北师大版必修42.1两角差的余弦函数课堂检测

课时素养评价 二十四　两角差的余弦函数　两角和与差的正弦、余弦函数

　　　　　　　　　　　　　　　　 (20分钟　35分)

1.在△ABC中,若sin Asin B<cos Acos B,则△ABC一定为 (　　)

A.等边三角形 B.直角三角形

C.锐角三角形 D.钝角三角形

【解析】选D.因为sin Asin B<cos Acos B,

所以cos Acos B-sin Asin B>0,

所以cos(A+B)>0,

因为A,B,C为三角形的内角,

所以A+B为锐角,所以C为钝角.

2.已知cos=-(α为锐角),则sin α= (　　)

A. B.

C. D.

【解析】选C.因为cos=-(α为锐角),

所以sin=,则sin α=sin

=sin-cos=×-×=.

3.已知函数f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)为偶函数,且在上为增加的,则θ的一个值可以是 (　　)

A. B. C. D.-

【解析】选D.根据题意f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)=2

=2sin.

若f(x)为偶函数,则有θ+=kπ+,即θ=kπ+,k∈Z,综合选项可知,当k=-1时,θ=-,f(x)=2sin=-2cos 2x满足偶函数且在上为增加的,满足题意.

4.计算:sin 119°sin 181°-sin 91°sin 29°=　　　　. 

【解析】原式=sin(29°+90°)sin(1°+180°)-sin(1°+90°)·sin 29°

=cos 29°(-sin 1°)-cos 1°sin 29°

=-(sin 29° cos 1°+cos 29° sin 1°)

=-sin(29°+1°)=-sin 30°=-.

答案:-

5.在△ABC中,cos A=,且cos B=,则cos C等于　　　　. 

【解析】由cos A>0,cos B>0知A,B都是锐角,

所以sin A==,

sin B==,

所以cos C=-cos(A+B)

=-(cos Acos B-sin Asin B)

=-=.

答案:

6.设cos=-,sin=,其中α∈,β∈,求cos.

【解题指南】观察已知角和所求角,可知=-,故可利用两角差的余弦公式求解.

【解析】因为α∈,β∈,

所以α-∈,-β∈,

所以sin=

==.

cos===.

所以cos=cos

=coscos+sin·

sin=-×+×=.

　　　　　　　　　　　　　　　　 (30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.在△ABC中,若2cos Bsin A=sin C,则△ABC的形状一定是 (　　)

A.等腰直角三角形 B.直角三角形

C.等腰三角形  D.等边三角形

【解题指南】根据sin C=sin(A+B),利用两角和的正弦公式展开求解.

【解析】选C.在△ABC中,sin C=sin(A+B)

=sin Acos B+cos Asin B,

所以2cos Bsin A=sin Acos B+cos Asin B,

即sin Acos B-cos Asin B=0,

亦即sin(A-B)=0,

所以A-B=0,A=B,则△ABC是等腰三角形.

2.已知sin(α+β)=,sin(α-β)=-,则= (　　)

A. B. C. D.-

【解析】选D.由已知sin(α+β)=,

sin(α-β)=-,得sin αcos β+cos αsin β=,

sin αcos β-cos αsin β=-,

两式分别相加减得sin αcos β=-,cos αsin β=,

所以===-.

3.已知角α,β∈,sin α=,cos(α+β)=,则sin β= (　　)

A. B. C. D.

【解析】选B.因为角α,β∈,所以0<α+β<π,

又sin α=,cos(α+β)=,

所以cos α==,

sin (α+β)===,

所以sin β=sin

=sin cos α-cos sin α=×-×=.

4.若f(x)=cos x-sin x在上是减少的,则m的最大值是 (　　)

A. B. C. D.

【解析】选D.f(x)=cos x-sin x=cos,由2kπ≤x+≤π+2kπ,k∈Z,

得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z.

取k=0,得-≤x≤.

又f(x)=cos x-sin x在上是减少的,所以解得0<m≤,所以m的最大值是.

5.已知α,β均为锐角,则下列不等式一定成立的是 (　　)

A.sin>sin α+sin β

B.sin<sin α+sin β

C.cos>cos α+cos β

D.cos<sin α+sin β

【解析】选B.对于A选项,当α=β=时,sin<sin α+sin β,故A选项不一定成立.

对于B选项,由于α,β均为锐角,所以sin α,cos α,sin β,cos β的范围均为,所以sin=sin αcos β+sin βcos α<sin α+sin β,故B选项不等式一定成立.

对于C选项,当α=β=时,cos<cos α+

cos β,故C选项不一定成立.

对于D选项,当α=β=时,cos=cos =,sin =sin=×-×=,所以sin α+sin β=×2=,cos>sin α+sin β,故D选项不一定成立.

二、填空题(每小题5分,共15分)

6.已知向量a=,b=(4,4cos α-),若a⊥b,则sin=　　　　. 

【解题指南】由a⊥b,知a·b=0,利用两向量数量积坐标表示整理可得.

【解析】由题意,得4sin+4cos α-=0,

即4sin αcos+4cos αsin+4cos α-=0,

所以2sin α+6cos α=,

整理,得4sin=,

故sin=,

sin=-.

答案:-

7.函数f=sin-2sin φcos的最大值为　　　　,最小值为　　　　. 

【解析】因为f=sin-2sin φcos

=sin-2sin φcos(x+φ)

=sincos φ-sin φ·cos=sin x,

所以函数f的最大值为1,最小值为-1.

答案:1　-1

8.若8sin α+5cos β=6,8cos α+5sin β=10,则sin(α+β)=　　　　. 

【解析】由8sin α+5cos β=6,两边平方,

得64sin2α+80sin αcos β+25cos2β=36.①

由8cos α+5sin β=10,两边平方,

得64cos2α+80cos αsin β+25sin2β=100.②

①+②,得64+25+80(sin αcos β+cos αsin β)=136.

所以sin(α+β)=.

答案:

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.(1)已知sin α=,cos β=,其中α∈,β∈,求cos(α+β);

(2)已知cos α=,cos(α-β)=,且0<β<α<,求β的值.

【解析】(1)因为α∈,β∈,sin α=,cos β=,所以cos α=-,sin β=,

所以cos=cos αcos β-sin αsin β=×-×=-1.

(2)因为0<α<,cos α=,所以sin α=,

因为0<β<α<,cos=,所以0<α-β<,所以sin=,所以sin β=sin [α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)

=×-×=.所以β=.

10.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像关于直线x=对称,且图像上相邻两个最高点的距离为π.

(1)求ω和φ的值.

(2)若f=,

求cos的值.

【解析】(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π,所以f(x)的最小正周期T=π,从而ω==2.

又因为f(x)的图像关于直线x=对称,

所以2·+φ=kπ+,k=0,±1,±2,….

由-≤φ<,

得k=0,所以φ=-=-.

(2)由(1)得f=sin=,

所以sin=.

由<α<得0<α-<,

所以cos=

==.

因此cos=sin α=sin

=sincos+cossin

=×+×=.

　若cos(α-β)=,cos 2α=,并且α,β均为锐角,且α<β,则α+β的值为 (　　)

A. B. C. D.

【解题指南】根据α+β=2α-(α-β),先求cos(α+β),再根据α+β的范围求值.

【解析】选C.因为0<α<β<,

所以-<α-β<0,0<2α<π,

所以由cos(α-β)=,

得sin(α-β)=-,

由cos 2α=,

得sin 2α=.

所以cos(α+β)=cos

=cos 2αcos(α-β)+sin 2αsin(α-β)

=×+×=-.

又α+β∈(0,π),所以α+β=.

　【补偿训练】

　　 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c,已知·=2,

cos B=,b=3,求:

(1)a和c的值;(2)cos(B-C)的值.

【解析】(1)由·=2得,c·acos B=2,

又cos B=,所以ac=6.

由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos B.

又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13.

解得a=2,c=3或a=3,c=2.

因为a>c,所以a=3,c=2.

(2)在△ABC中sin B===.

由正弦定理,得sin C=sin B=×=,又因为a=b>c,所以C为锐角,因此

cos C===.

于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=×+×=.