高中北师大版 (2019)第五章 复数1 复数的概念及其几何意义1.2 复数的几何意义复习练习题

这是一份高中北师大版 (2019)第五章 复数1 复数的概念及其几何意义1.2 复数的几何意义复习练习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若i为虚数单位，则复数z＝5i(3－4i)在复平面内对应的点所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
A [z＝5i(3－4i)＝20＋15i，则复数z＝5i(3－4i)在复平面内对应的点为(20，15)，所以复数z＝5i(3－4i)在复平面内对应的点在第一象限．]
2．在复平面内，向量 eq \(AB,\s\up8(→))对应的复数是2＋i，向量 eq \(CB,\s\up8(→))对应的复数是－1－3i，则向量 eq \(CA,\s\up8(→))对应的复数为( )
A．1－2i B．－1＋2i
C．3＋4i D．－3－4i
D [∵ eq \(AB,\s\up8(→))对应复数为2＋i， eq \(BC,\s\up8(→))对应复数为1＋3i，
∴ eq \(AC,\s\up8(→))对应复数(2＋i)＋(1＋3i)＝3＋4i，∴ eq \(CA,\s\up8(→))对应的复数是－3－4i.]
3．已知a是实数， eq \f(a－i,1＋i)是纯虚数，则a等于( )
A．1 B．－1 C． eq \r(2) D．－ eq \r(2)
A [ eq \f(a－i,1＋i)＝ eq \f(（a－i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝ eq \f(（a－1）－（a＋1）i,2)是纯虚数，则a－1＝0，a＋1≠0，解得a＝1.]
4．设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝( )
A． eq \f(1,2) B． eq \f(\r(2),2) C． eq \r(2) D．2
C [因为z＝ eq \f(2i,1＋i)＝ eq \f(2i（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝i(1－i)＝1＋i，
所以|z|＝ eq \r(2).]
5．复数 eq \f(a＋i,1－i)为纯虚数，则它的共轭复数是( )
A．2i B．－2i C．i D．－i
D [∵复数 eq \f(a＋i,1－i)＝ eq \f(（a＋i）（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝ eq \f(a－1＋（1＋a）i,2)为纯虚数，∴ eq \f(a－1,2)＝0， eq \f(1＋a,2)≠0，解得a＝1.∴ eq \f(a＋i,1－i)＝i，则它的共轭复数是－i.]
6．已知复数z满足(1－i)z＝i2 021(其中i为虚数单位)，则 eq \x\t(z)的虚部为( )
A． eq \f(1,2) B．－ eq \f(1,2) C． eq \f(1,2)i D．－ eq \f(1,2)i
B [∵i4＝1，∴i2 021＝i·(i4)505＝i，
∴z＝ eq \f(i,1－i)＝－ eq \f(1,2)＋ eq \f(1,2)i，
则 eq \x\t(z)＝－ eq \f(1,2)－ eq \f(1,2)i，∴ eq \x\t(z)的虚部为－ eq \f(1,2).]
7．若复数z满足iz＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是( )
A．(2，4) B．(2，－4)
C．(4，－2) D．(4，2)
C [z＝ eq \f(2＋4i,i)＝4－2i对应的点的坐标是(4，－2)，故选C.]
8．已知2＋ai，b＋i是实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，则p，q的值为( )
A．p＝－4，q＝5 B．p＝4，q＝5
C．p＝4，q＝－5 D．p＝－4，q＝－5
A [由条件知2＋ai，b＋i是共轭复数，则a＝－1，b＝2，即实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根是2±i，所以p＝－[(2＋i)＋(2－i)]＝－4，q＝(2＋i)(2－i)＝5.]
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．
9．已知复数z＝3－4i，则下列命题中正确的为( )
A． eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(z))＝5
B． eq \x\t(z)＝3＋4i
C．z的虚部为－4i
D．z在复平面上对应点在第四象限
ABD [由题意，复数z＝3－4i，可得 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(z))＝ eq \r(32＋（－4）2)＝5，所以A正确；
复数z的共轭复数 eq \x\t(z)＝3＋4i，所以B正确；
由复数z＝3－4i，可得复数z的虚部为－4，所以C错误；
复数z在复平面上对应点的坐标为(3，－4)，在第四象限，所以D正确．
故选ABD.]
10．给出下列命题，其中是真命题的是( )
A．纯虚数z的共轭复数是－z
B．若z1－z2＝0，则z1＝ eq \x\t(z)2
C．若z1＋z2∈R，则z1与z2互为共轭复数
D．若z1－z2＝0，则z1与 eq \x\t(z)2互为共轭复数
AD [根据共轭复数的定义，所以A是真命题；若z1－z2＝0，则z1＝z2，当z1，z2均为实数时，则有z1＝ eq \x\t(z)2，当z1，z2是虚数时，z1≠ eq \x\t(z)2，所以B是假命题；若z1＋z2∈R，则z1，z2可能均为实数，但不一定相等，或z1与z2的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以C是假命题；若z1－z2＝0，则z1＝z2，所以z1与 eq \x\t(z)2互为共轭复数，故D是真命题．故选AD.]
11．复数z＝ eq \f(2＋i,1－i)，i是虚数单位，则下列结论正确的是( )
A．|z|＝ eq \r(5)
B．z的共轭复数为 eq \f(3,2)＋ eq \f(1,2)i
C．z的实部与虚部之和为2
D．z在复平面内的对应点位于第一象限
CD [由题得，复数z＝ eq \f(2＋i,1－i)＝ eq \f(（2＋i）（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝ eq \f(1＋3i,1－i2)＝ eq \f(1,2)＋ eq \f(3,2)i，可得|z|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up8(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))\s\up8(2))＝ eq \f(\r(10),2)，则A不正确；z的共轭复数为 eq \f(1,2)－ eq \f(3,2)i，则B不正确；z的实部与虚部之和为 eq \f(1,2)＋ eq \f(3,2)＝2，则C正确；z在复平面内的对应点为( eq \f(1,2)， eq \f(3,2))，位于第一象限，则D正确．综上，正确结论是CD.故选CD.]
12.下列说法中不正确的是( )
A．在复平面内，虚轴上的点均表示纯虚数
B．若 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2－1))＋(a2＋3a＋2)i(a∈R)是纯虚数，则实数a＝±1
C．设a，b，c，d∈R，若 eq \f(a＋bi,c＋di)(c＋di≠0)为实数，则bc－ad＝0
D．若i为虚数单位，图中复平面内的点Z表示复数z，则表示复数z eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋i))的点是H
AB [在复平面内，虚轴上的点除原点外均表示纯虚数，故A错误；
若 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2－1))＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2＋3a＋2))i(a∈R)是纯虚数，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2－1＝0,a2＋3a＋2≠0)) ，解得a＝1，故B错误；
eq \f(a＋bi,c＋di)＝ eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋bi))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c－di)),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c＋di))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c－di)))＝ eq \f(ac＋bd＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(bc－ad))i,c2＋d2)
所以若 eq \f(a＋bi,c＋di)(c＋di≠0)为实数，则有bc－ad＝0，故C正确；
图中复平面内的点Z表示复数z＝2－i，
因为z eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋i))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－i)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋i))＝3＋i，所以对应的点为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，1))，即为H点，故D正确．故选AB.]
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．复数z＝ eq \f(3＋i,1＋2i)的共轭复数是________．
1＋i [依题意得z＝ eq \f(（3＋i）（1－2i）,（1＋2i）（1－2i）)＝ eq \f(5－5i,5)＝1－i，因此z的共轭复数是1＋i.]
14．已知复数z1＝2＋3i，z2＝a＋bi，z3＝1－4i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C.若 eq \(OC,\s\up8(→))＝2 eq \(OA,\s\up8(→))＋ eq \(OB,\s\up8(→))，则a＝________，b＝________．
－3 －10 [∵ eq \(OC,\s\up8(→))＝2 eq \(OA,\s\up8(→))＋ eq \(OB,\s\up8(→))，∴1－4i＝2(2＋3i)＋(a＋bi)，
即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＝4＋a，,－4＝6＋b，))∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝－10.))]
15．(1＋i)20－(1－i)20的值等于________．
0 [(1＋i)20－(1－i)20＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（1＋i）2)) eq \s\up8(10)－ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－i))\s\up8(2))) eq \s\up8(10)＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.]
16．下列说法中正确的是________．
①若(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，其中x∈R，y∈∁CR，则必有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－1＝y,1＝－（3－y）))；
②2＋i>1＋i；
③虚轴上的点表示的数都是纯虚数；
④若一个数是实数，则其虚部不存在；
⑤若z＝ eq \f(1,i)，则z3＋1对应的点在复平面内的第一象限．
⑤ [由y∈∁CR，知y是虚数，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－1＝y,1＝－（3－y）))不成立，故①错误；两个不全为实数的复数不能比较大小，故②错误；原点也在虚轴上，表示实数0，故③错误；实数的虚部为0，故④错误；⑤中z3＋1＝ eq \f(1,i3)＋1＝i＋1，对应点在第一象限，故⑤正确．]
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)设复数z＝lg (m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，当m为何值时，
(1)z是实数？(2)z是纯虚数？
[解] (1)要使复数z为实数，需满足 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2－2m－2>0，,m2＋3m＋2＝0，))解得m＝－2或－1.
即当m＝－2或－1时，z是实数．
(2)要使复数z为纯虚数，需满足 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2－2m－2＝1，,m2＋3m＋2≠0，))解得m＝3.
即当m＝3时，z是纯虚数．
18．(本小题满分12分)已知复数z＝3＋bi(b∈R)，且 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋3i))·z为纯虚数．
(1)求复数z；
(2)若w＝ eq \f(z,2＋i)，求复数w的模 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(w)).
[解] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋3i))· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋bi))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－3b))＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(9＋b))i，
∵ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋3i))·z是纯虚数，
∴3－3b＝0，且9＋b≠0，∴b＝1，∴z＝3＋i.
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2))w＝ eq \f(3＋i,2＋i)＝ eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋i))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－i)),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋i))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－i)))＝ eq \f(7－i,5)＝ eq \f(7,5)－ eq \f(1,5)i，
∴ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(w))＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,5)))\s\up8(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))\s\up8(2))＝ eq \r(2).
19．(本小题满分12分)已知复数z1满足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i为虚数单位，a∈R，若|z1－ eq \x\t(z)2|<|z1|，求a的取值范围．
[解] 因为z1＝ eq \f(－1＋5i,1＋i)＝2＋3i，z2＝a－2－i， eq \x\t(z)2＝a－2＋i，
所以|z1－ eq \x\t(z)2|＝|(2＋3i)－(a－2＋i)|＝|4－a＋2i|＝ eq \r(（4－a）2＋4)，
又因为|z1|＝ eq \r(13)，|z1－ eq \x\t(z)2|<|z1|，所以 eq \r(（4－a）2＋4)< eq \r(13)，
所以a2－8a＋7<0，解得1所以a的取值范围是(1，7).
20．(本小题满分12分)已知z＝ eq \f(x－i,1－i)(x>0)，且复数ω＝z(z＋i)的实部减去它的虚部所得的差等于－ eq \f(3,2)，求ω· eq \x\t(ω).
[解] ω＝z(z＋i)＝ eq \f(x－i,1－i) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x－i,1－i)＋i))＝ eq \f(x－i,1－i)· eq \f(x＋1,1－i)＝ eq \f(x＋1,2)＋ eq \f(x2＋x,2)i.
根据题意 eq \f(x＋1,2)－ eq \f(x2＋x,2)＝－ eq \f(3,2)，得x2－1＝3.
∵x>0，∴x＝2，∴ω＝ eq \f(3,2)＋3i.
∴ω· eq \x\t(ω)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋3i)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－3i))＝ eq \f(45,4).
21．(本小题满分12分)设z1是虚数，z2＝z1＋ eq \f(1,z1)是实数，且－1≤z2≤1.
(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；
(2)若ω＝ eq \f(1－z1,1＋z1)，求证：ω为纯虚数．
[解] (1)设z1＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，
则z2＝z1＋ eq \f(1,z1)＝a＋bi＋ eq \f(1,a＋bi)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(a,a2＋b2)))＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－\f(b,a2＋b2)))i.
因为z2是实数，b≠0，于是有a2＋b2＝1，即|z1|＝1，z2＝2a.
由－1≤z2≤1，得－1≤2a≤1，解得－ eq \f(1,2)≤a≤ eq \f(1,2)，即z1的实部的取值范围是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2))).
(2)证明：ω＝ eq \f(1－z1,1＋z1)＝ eq \f(1－a－bi,1＋a＋bi)＝ eq \f(1－a2－b2－2bi,（1＋a）2＋b2)＝－ eq \f(b,a＋1)i.
因为a∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，b≠0，所以ω为纯虚数．
22．(本小题满分12分)已知复数z满足|z|＝ eq \r(2)，z2的虚部是2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
[解] (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，
由题意得a2＋b2＝2且2ab＝2，
解得a＝b＝1或a＝b＝－1，
所以z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，
所以A(1，1)，B(0，2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1.
当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，
所以A(－1，－1)，B(0，2)，C(－1，－3)，
所以S△ABC＝1.综上，△ABC的面积为1.