高考数学一轮复习第八章第七节双曲线课时作业理含解析北师大版

第七节 双曲线

授课提示：对应学生用书第365页

[A组　基础保分练]

1．“k<9”是“方程＋＝1表示双曲线”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：因为方程＋＝1表示双曲线，所以（25－k）（k－9）<0，所以k<9或k>25，

所以“k<9”是“方程＋＝1表示双曲线”的充分不必要条件．

答案：A

2．若双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（－2b，a），则该双曲线的离心率为（　　）

A．　　　　　　　 B．2

C．3  D．

解析：依题意得该双曲线的渐近线方程为y＝±x，则a＝－×（－2b），得a2＝2b2，得e＝＝＝．

答案：D

3．（2020·高考全国卷Ⅲ）设双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a＝（　　）

A．1  B．2

C．4  D．8

解析：由得∴|F1F2|＝2c＝2a．

∵△PF1F2中，F1P⊥F2P，∴|F1P|2＋|F2P|2＝|F1F2|2＝4c2＝20a2．不妨设P在C的右支上，则|F1P|－|F2P|＝2a．∵△PF1F2的面积为4，∴|F1P||F2P|＝4，即|F1P||F2P|＝8．∴（|F1P|－|F2P|）2＝|F1P|2＋|F2P|2－2|F1P||F2P|＝20a2－2×8＝4a2，解得a＝1．

答案：A

4．已知双曲线－＝1（b＞0）的右焦点为（3，0），则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（　　）

A．  B．3

C．5  D．4

解析：由题意知a2＝4，4＋b2＝32，故b＝，所以渐近线的方程为y＝±x，则焦点到渐近线的距离d＝＝．

答案：A

5．已知直线l与双曲线C：x2－y2＝2的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为（　　）

A．  B．1

C．2  D．4

解析：由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，设A（x1，x1），B（x2，－x2），所以AB中点坐标为，所以－＝2，即x1x2＝2，所以S△AOB＝|OA|·|OB|＝|x1|·|x2|＝|x1x2|＝2．

答案：C

6．已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|＝（　　）

A．  B．3

C．2  D．4

解析：因为双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，所以∠MON＝60°．不妨设过点F的直线与直线y＝x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°．又直线MN过点F（2，0），所以直线MN的方程为y＝－（x－2）．

由得

所以M，所以|OM|＝＝，所以|MN|＝|OM|＝3．

答案：B

7．（2021·昆明调研）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x＋2y＝0垂直，则双曲线C的离心率为_________．

解析：易知直线x＋2y＝0的斜率为－，所以双曲线的一条渐近线的斜率为2，即＝2，所以双曲线C的离心率e＝＝ ＝．

答案：

8．设双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为_________．

解析：由题设易知A1（－a，0），A2（a，0），B，C．

∵A1B⊥A2C，

∴·＝－1，整理得a＝b．

∵渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，

∴渐近线的斜率为±1．

答案：±1

9．（2021·湛江模拟）已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0）．

（1）若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；

（2）以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率．

解析：（1）因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，

所以a＝b，所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，

所以a2＝b2＝2，

所以双曲线方程为－＝1．

（2）设点A的坐标为（x0，y0），

所以直线AO的斜率满足·（－）＝－1，

所以x0＝y0，①

依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，将①代入圆的方程得3y＋y＝c2，

即y0＝c，所以x0＝c，

所以点A的坐标为，

代入双曲线方程得－＝1，

即b2c2－a2c2＝a2b2．②

又因为a2＋b2＝c2，

所以将b2＝c2－a2代入②式，整理得

c4－2a2c2＋a4＝0，

所以3－8＋4＝0，

所以（3e2－2）（e2－2）＝0，

因为e＞1，所以e＝，

所以双曲线的离心率为．

[B组　能力提升练]

1．若双曲线－＝1（a＞0，b＞0）上一点M（－3，4）关于一条渐近线的对称点恰为右焦点F2，则该双曲线的标准方程为（　　）

A．－＝1  B．－＝1

C．－＝1  D．－＝1

解析：点M（－3，4）与双曲线的右焦点F2（c，0）关于渐近线y＝x对称，则得c＝5，＝2，所以b2＝25－a2＝4a2，所以a2＝5，b2＝20，则该双曲线的标准方程为－＝1．

答案：A

2．如图，F1，F2是双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2的直线与双曲线交于A，B两点．若|AB|∶|BF1|∶|AF1|＝3∶4∶5，则双曲线的渐近线方程为（　　）

A．y＝±2x  B．y＝±2x

C．y＝±x  D．y＝±x

解析：由题意可设|AB|＝3k，则|BF1|＝4k，|AF1|＝5k，则易得BF1⊥BF2，由双曲线的定义可知|AF1|－|AF2|＝2a，则可得|AF2|＝5k－2a，|BF2|＝8k－2a，再根据双曲线的定义得|BF2|－|BF1|＝2a，得k＝a，则|BF1|＝4a，|BF2|＝6a．又|F1F2|＝2c，所以在直角三角形BF1F2中，16a2＋36a2＝4c2＝4（a2＋b2），则＝2，双曲线的渐近线方程为y＝±2x．

答案：A

3．（2021·厦门模拟）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点，若|MN|＝2，△ABF的面积为8，则C的渐近线方程为（　　）

A．y＝±x  B．y＝±x

C．y＝±2x  D．y＝±x

解析：设双曲线的另一个焦点为F′，由双曲线的对称性，可得四边形AFBF′是矩形，

所以S△ABF＝S△ABF′，

即bc＝8，

由可得y＝±，

则|MN|＝＝2，即b2＝c，

所以b＝2，c＝4，

所以a＝＝2，

所以C的渐近线方程为y＝±x．

答案：B

4．（2021·衡水模拟）过双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F（，0）作斜率为k（k＜－1）的直线与双曲线过第一象限的渐近线垂直，且垂足为A，交另一条渐近线于点B，若S△BOF＝（O为坐标原点），则k的值为（　　）

A．－  B．－2

C．－  D．－

解析：由题意得双曲线过第一象限的渐近线方程为y＝－x，过第二象限的渐近线的方程为y＝x，直线FB的方程为y＝k（x－），联立方程得⇒x＝，所以y＝，所以S△BOF＝|OF|×|yB|＝××＝．

令＝，得k＝－2或k＝（舍）．

答案：B

5．已知点F2为双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，直线y＝kx交C于A，B两点，若∠AF2B＝，S△AF2B＝2，则C的虚轴长为_________．

解析：设双曲线C的左焦点为F1，连接AF1，BF1（图略），由对称性可知四边形AF1BF2是平行四边形，所以S△AF1B＝2，∠F1AF2＝．设|AF1|＝r1，|AF2|＝r2，则4c2＝r＋r－2r1r2cos．又|r1－r2|＝2a，所以r1r2＝4b2．又S△AF2B＝S△AF1F2＝r1r2sin＝2，所以b2＝2，则该双曲线的虚轴长为2．

答案：2

6．已知双曲线M：－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线M交于A，B两点，与双曲线M的两条渐近线交于C，D两点．若|AB|＝|CD|，则双曲线M的离心率是_________．

解析：设双曲线的右焦点为F（c，0），易知，|AB|＝．该双曲线的渐近线方程为y＝±x，当x＝c时，y＝±，所以|CD|＝．由|AB|＝|CD|，得＝×，即b＝c，所以a＝＝c，所以e＝＝．

答案：

[C组　创新应用练]

1．（2021·广东四校联考）P是双曲线C：－y2＝1右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线．P在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则|PF1|＋|PQ|的最小值为（　　）

A．1  B．2＋

C．4＋  D．2＋1

解析：设双曲线的右焦点为F2，连接PF2（图略），因为|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝2＋|PF2|，|PF1|＋|PQ|＝2＋|PF2|＋|PQ|，当且仅当Q，P，F2三点共线，且P在Q，F2之间时，|PF2|＋|PQ|最小，且最小值为点F2到直线l的距离．由题意可得直线l的方程为y＝±x，焦点F2（，0），点F2到直线l的距离d＝1，故|PQ|＋|PF1|的最小值为2＋1．

答案：D

2．已知双曲线C：－y2＝1的左焦点为F，过F的直线l交双曲线C的左、右两支分别于点Q，P．若|FQ|＝t|QP|，则实数t的取值范围是（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：由条件知F（－2，0）．设P（x0，y0），Q（x1，y1），则＝（x1＋2，y1），＝（x0－x1，y0－y1），则（x1＋2，y1）＝t（x0－x1，y0－y1），所以x1＝，y1＝．因为点P（x0，y0），Q（x1，y1）都在双曲线C上，所以消去y0，得x0＝．易知x0≥，所以≥，易知t＞0，所以0＜t≤，即实数t的取值范围是．

答案：A

3．一种画双曲线的工具如图所示，长杆OB通过O处的铰链与固定好的短杆OA连接，取一条定长的细绳，一端固定在点A，另一端固定在点B，套上铅笔（如图所示）．作图时，使铅笔紧贴长杆OB，拉紧绳子，移动笔尖M（长杆OB绕O转动），画出的曲线即为双曲线的一部分．若|OA|＝10，|OB|＝12，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：设|MB|＝t，则由题意，可得|MO|＝12－t，|MA|＝8－t，有|MO|－|MA|＝4＜|AO|＝10，由双曲线的定义可得动点M的轨迹为双曲线的一支，且双曲线的焦距2c＝10，实轴长2a＝4，即c＝5，a＝2，所以e＝＝．

答案：D