2020-2021学年2.3两角和与差的正切函数练习题

课时作业24　两角和与差的正切函数

时间：45分钟　　满分：100分

——基础巩固类——

一、选择题(每小题5分，共40分)

1．求值：＝(　C　)

A．   B．

C．   D．

解析：＝＝tan(45°－15°)＝tan30°＝.故选C．

2．若tan＝，则tanα等于(　C　)

A．   B．－

C．2   D．－2

解析：∵tan＝＝，

∴tanα＝2.

3．若A＝15°，B＝30°，则(1＋tanA)(1＋tanB)的值为(　B　)

A．1   B．2

C．－1   D．－2

解析：∵tan(A＋B)＝tan45°＝1，∴＝1.

∴tanA＋tanB＝1－tanAtanB．

∴(1＋tanA)(1＋tanB)＝1＋tanA＋tanB＋tanAtanB＝2.

4．△ABC中，tanA·tanB>1，则△ABC为(　A　)

A．锐角三角形   B．直角三角形

C．钝角三角形   D．不能确定

解析：∵tanA·tanB>1>0.

∴tanA>0且tanB>0(否则A、B同为钝角，不可能)，

∴tan(A＋B)＝<0，

∴90°<A＋B<180°，∴0°<C<90°.

5．若tan(α＋β)＝，tan(β－)＝，那么tan(α＋)的值等于(　A　)

A．   B．

C．   D．2

解析：∵α＋＝(α＋β)－(β－)，

∴tan(α＋)＝tan[(α＋β)－(β－)]

＝＝＝＝.

6．若sinα＝，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tanβ＝(　C　)

A．   B．－

C．－7   D．－

解析：因为sinα＝，α为第二象限角，

所以cosα＝－，所以tanα＝－.

因为tan(α＋β)＝，

所以1＝，解得tanβ＝－7.

7．已知tanα，tanβ是关于x的一元二次方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，则＝(　C　)

A．－1　　　　B．1　　　　C．－2　　　　D．2

解析：∵tanα，tanβ是关于x的一元二次方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，∴tanα＋tanβ＝－6，tanα·tanβ＝2.

则＝＝＝＝－2.

8．已知tan110°＝a，求tan10°的值，那么以下四个答案中：①；②；③a＋；④a－正确的是(　D　)

A．①②   B．③④

C．①④   D．②③

解析：tan110°＝－tan70°＝－＝－＝－＝－＝－＝a，

则tan210°－2atan10°－1＝0，

∴tan10°＝a±，

由于tan110°<0，∴a<0，而tan10°>0，

∴tan10°＝a＋，故③正确．

又tan10°＝－tan170°＝－＝－＝，故②正确．

二、填空题(每小题5分，共15分)

9．在△ABC中，tanA＋tanB＋＝tanAtanB，则C＝.

解析：由已知得tanA＋tanB＝－(1－tanAtanB)，

∴tan(A＋B)＝－.

∵A，B均为△ABC的内角，∴0<A＋B<π.

∴A＋B＝.∴C＝.

10．已知α、β均为锐角，且tanβ＝，则tan(α＋β)＝1.

解析：tanβ＝＝＝tan(－α)，

∵α，β均为锐角，∴β＝－α，∴α＋β＝，

∴tan(α＋β)＝tan＝1.

11．已知tan(α＋β＋γ)＝mtan(α－β＋γ)，且sin2(α＋γ)＝5sin2β，则实数m＝.

解析：设A＝α＋β＋γ，B＝α－β＋γ，则2(α＋γ)＝A＋B,2β＝A－B．因为sin2(α＋γ)＝5sin2β，所以sin(A＋B)＝5sin(A－B)，所以sinAcosB＋cosAsinB＝5(sinAcosB－cosAsinB)，所以6cosAsinB＝4sinAcosB，所以2tanA＝3tanB．故m＝＝.

三、解答题(共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

12．(12分)如图，△ABC中，∠BAC＝45°，BC边上的高AD将BC分成2 cm和3 cm两段，求△ABC的面积．

解：设∠BAD＝α，∠CAD＝β，AD＝x.

在Rt△ADB中，tanα＝＝.

在Rt△ADC中，tanβ＝＝.

tan45°＝＝＝1，

即＝1.

解这个方程，得x＝6或x＝－1(舍)．

故S△ABC＝×5×6＝15(cm2)．

13．(13分)在△ABC中，tanB＋tanC＋tanBtanC＝，tanA＋tanB＋1＝tanAtanB，试判断△ABC的形状．

解：由tanB＋tanC＋tanBtanC＝，

得tanB＋tanC＝(1－tanBtanC)．

若tanBtanC＝1，则tanB＝.

故在△ABC中，∠B＝－∠C，

∴∠B＋∠C＝，即∠A＝，

此时tanA无意义，与题设矛盾．

∴tanBtanC≠1，

∴＝tan(B＋C)＝.

又∵∠B＋∠C∈(0，π)，

∴∠B＋∠C＝.

同理，∵tanA＋tanB＋1＝tanAtanB，

∴tan(A＋B)＝＝－.

∵∠A＋∠B∈(0，π)，

∴∠A＋∠B＝π.

又∵∠A＋∠B＋∠C＝π，

∴∠A＝π，∠B＝∠C＝，

∴△ABC为等腰三角形．

——能力提升类——

14．(5分)已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若＝tan，则sin(B＋C)＝(　B　)

A．   B．1

C．   D．

解析：由＝tan，得＝tan，所以tan(A＋)＝tan，所以A＋＝kπ＋，k∈Z，所以A＝＋kπ，k∈Z.因为角A为三角形的内角，所以A＝，所以sin(B＋C)＝1，故选B．

15．(15分)是否存在锐角α和β，使α＋2β＝①，且tantanβ＝2－②，同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．

解：存在．解法一：由①得＋β＝.

∴tan(＋β)＝＝.

将②代入得tan＋tanβ＝3－.

∴tan，tanβ是方程x2－(3－)x＋2－＝0的两根．

解得x1＝1，x2＝2－.

若tan＝1，则与α为锐角矛盾．

∴tanβ＝1，tan＝2－，∴β＝，代入①得α＝，

满足tan＝2－.

解法二：由①得＝－β，代入②得：

tan(－β)·tanβ＝2－

⇒·tanβ＝2－

⇒tan2β－(3－)tanβ＋2－＝0，

tanβ＝1或2－.

若tanβ＝1，则β＝，α＝.

若tanβ＝2－.代入②得tan＝1.不合题意．

故存在α＝，β＝，使①②同时成立．