数轴上，点A和点B分别位于原点O两侧，AB=14，点A对应的数为a，点B对应的数为b.
(1) 若b＝－4，则a的值为__________.
(2) 若OA＝3OB，求a的值.
(3) 点C为数轴上一点，对应的数为c．若O为AC的中点，OB＝3BC，直接写出所有满足条件的c的值.

【答案】(1)10；(2)；(3)
【分析】
(1)根据题意画出数轴，由已知条件得出AB=14,OB=4,则OA=10,得出a的值为10.
(2)分两种情况,点A在原点的右侧时,设OB=m,列一元一次方程求解,进一步得出OA的长度,从而得出a的值.同理可求出当点A在原点的左侧时,a的值.
(3)画数轴,结合数轴分四种情况讨论计算即可.
【详解】
(1)解：若b＝－4，则a的值为 10
(2)解：当A在原点O的右侧时（如图）：

设OB=m,列方程得：m+3m=14，
解这个方程得，，
所以，OA=，点A在原点O的右侧，a的值为.
当A在原点的左侧时（如图)，

a=－
综上，a的值为±.
(3)解：当点A在原点的右侧，点B在点C的左侧时（如图), c=－.

当点A在原点的右侧，点B在点C的右侧时（如图), c=－8.

当点A在原点的左侧，点B在点C的右侧时，图略，c=.
当点A在原点的左侧，点B在点C的左侧时,图略，c=8.
综上，点c的值为：±8，±.
【点睛】
本题考查的知识点是通过画数轴,找出数轴上各线段间的数量关系并用一元一次方程来求解,需要注意的是分情况讨论时要考虑全面,此题充分锻炼了学生动手操作能力以及利用数行结合解决问题的能力.
16．一个电子跳蚤从数轴的原点出发，连续不断地一左一右来回跳动（第一次向左跳），跳动的距离依次为，，，…
（1）如果是正整数，那么第次跳动的距离是______；
（2）第次跳动的落点位置所对应的有理数是______；
（3）第次跳动后所处位置在原点的______侧；
（4）①相对于出发点，电子跳蚤第一次跳记作（向左跳），第二次跳记作（向右跳），以此类推，如果是正整数，那么第次记作______；
②会不会有相邻两次跳动的落点位置在原点的同侧？
【答案】（1）n；（2）-3；（3）右；（4）①，②不会，见解析
【分析】
（1）根据题意可得第n次跳动的距离为n；（2）利用算式-1+2-3+4-5= -3可得；（3）利用算式-1+2-3+4-5+…+100= 50可得；（4）①根据奇、偶数的表示方法可得；②列式计算，根据计算结果分析判断.
【详解】
解：（1）∵第一、二、三、四次跳动的距离为，，，，
∴第n次跳动的距离为；
（2）根据题意得，，
∴第次跳动的落点位置所对应的有理数是-3；
（3）根据题意得，，
∴第次跳动后所处位置在原点的右侧；
（4）①根据题意可得，当n（n为正整数）为奇数时跳到原点左侧，记为n的相反数-n，当n（n为正整数）为偶数时跳到原点右侧，记为n，
∴当是正整数，第次记作.
②不会
求和：
当为奇数时，原式
当为偶数时，原式
由此可知，从两个加数起，每增加一个加数，和的符号都会改变，故不会出现相邻两次跳动的落点位置在原点的同侧.
【点睛】
本题考查正负数的实际意义及加法运算，根据题意找到数字变化规律是解答此题的关键.
17．如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t（秒）．

（1）当t＝0.5时，求点Q到原点O的距离；
（2）当t＝2.5时求点Q到原点O的距离；
（3）当点Q到原点O的距离为4时，求点P到原点O的距离．
【答案】(1)6;(2)2;(3)点P到原点O的距离为2或6
【分析】
（1）先计算Q的运动路程，小于8，则用8减AQ计算OQ即可；
（2）先计算Q的运动路程，大于8，则用Q的运动路程减去8计算OQ即可；
（3）分两种情况：Q向左运动时，Q向右运动时，分别计算即可.
【详解】
解：（1）当t＝0.5时，点Q运动的距离为4t＝4×0.5＝2，即AQ=2，
∵OA＝8，
∴OQ＝OA－AQ＝8－2＝6，
∴点Q到原点O的距离为6；
（2）当t＝2.5时，点Q运动的距离为4t＝4×2.5＝10，
∵OA＝8，
∴OQ＝10－8＝2，
∴点Q到原点O的距离为2；
（3）①当Q向左运动时，OQ＝4，OA＝8，则AQ＝OA－OQ=8－4=4，
∴运动时间t＝4÷4=1(s)，
∴OP＝2×1=2；
②当Q向右运动时，OQ＝4，
∴Q运动的距离是8+4＝12，
∴运动时间t＝12÷4＝3(s)，
∴OP＝2×3＝6，
综上所述，点P到原点O的距离为2或6．
【点睛】
本题考查了数轴上的动点问题，正确分析题意并进行分类讨论是解题的关键.
18．点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，.已知数轴上两点、对应的数分别为、，点为数轴上一动点，其对应的数为.
（1）则、两点的距离_______.
（2）若，求点对应的数.
（3）若，求的最大值和最小值.
【答案】（1）4；（2）1；（3）最大值为7，最小值为-1.
【分析】
（1）根据两点间距离公式求解即可；
（2）根据x的取值范围，分别判断x-3与x+1的正负，然后根据绝对值的性质求解即可；
（3）根据x，y的取值范围，化简求值即可.
【详解】
（1）4.
（2）∵根据，则有，
∴可化为：
解之得：，
∴点对应的数是1，
（3）∵，
∴，
∴的最大值为-1+8=7，
的最小值为-4+3=-1.
【点睛】
本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．
19．先阅读材料：如图（1），在数轴上示的数为，点表示的数为，则点到点的距离记为.线段的长可以用右边的数减去左边的数表示，即.

解决问题：如图（2），数轴上点表示的数是-4，点表示的数是2，点表示的数是6.
（1）若数轴上有一点，且，则点表示的数为 ；
（2）点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，若点和点分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．则点表示的数是 （用含的代数式表示）， （用含的代数式表示）.
（3）请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值.
【答案】（1）-7或-1；（2），；（3）不变，值为6．
【分析】
（1）设点D表示的数为d，于是得到|﹣4﹣d|=3，求得d=﹣1或﹣7，于是得到结论；
（2）利用题意结合数轴表示出A、B、C三点表示的数，进而可得结论；
（3）根据题意列式计算即可得到结论．
【详解】
（1）设点D表示的数为d．
∵点A表示的数是﹣4，AD=3，∴|﹣4﹣d|=3，
解得：d=﹣1或﹣7，∴点D表示的数为﹣7或﹣1．
故答案为：﹣7或﹣1；
（2）点A表示的数是﹣4﹣t，点B表示的数是2t+2，点C表示的数是3t+6，∴BC=（3t+6）﹣（2t+2）=t+4．
故答案为：﹣4﹣t，t+4；
（3）不变，值为6．理由如下：
AB=（2t+2）﹣（﹣4﹣t）=2t+2+4+t=3t+6
3BC﹣AB=3（t+4）﹣（3t+6）
=3t+12﹣3t﹣6，
=6．
【点睛】
本题考查了数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离．
20．阅读下列材料：
，，，
由以上三个等式相加，可得

.
读完以上材料，请你计算下列各题：
（1）（写出过程）；
（2）__________________________（直接写出答案）；
（3）_____________________（直接写出答案）.
【答案】（1）440； （2）； （3）1260.
【分析】
通过观察，根据给定等式的变化找出变化规律
（1）根据变化规律将算式展开后即可得出原式，此题得解；
（2）根据变化规律将算式展开后即可得出原式，此题得解；
（3）通过类比找出变化规律，依此规律将算式展开后即可得出结论．
【详解】
解：观察，发现规律：，，，…，
∴，
（1）原式

；
（2）原式
；
故答案为：；
（3）观察，发现规律：…，
∴，
∴原式=

故答案为：1260.
【点睛】
本题考查了规律型中数字的变化类以及有理数的混合运算，根据等式的变化找出变化规律是解题的关键．