数学2.2两角和与差的正弦、余弦函数课后复习题

课时作业23　两角差的余弦函数　两角和与差的正弦、余弦函数

时间：45分钟　　满分：100分

——基础巩固类——

一、选择题(每小题5分，共40分)

1．sin45°cos15°＋cos45°sin15°＝(　D　)

A．－   B．－

C．   D．

解析：sin45°cos15°＋cos45°sin15°＝sin(45°＋15°)＝sin60°＝，故选D．

2．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanαtanβ＝(　B　)

A．   B．－

C．   D．－

解析：因为cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，

所以，

解得，

所以tanαtanβ＝＝－.

3．函数f(x)＝(1＋tanx)cosx的最小正周期为(　A　)

A．2π   B．

C．π   D．

解析：考查同角三角函数基本关系式及三角函数式的化简．

因为f(x)＝(1＋tanx)cosx＝cosx＋sinx＝2cos(x－)，

所以f(x)的最小正周期为2π.

4．若A、B、C是△ABC的三个内角，且sinA＝，cosB＝，那么cosC的值是(　A　)

A．   B．

C．或   D．不确定

解析：由cosB＝得sinB＝>sinA，

∴b>A．∵B为锐角，∴A为锐角，∴cosA＝.

∴cosC＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝.

5．若cos(－α)＝(0<α<)，则sin(α＋)＝(　B　)

A．   B．

C．   D．

解析：因为cos(－α)＝(0<α<)，所以sinα＝，所以cosα＝，所以sin(α＋)＝sinαcos＋cosαsin＝×＋×＝.

6．已知cos(α－β)＝，sinβ＝－，且α∈(0，)，β∈(－，0)，则cosα＝(　B　)

A．   B．

C．－   D．－

解析：∵，∴0<α－β<π.又cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝＝.∵－<β<0，sinβ＝－，∴cosβ＝，∴cosα＝cos[(α－β)＋β]＝cos(α－β)cosβ－sin(α－β)sinβ＝.

7．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C＝(　C　)

A．   B．

C．   D．

解析：考查向量的坐标运算和三角恒等变形公式．

m·n＝sinAcosB＋sinB·cosA＝sin(A＋B)

＝sinC＝1－cosC，∴sin(C＋)＝，

又∵0<C<π，∴C＋＝π，故C＝π.

8．已知sinα＋sinβ＋sin 1＝0，cosα＋cosβ＋cos 1＝0，则cos(α－β)＝(　C　)

A．－1   B．1

C．－   D．

解析：原式变为sinα＋sinβ＝－sin 1，①

cosα＋cosβ＝－cos 1，②

①②平方相加得cos(α－β)＝－.

二、填空题(每小题5分，共15分)

9．已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tanα＝1.

解析：由cos(α＋β)＝sin(α－β)得

cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ，

∴cosα(cosβ＋sinβ)＝sinα(cosβ＋sinβ)．

∵cosβ＋sinβ>0，∴cosα＝sinα.

∴tanα＝1.

10．化简：＝－tan5°.

解析：原式＝

＝

＝

＝＝－tan5°.

11．已知cosα＝，sinβ＝，且α∈(0，)，β∈(0，)，则α＋β＝.

解析：因为α∈(0，)，β∈(0，)，

所以sinα＝＝，cosβ＝＝，cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝.又0<α＋β<π，故α＋β＝.

三、解答题(共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

12．(12分)已知sin＝，cos(β－)＝，且0<α<<β<，求sin(α＋β)的值．

解：由sin＝，且0<α<，

得cos(＋α)＝－.

由cos(β－)＝，<β<，

得sin(β－)＝.

故cos[(＋α)＋(β－)]＝cos(＋α)cos(β－)－sin(＋α)sin(β－)＝－，

即cos(α＋β＋)＝－sin(α＋β)＝－，

所以sin(α＋β)＝.

13．(13分)已知a、b是两不共线的向量，且a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)．

(1)求证：a＋b与a－b垂直；

(2)若α∈(－，)，β＝，且a·b＝，求sinα.

解：(1)证明：∵a2＝cos2α＋sin2α＝1，

b2＝cos2β＋sin2β＝1，

∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.

即(a＋b)⊥(a－b)．

(2)由已知a·b＝cosαcos＋sinαsin＝cos(α－)，且a·b＝，∴cos(α－)＝.

由－<α<，

得－<α－<0.

∴sin(α－)＝－＝－.

∴sinα＝sin[(α－)＋]

＝sin(α－)cos＋cos(α－)sin＝－.

——能力提升类——

14．(5分)定义运算·＝，如·＝.已知α＋β＝π，α－β＝，则·等于(　A　)

A．   B．

C．   D．

解析：由题知·

＝

＝＝＝.

15．(15分)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈.

(1)若m⊥n，求tan x的值；

(2)若m与n的夹角为，求x的值．

解：(1)解法一：∵m⊥n，∴m·n＝0，

即sinx－cosx＝0，∴tanx＝1.

解法二：∵m＝，n＝(sin x，cos x)，

且m⊥n，

m·n＝·(sin x，cos x)

＝sin x－cos x＝sin，

又x∈，∴x－∈，

∴x－＝0，即x＝，

∴tan x＝tan ＝1.

(2)由(1)依题知cos ＝

＝＝sin，

∴sin＝，

又x－∈，

∴x－＝，即x＝.