高考数学一轮复习第八章第八节曲线与方程课时作业理含解析北师大版

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第八节 曲线与方程授课提示：对应学生用书第367页[A组　基础保分练]1．方程（x－y）2＋（xy－1）2＝0的曲线是（　　）A．一条直线和一条双曲线B．两条双曲线C．两个点D．以上答案都不对解析：由（x－y）2＋（xy－1）2＝0得∴或答案：C2．已知两定点A（－2，0），B（1，0），如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则动点P的轨迹是（　　）A．直线　　　　　　　 B．圆C．椭圆  D．双曲线解析：设P（x，y），则＝2，整理得x2＋y2－4x＝0，又D2＋E2－4F＝16＞0，所以动点P的轨迹是圆．答案：B3．已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N．若2＝λ·，其中λ为常数，则动点M的轨迹不可能是（　　）A．圆  B．椭圆C．抛物线  D．双曲线解析：以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立坐标系，设M（x，y），A（－a，0），B（a，0），则N（x，0）．因为2＝λ·，所以y2＝λ（x＋a）（a－x），即λx2＋y2＝λa2，当λ＝1时，轨迹是圆；当λ＞0且λ≠1时，轨迹是椭圆；当λ＜0时，轨迹是双曲线；当λ＝0时，轨迹是直线．综上，动点M的轨迹不可能是抛物线．答案：C4．已知A（0，7），B（0，－7），C（12，2），以C为一个焦点作过A，B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是（　　）A．y2－＝1（y≤－1）  B．y2－＝1C．y2－＝－1  D．x2－＝1解析：由题意，得|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，所以|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2．故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．因为c＝7，a＝1，所以b2＝48，所以点F的轨迹方程为y2－＝1（y≤－1）．答案：A5．已知F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是（　　）A．x2＝2y－1  B．x2＝2y－C．x2＝y－  D．x2＝2y－2解析：把抛物线方程y＝x2化成标准形式x2＝4y可得焦点F（0，1），设P（x0，y0），PF的中点M（x，y）．由中点坐标公式得∴又∵P（x0，y0）在抛物线y＝x2上，∴2y－1＝（2x）2，即x2＝2y－1．答案：A6．已知动圆Q过定点A（2，0）且被y轴截得的弦MN的长为4，则动圆圆心Q的轨迹方程为_________．解析：设Q（x，y）．因为动圆Q过定点A（2，0）且与y轴截得的弦MN的长为4，所以＋|x|2＝|AQ|2，所以|x|2＋22＝（x－2）2＋y2，整理得y2＝4x．所以动圆圆心Q的轨迹方程是y2＝4x．答案：y2＝4x7．在平面直角坐标系xOy中，若定点A（1，2）与动点P（x，y），满足向量在向量上的投影为－，则点P的轨迹方程为_________．解析：由＝－，知x＋2y＝－5，即x＋2y＋5＝0．答案：x＋2y＋5＝08．设F（1，0），M点在x轴上，P点在y轴上，且＝2，⊥，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程．解析：设M（x0，0），P（0，y0），N（x，y），因为⊥，＝（x0，－y0），＝（1，－y0），所以（x0，－y0）·（1，－y0）＝0，所以x0＋y＝0．由＝2得（x－x0，y）＝2（－x0，y0），所以即所以－x＋＝0，即y2＝4x．故所求的点N的轨迹方程是y2＝4x．[B组　能力提升练]1．（2021·聊城模拟）已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M（－1，2），Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则点Q的轨迹方程是（　　）A．2x＋y＋1＝0  B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0  D．2x－y＋5＝0解析：设Q（x，y），则可得P（－2－x，4－y），代入2x－y＋3＝0得，2x－y＋5＝0．答案：D2．在直角坐标平面内，已知两点A（－2，0），B（2，0），动点Q到点A的距离为6，线段BQ的垂直平分线交AQ于点P，则点P的轨迹方程是（　　）A．＋＝1  B．＋＝1C．＋＝1  D．＋＝1解析：连接PB，因为线段BQ的垂直平分线交AQ于点P，所以|PB|＝|PQ|，又|AQ|＝6，所以|PA|＋|PB|＝|AQ|＝6，又|PA|＋|PB|＞|AB|，从而点P的轨迹是中心在原点，以A，B为焦点的椭圆，其中2a＝6，2c＝4，所以b2＝9－4＝5，所以椭圆方程为＋＝1．答案：B3．（2021·银川模拟）设D为椭圆＋x2＝1上任意一点，A（0，－2），B（0，2），延长AD至点P，使得|PD|＝|BD|，则点P的轨迹方程为（　　）A．x2＋（y－2）2＝20B．x2＋（y＋2）2＝20C．x2＋（y－2）2＝5D．x2＋（y＋2）2＝5解析：设点P的坐标为（x，y）．因为D为椭圆＋x2＝1上任意一点，且A，B为椭圆的焦点，所以|DA|＋|DB|＝2．又|PD|＝|BD|，所以|PA|＝|PD|＋|DA|＝|DA|＋|DB|＝2，所以＝2，所以x2＋（y＋2）2＝20，所以点P的轨迹方程为x2＋（y＋2）2＝20．答案：B4．在△ABC中，已知A（2，0），B（－2，0），G，M为平面上的两点且满足＋＋＝0，||＝||＝||，∥，则顶点C的轨迹为（　　）A．焦点在x轴上的椭圆（长轴端点除外）B．焦点在y轴上的椭圆（短轴端点除外）C．焦点在x轴上的双曲线（实轴端点除外）D．焦点在x轴上的抛物线（顶点除外）解析：设C（x，y）（y≠0），则由＋＋＝0，即G为△ABC的重心，得G．又||＝||＝||，即M为△ABC的外心，所以点M在y轴上，又∥，则有M．所以x2＋＝4＋，化简得＋＝1，y≠0．所以顶点C的轨迹为焦点在y轴上的椭圆（除去短轴端点）．答案：B5．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A（－1，0），B（1，0）且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程为_________．解析：设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1（图略），则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，所以|FA|＋|FB|＝4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆（去掉长轴两端点）．所以抛物线的焦点轨迹方程为＋＝1（y≠0）．答案：＋＝1（y≠0）6．P是椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，有一动点Q满足＝＋，则动点Q的轨迹方程是_________．解析：由＝＋，又＋＝＝2＝－2，设Q（x，y），P（x0，y0），由＝－，则（x0，y0）＝，∴又P在椭圆上，则有＋＝1，即＋＝1．答案：＋＝17．如图，从双曲线x2－y2＝1上一点Q引直线x＋y＝2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程．解析：设动点P的坐标为（x，y），点Q的坐标为（x1，y1），则N点的坐标为（2x－x1，2y－y1）．∵N在直线x＋y＝2上，∴2x－x1＋2y－y1＝2．①又∵PQ垂直于直线x＋y＝2，∴＝1，即x－y＋y1－x1＝0，②①、②联立解得③又点Q在双曲线x2－y2＝1上，∴x－y＝1．④③代入④，得动点P的轨迹方程是2x2－2y2－2x＋2y－1＝0．8．自抛物线y2＝2x上任意一点P向其准线l引垂线，垂足为Q，连接顶点O与P的直线和连接焦点F与Q的直线交于R点，求R点的轨迹方程．解析：设P（x1，y1），R（x，y），则Q，F．OP的方程为y＝x．FQ的方程为y＝－y1．联立得x1＝，y1＝代入抛物线方程可得R点的轨迹方程为y2＝－2x2＋x．[C组　创新应用练]1．平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹是（　　）A．一条直线  B．一个圆C．一个椭圆  D．双曲线的一支解析：过定点A与AB垂直的动直线l组成一个平面，该平面与平面α交于一条直线，故动点C的轨迹是一条直线．答案：A2．如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（　　）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆解析：由条件知|PM|＝|PF|，所以|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R＞|OF|，所以P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆．答案：A3．若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A（－5，0），B（5，0）距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是（　　）A．x＋y＝5  B．x2＋y2＝9C．＋＝1  D．x2＝16y解析：因为M到平面内两点A（－5，0），B（5，0）距离之差的绝对值为8，所以M的轨迹是以A（－5，0），B（5，0）为焦点的双曲线，方程为－＝1．A项，直线x＋y＝5过点（5，0），满足题意，为“好曲线”；B项，x2＋y2＝9的圆心为（0，0），半径为3，与M的轨迹没有交点，不满足题意；C项，＋＝1的右顶点为（5，0），满足题意，为“好曲线”；D项，方程代入－＝1，可得y－＝1，即y2－9y＋9＝0，所以Δ＞0，满足题意，为“好曲线”．答案：B