人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第2课时学案

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式

第2课时  一元二次不等式的综合应用

【学习目标】  

【自主学习】

一．分式不等式的解法

若f(x)与g(x)是关于x的多项式，则不等式>0(或<0，或≥0，或≤0)称为分式不等式．

解分式不等式总的原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式(组)求解．

1.>0⇔         ；      

2.<0⇔         ；

3.≥0⇔；  

4.≤0⇔.

二．一元二次不等式恒成立问题

1.不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为

一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为

一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为

2.分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min.

【经典例题】

题型一  简单的分式不等式求解

例1 解下列不等式：

(1)≥0；  (2)>1.

【跟踪训练】1　解下列不等式：

(1)≥0；   (2)＞1.

题型二  一元二次不等式恒成立的问题

例2 设函数f(x)＝mx2－mx－1.

(1)若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立，求m的取值范围；

(2)对于x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围.

【跟踪训练】2 二次不等式ax2＋2x－1＜0的解集为R，则a的取值范围是________.

题型三  一元二次不等式的实际应用

点拨：一元二次不等式解决实际应用问题的步骤

(1)理解题意，搞清量与量之间的关系．

(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式(组)问题．

(3)解这个一元二次不等式(组)，得到实际问题的解．

例3在一个限速40 km/h以内的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离S m与车速x km/h之间分别有如下关系：S甲＝0.1x＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2.问超速行驶谁应负主要责任.

【跟踪训练】3某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担.政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x＞0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点.

(1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式；

(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围.

【当堂达标】

1.不等式≥0的解集为(　　)

A.{x|－1＜x≤1}       B.{x|－1≤x＜1}     C.{x|－1≤x≤1}    D.{x|－1＜x＜1}

2. (多选题)若“不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立”为假命题，则实数a可能的取值为(   )

A．{a|－1≤a≤4}       B．{a|－1<a<4}    C．{a|a<－1}    D．{a|a>4}

3.若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是(　　)

A.100台           B.120台         C.150台      D.180台

4.若不等式x2－4x＋3m<0的解集为空集，则实数m的取值范围是________．

5.若关于x的不等式ax2＋2x＋2＞0在R上恒成立，实数a的取值范围为________..

6.已知当2≤x≤3时，不等式2x2－9x＋a<0恒成立．求a的取值范围．

【课堂小结】

1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意分母不为零．

2.对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a>y恒成立⇔a>ymax；(2)a<y恒成立⇔a<ymin.

3.解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．

【参考答案】

【自主学习】

f(x)g(x)>0  f(x)g(x)<0

【经典例题】

例1 解(1)原不等式可化为解得

∴x<－或x≥，∴原不等式的解集为.

(2)原不等式可化为>0，

化简得>0，即<0，

∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－3<x<－.∴原不等式的解集为.

【跟踪训练】1解　

(1)原不等式可化为≤0，∴∴

即－＜x≤1.故原不等式的解集为.

(2)原不等式可化为－1＞0，∴＞0，∴＞0，则x＜－2.

故原不等式的解集为{x|x＜－2}.

例2 解　(1)若m＝0，显然－1＜0恒成立；

若m≠0，则⇒－4＜m＜0. ∴m的取值范围为(－4，0].

(2)要使f(x)＜－m＋5恒成立，就要使m＋m－6＜0，x∈[1，3].

令g(x)＝m＋m－6，x∈[1，3].

当m＞0时，g(x)在[1，3]上是增函数，

∴g(x)max＝g(3)＝7m－6.∴7m－6＜0，解得m＜.∴0＜m＜.

当m＝0时，－6＜0恒成立.

当m＜0时，g(x)在[1，3]上是减函数.

∴g(x)max＝g(1)＝m－6＜0，解得m＜6，∴m＜0.

综上所述，m的取值范围为.

【跟踪训练】2  (－∞，－1) 解析　⇒⇒a＜－1.

例3 解　由题意列出不等式S甲＝0.1x＋0.01x2>12，

S乙＝0.05x＋0.005x2>10.

分别求解，得x<－40或x>30.x<－50或x>40.

由于x>0，从而得x甲>30 km/h，x乙>40 km/h.经比较知乙车超过限速，应负主要责任.

【跟踪训练】3 解　(1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元.依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)%

＝a(100＋2x)(10－x)(0＜x＜10).

(2)原计划税收为200a×10%＝20a(万元).

依题意得a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，化简得x2＋40x－84≤0，解得－42≤x≤2.

又因为0＜x＜10，所以0＜x≤2.即x的取值范围为(0，2].

【当堂达标】

1. B 解析：原不等式⇔∴－1≤x＜1.

2.CD 解析：若命题为真命题，由于x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.所以题中a可以取的范围为{a|a<－1}∪{a|a>4}．

3. C 解析：y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0，即x2＋50x－30 000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去).

4.m≥ 解析：由题意，知x2－4x＋3m≥0对一切实数x恒成立，所以Δ＝(－4)2－4×3m≤0，解得m≥.

5.解：当a＝0时，原不等式可化为2x＋2＞0，其解集不为R，故a＝0不满足题意，舍去；

当a≠0时，要使原不等式的解集为R，只需解得a＞.

综上，所求实数a的取值范围为.

6.解：∵当2≤x≤3时，2x2－9x＋a<0恒成立，

∴当2≤x≤3时，a<－2x2＋9x恒成立．

令g(x)＝－2x2＋9x，

∵2≤x≤3，且对称轴方程为x＝，

∴g(x)min＝g(3)＝9，∴a<9.

∴a的取值范围为a<9.