高中数学北师大版必修33模拟方法 概率的应用习题
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3.3模拟方法——概率的应用同步练习北师大版高中数学必修三
一、单选题（本大题共16小题，共80.0分）
- 如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A.
B.
C.
D.
- 有四个游戏盘，如图所示，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖机会大，他应当选择的游戏盘为
A. B.
C. D.
- 如图，在矩形ABCD中，，在CD上任取一点P，则的最大边是AB的概率是
A.
B.
C.
D.
- 向一个边长为的正三角形内随机投一点P，则点P到三边的距离都不小于1的概率为
A. B. C. D.
- 已知对数函数的图象过点，则在内任取一个实数x，使得成立的概率为
A. B. C. D.
- 在区间上随机地取一个数x，则事件“”发生的概率为
A. B. C. D.
- 九章算术勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭长各几何”其意思是：有一水池一丈见方，池中心生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐如图所示，问水有多深，该植物有多长其中一丈为十尺若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为
A. B. C. D.
- 如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是
A. B. C. D.
- 在矩形ABCD中，，，现向该矩形ABCD内随机投一点P，则的概率为
A. B. C. D.
- 汉中电视台“关注汉中”栏目的播出时间是每天中午到，在该档节目中将随机安排播出时长5分钟的有关“金色花海真美汉中”的新闻报道若小张某天打开电视，则他能收看到这条新闻的完整报道的概率是
A. B. C. D.
- 如图，在正三角形中有一内切圆，一正方形内接于该圆，往正三角形中任投一飞镖，则飞镖投入阴影部分的概率为
A.
B.
C.
D.
- 下列概率模型是几何概型的为
A. 已知a，2，3，，求使方程有实根的概率
B. 已知a，b满足，，求使方程有实根的概率
C. 从甲、乙、丙三人中选2人参加比赛，求甲被选中的概率
D. 求张三和李四的生日在同一天的概率一年按365天计算
- 在长为2的木棍上随机选择一点切断为两根，它们能够与另一根长为1的木棍组成三角形的概率为
A. B. C. D.
- “勾股定理”在西方被称为“华达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为4的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在图中区域1或区域2内的概率是
A. B. C. D.
- 两根相距的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于的概率为
A. B. C. D.
- 如图，矩形长为6，宽为3，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估算出椭圆的面积约为
A.
B.
C.
D.
二、单空题（本大题共2小题，共10.0分）
- 已知圆O是等边三角形ABC的内切圆，在内随机取一点，则该点落在圆O内的概率为 ．
- 执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的的概率为 ．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查与面积有关的几何概型的概率计算，属于基础题．
根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．
【解答】
解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，
设圆的半径为1，则正方形的边长为2，
则黑色部分的面积，
则对应概率为，
故选B．
2.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查与面积有关的几何概型，属于基础题．
先明确是几何概型中的面积类型，分别求出总面积和阴影部分的面积，然后求比值即可，属基础题．
【解答】
解：A、游戏盘的中奖概率为，
B、游戏盘的中奖概率为，
C、游戏盘的中奖概率为，
D、游戏盘的中奖概率为，
所以A游戏盘的中奖概率最大．
故选A ．
3.【答案】D
【解析】
【分析】本题考查几何概率模型，属于基础题．
明确事件“能使得的最大边是AB”：分别以A，B为圆心，AB的长为半径画弧，交CD于点，，则当点P在线段上端点除外运动，代入几何概型公式即可．
【解答】解：分别以A，B为圆心，AB的长为半径画弧，交CD于点，，
则当点P在线段上端点除外运动时，能使得的最大边是AB，
易得，即的最大边是AB的概率是．
故选D．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查几何概型，考查学生的计算能力，属于基础题．
在正三角形的内侧作三条平行线分别与三边平行，且距离等于1，可得到一个小正三角形，小正三角形面积与大正三角形面积之比即为所求．
【解答】
解：在正三角形的内侧作三条平行线分别与三边平行，
且距离等于1，可得到一个小正三角形，
可知落在小正三角形区域的点满足条件，
所求概率即为小正三角形面积与大正三角形面积之比
大正三角形的边长为，
大正三角形高为6，小正三角形高3，相似比为1：2，
两个三角形的面积比为．
故选：C．
5.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，几何概型，是函数和概率的综合应用，属于基础题．
设函数把代入解析式，求得a的值，可得函数的解析式，进而结合几何概型可得到答案．
【解答】
解：由题意可设
由点在函数图象上
可得，，
由即，解得，
又
的解集为
所求事件的概率为，
故选A．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查利用几何概型求概率，属于基础题．
解出不等式，求得x的范围，由几何概型的概率公式求概率．
【解答】
解：不等式可化为，
即，解得，
故由几何概型的概率公式得事件“”发生的概率为：．
故选A．
7.【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了与长度有关的几何概型，属于中档题．
设水深为x尺，由题意得，解得，所以水深为12尺，葭长为13尺，可得该点取自水下的概率．
【解答】
解：如图所示，设水深为x尺，
由题意得，解得，
所以水深为12尺，葭长为13尺，
所以所求概率为，
故选B．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查概率的计算公式，几何概型，属于基础题．
首先根据题意，由几何概型的计算公式，计算两个转盘中，指针落在奇数所在区域的概率，进而由相互独立事件概率的乘法公式计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，两个转盘各6个区域，每一个转盘中都有4个是奇数的区域
由几何概型的计算公式，可得两个转盘中指针落在奇数所在区域的概率都为
由独立事件同时发生的概率，
得两个指针同时落在奇数所在区域的概率是．
故选A．
9.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了面积型几何概型；属于基础题．
由半径所对的圆周角等于，可得在矩形ABCD内以AB为直径作半圆，半圆的面积与矩形的面积比即为所求．
【解答】
解：由知点P只能落在以AB为直径的半圆内，
所求概率，
故选A．
10.【答案】C
【解析】
【分析】本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，基础题．
易得他能收看到这条新闻的完整报道长度为5分的时间段，总的时间长度为25分钟，由此能求出他能收看到这条新闻的完整报道的概率．
【解答】解：若小张能收看到这条新闻的完整报道，则播出时间是到，长度为5分钟，
到，长度为25分钟，
所以他能收看到这条新闻的完整报道的概率是．
故选C．
11.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查几何概型，意在考查识图能力、运算求解能力．
算出阴影部分的面积，代入几何概型的公式即可．
【解答】
解： 设圆的半径为1，则正三角形的边长为，正方形的边长为，
所以飞镖投入阴影部分的概率为．
故选A．
12.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查几何概型的定义，属于基础题．
几何概型的特点是基本事件个数无限，每个基本事件等可能发生．
【解答】
解：根据几何概型和古典概型的定义来判断．A、C、D都是古典概型，B是几何概型．
故选B．
13.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了几何概型及其计算公式等知识，属于基础题．
根据题意，先设其中两段的长度分别为x、，得到x的不等式组，解得x的取值范围，由几何概型公式，计算可得答案．
【解答】
解：设切断的两根木棍长分别为x，，
则解之得，
因此所求的概率为．
故选C．
14.【答案】B
【解析】
【分析】
由已知求出小正方形的边长，得到小正方形及直角三角形与大正方形的面积比，则答案可求．
本题考查几何概型概率的求法，求出小正方形及直角三角形与大正方形的面积比是关键，是中档题．
【解答】
解：小正方形的边长为，
故小正方形与大正方形的面积之比为，
因此剩下的每个直角三角形的面积与大正方形的面积之比为，
飞镖落在区域1或区域2的概率为．
故选：B．
15.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了几何概型，属于基础题．
将原问题转化为几何概型问题后应用几何概率的计算公式求解．
【解答】
解：所求事件构成的区域长度为，试验的全部结果所构成的区域长度为，
故灯与两端距离都大于的概率为．
故选B．
16.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查几何概型的应用，属于简单题．
利用黄豆落在椭圆外的概率等于矩形在椭圆外的面积与矩形的面积比，由此可以得到关于椭圆面积的方程，解之即可．
【解得】
解：设椭圆的面积为S，又黄豆落在椭圆外的概率为：，
即：，
故选C．
17.【答案】
【解析】
【分析】本题考查与面积有关的几何概型属于基础题．
等边三角形ABC的边长为a，内切圆半径为r，则，，
，可求得圆的面积即可得解．
【解答】
解：设等边三角形ABC的边长为a，内切圆半径为r，如图，
则，
，，
，
所求概率为．
18.【答案】
【解析】
【分析】本题考查程序框图的应用，考查几何概型，属于基础题．
利用框图的条件结构确定时函数的解析式，当时，当时，，即的x的取值范围是，再利用几何概型公式即可解得．
【解答】解：根据程序框图，可知当时，
当时，，
所以使的x的取值范围是．
所以所求概率为．
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