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安徽省蚌埠市凤阳县实验中学2021-2022学年九上第一次月考数学试卷 沪科版（原卷）
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这是一份安徽省蚌埠市凤阳县实验中学2021-2022学年九上第一次月考数学试卷 沪科版（原卷），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列各式中，是的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知（-3，y1），（-2，y2），（1，y3）是抛物线上y＝-5x2的点，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y3＜y2
3．抛物线y＝－3（x+2）2不经过的象限是（ ）
A．第一、二象限 B．第一、四象限 C．第二、三象限 D．第三、四象限
4．对于二次函数 y＝（x－2）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．当x＝－2时，y有最大值是2
C．对称轴是x＝－2 D．顶点坐标是（2，2）
5．已知二次函数的图象（0≤x≤3.4）如图．关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值2，无最小值 B．有最大值2，有最小值1.5
C．有最大值2，有最小值-2 D．有最大值1.5，有最小值-2
（第5题） （第8题） （第9题） （第10题）
6．抛物线y＝x2+2x−3与x轴的交点个数有（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=-mx2+2x+2的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，抛物线L1：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），虚线为
其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=4cm，BC=8cm．动点P从点A出发，沿边AB向点B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），同时动点Q从点B出发，沿边BC向点C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．当四边形APQC的面积最小时，经过的时间为（ ）
A．1s B．2s C．3s D．4s
10．如图，是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，对称轴为直线x=-1，下列命题：①abc＜0；②b2-4ac＜0；③当y＜0时，-3＜x＜1；④a-2b+c＞0；⑤m（ma+b）+b≥a（m为实数）．其中正确的命题有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．抛物线中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是__________．
12．将抛物线y＝2x2-4x+1先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新的抛物线的关系式是
_ _．
13．如图，P是正方形ABCD内一点，且△PBC是等边三角形，则∠APD＝______度．
（第13题） （第14题） （第16题）
14．如图，P是抛物线y＝x2-2x-3在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为______．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15、计算：
16、如图，点E和点F是▱ABCD对角线AC上的两点，且AE＝CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17、已知抛物线的图象经过三个点（－1，0），点（3，0），点（0，-3）；
（1）求抛物线解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标．
18、已知二次函数（为常数）．
（1）若其图象与轴有两个交点，求的取值范围；
（2）求其图象与直线交点的横坐标．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19、如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，AD＝，CD＝．求：
（1）∠DAB的度数．
（2）连接BD，求BD的长．
20、如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，墙的最大可用长度为9米．设花圃的宽为米，面积为平方米．
（1）求与的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）求花圃面积的最大值．
六、（本题满分12分）
21、如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB．水管的顶端安有一个喷水管、使喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C．高度为3m．水柱落地点D离池中心A处3m．建立适当的平面直角坐标系，解答下列问题．
（1）求水柱所在抛物线的函数解析式；
（2）求水管AB的长．
七、（本题满分12分）
22、2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，每天可售出20件，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）．
（1）求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？
八、（本题满分14分）
23、如图，抛物线的图象交轴于A、B两点，交轴于点，直线经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线第一象限上的一动点，连接PC、PB，求△PBC面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点M，使△MPB的周长最短？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
凤阳县实验中学2021-2022学年九上第一次月考数学试卷（解析版）
温馨提示：本试卷共4页八大题，23小题，满分150分，时间120分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列各式中，是的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A、y=3x-1是一次函数，不是二次函数，故此选项不合题意；
B、不是二次函数，故此选项不符合题意；
C、y=3x2+x-1是二次函数，故此选项合题意；
D、y=不是二次函数，故此选项不合题意；
故选：C．
2．已知（-3，y1），（-2，y2），（1，y3）是抛物线上y＝-5x2的点，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y3＜y2
【答案】A
【解析】二次函数y=-5x2的图象开口向下，对称轴是y轴，当x＜0时，y随x的增大而增大，∵（-3，y1），
（-2，y2），（1，y3）是抛物线上y＝-5x2的点，∴点（1，y3）是关于y轴的对称点是（-1，y3），
∵-3＜-2＜-1，∴y1＜y2＜y3
故选：A．
3．抛物线y＝－3（x+2）2不经过的象限是（ ）
A．第一、二象限 B．第一、四象限 C．第二、三象限 D．第三、四象限
【答案】A
【解析】y=-3（x+1）2，∴抛物线开口向下，对称轴为x=-1，顶点坐标为（-1，0），∴抛物线经过第三、四象限，∴不经过第一、二象限，
故选：A．
4．对于二次函数 y＝（x－2）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．当x＝－2时，y有最大值是2
C．对称轴是x＝－2 D．顶点坐标是（2，2）
【答案】D
【解析】A．a=1＞0，故抛物线开口向上，故A错误，不符合题意；
B．当x＝2时，y有最大值是2，故B错误，不符合题意；
C．由函数表达式知，抛物线的对称轴为x=2，故C错误，不符合题意；
D．抛物线的顶点为（2，2），故D正确，符合题意，
故选：D．
5．已知二次函数的图象（0≤x≤3.4）如图．关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值2，无最小值 B．有最大值2，有最小值1.5
C．有最大值2，有最小值-2 D．有最大值1.5，有最小值-2
【答案】C
【解析】由函数图象可知，此函数的顶点坐标为（1，2），∵此抛物线开口向下，∴此函数有最大值，最大值为2；∵0≤x≤3.4，∴当x=3.4时，函数最小值为-2．
故选C
6．抛物线y＝x2+2x−3与x轴的交点个数有（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】∵y=（x+1）2-4，∴抛物线开口向上，抛物线的顶点坐标为（1，-4），∴抛物线与x轴有两个交点．
故选C
7．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=-mx2+2x+2的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A．由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=-mx2+2x+2开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误；
B．由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=-mx2+2x+2开口方向朝上，对称轴为x==＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误；
C．由函数y=mx+m的图象可知m＞0，即函数y=-mx2+2x+2开口方向朝下，与图象不符，故C选项错误；
D．由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=-mx2+2x+2开口方向朝上，对称轴为x==＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象符合，
故D选项正确．
8．如图，抛物线L1：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），虚线为
其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】如图所示，过抛物线L2的顶点D作CD∥x轴，与y轴交于点C，则四边形OCDA是矩形，
∵抛物线L1：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），
∴OB=2，OA=1，将抛物线L1向下平移两个单位长度得抛物线L2，则AD=OC=2，根据平移的性质及抛物线的对称性
得到阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积，∴S阴影部分=S矩形OCDA=OA•AD=1×2=2．
故选：B．
9．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=4cm，BC=8cm．动点P从点A出发，沿边AB向点B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），同时动点Q从点B出发，沿边BC向点C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．当四边形APQC的面积最小时，经过的时间为（ ）
A．1s B．2s C．3s D．4s
【答案】C
【解析】设P、Q同时出发后经过的时间为ts，四边形APQC的面积为Scm2，则有：
S=S△ABC-S△PBQ=×12×6-（6-t）×2t=t2-6t+36=（t-3）2+27．∴当t=3s时，S取得最小值．
故选：C．
10．如图，是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，对称轴为直线x=-1，下列命题：①abc＜0；②b2-4ac＜0；③当y＜0时，-3＜x＜1；④a-2b+c＞0；⑤m（ma+b）+b≥a（m为实数）．其中正确的命题有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】①∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴为直线x=-1，∴b＞0，抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，
∴abc＜0，本小题说法正确；
②∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，本小题说法错误；
③∵抛物线与x轴的交点为（1，0），对称轴为直线x=-1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（-3，0），
∴当y＜0时，-3＜x＜1，本小题说法正确；
④∵对称轴为直线x=-1，∴=-1，∴b=2a，∵抛物线与x轴的交点为（1，0），∴a+b+c=0，∴c=-3a，
∴a-2b+c=a-4a-3a=-6a＜0，本小题说法错误；
⑤∵对称轴为直线x=-1，∴当x=-1时，y有最小值，∴am2+bm+c≥a-b+c，∴m（ma+b）+b≥a（m为实数），
本小题说法正确；
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．抛物线中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是__________．
【答案】x<1
【解析】∵a=-1＜0，∴二次函数图象开口向下，又对称轴是直线x=1，∴当x＜1时，函数图象在对称轴的左边，
y随x的增大增大．
故答案：x<1
12．将抛物线y＝2x2-4x+1先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新的抛物线的关系式是
__ ．
【答案】y＝2（x﹣4）2
【解析】∵y=2x2-4x+1=2（x-1）2-1，∴将抛物线y=2x2-4x+1先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新的抛物线的关系式是y=2（x-1-3）2-1+1，即y=2（x-4）2．
故答案：y＝2（x﹣4）2
13．如图，P是正方形ABCD内一点，且△PBC是等边三角形，则∠APD＝______度．
【答案】150
【解析】∵△BCP为等边三角形，∴∠PBC=60°，AB=BP=BC=CD，∴∠ABP=30°，∴∠BAP=75°，∴∠DAP=15°，
同理∠ADP=15°∴∠APD=150°．故答案为：150．
故答案：150
14．如图，P是抛物线y＝x2-2x-3在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为______．
【答案】
【解析】设P（x，x2-2x3），∵过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，∴四边形OAPB为矩形，
∴四边形OAPB周长=2PA+2OA=-2（x2-2x-3）+2x=-2x2+6x+6=-2（x2-3x）+6，=-2(x−)2+．∴当x=时，
四边形OAPB周长有最大值，最大值为．故答案为．
故答案：
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15、计算：
【答案】
【解析】原式＝＝＝.
16、如图，点E和点F是▱ABCD对角线AC上的两点，且AE＝CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．
【答案】
【解析】证明：连接BD，交AC于点O．∵ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD（平行四边形的对角线互相平分），又∵AE＝CF，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，
∴四边形BFDE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17、已知抛物线的图象经过三个点（－1，0），点（3，0），点（0，-3）；
（1）求抛物线解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标．
【答案】
【解析】（1）∵二次函数过点（-1，0），（3，0），（0，-3），
∴ 解得：， ∴二次函数的解析式为；
（2）∵＝（x-1）2−4，∴抛物线的顶点坐标为：（1，−4）．
18、已知二次函数（为常数）．
（1）若其图象与轴有两个交点，求的取值范围；
（2）求其图象与直线交点的横坐标．
【答案】
【解析】（1）根据题意得，，∴；
（2）根据题意得，，解得，，，
∴图象与直线交点的横坐标为5或-1．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19、如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，AD＝，CD＝．求：
（1）∠DAB的度数．（2）连接BD，求BD的长．
【答案】
【解析】（1）连接AC，∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∴∵AD＝，CD＝，
∴AD2+AC2＝（）2+（2）2＝2+8＝10＝（）2＝CD2，
∴△DAC是直角三角形，∠DAC＝90°，∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝90°+45°＝135°，
即∠DAB的度数是135°；
（2）作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，∵∠DAB＝135°，∴∠DAE＝45°，
∵DE⊥AE，AD＝，∴DE=AE，∴∴DE＝AE＝1，
∵AB＝2，∴BE＝3，∴即BD的长是．
20、如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，墙的最大可用长度为9米．设花圃的宽为米，面积为平方米．
（1）求与的函数关系式及自变量的取值范围； （2）求花圃面积的最大值．
【答案】
【解析】(1)由题意得：米，且，即，解得
，故与的函数关系式为，
自变量的取值范围为；
（2）由（1）知，
由二次函数的性质可知，当时，S随x的增大而减小
则当时，S取最大值，最大值为（平方米）
故花圃面积的最大值为45平方米．
六、（本题满分12分）
21、如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB．水管的顶端安有一个喷水管、使喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C．高度为3m．水柱落地点D离池中心A处3m．建立适当的平面直角坐标系，解答下列问题．
（1）求水柱所在抛物线的函数解析式； （2）求水管AB的长．
【答案】
【解析】（1）以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系．
由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，
则设抛物线的解析式为：y＝a（x-1）2+3，代入（3，0）求得：a＝-（x-1）2+3．
将a值代入得到抛物线的解析式为：y＝-（x-1）2+3（0≤x≤3）；
（2）令x＝0，则y＝＝2.25．故水管AB的长为2.25m．
七、（本题满分12分）
22、2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，每天可售出20件，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）．
（1）求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？
【答案】
【解析】（1）由题意可得：，整理，得：，
每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为；
（2）设销售所得利润为w，由题意可得：，
整理，得：，，当时，w取最大值为1152，
当销售单价为56元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为1152元．
八、（本题满分14分）
23、如图，抛物线的图象交轴于A、B两点，交轴于点，直线经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线第一象限上的一动点，连接PC、PB，求△PBC面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点M，使△MPB的周长最短？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
【解析】（1）∵直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，∴B（3，0），C（0，3）
将B（3，0），C（0，3）代入，可得， 解得，
所以抛物线的解析式为，
（2）过点向轴作垂线交直线于点Q，直线的解析式为，
设，，，
当时，PQ最大=，∴PQ最大时，三角形PBC的面积最大，最大面积为，此时P(,)；
(3)、 M（1，3）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列各式中，是的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知（-3，y1），（-2，y2），（1，y3）是抛物线上y＝-5x2的点，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y3＜y2
3．抛物线y＝－3（x+2）2不经过的象限是（ ）
A．第一、二象限 B．第一、四象限 C．第二、三象限 D．第三、四象限
4．对于二次函数 y＝（x－2）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．当x＝－2时，y有最大值是2
C．对称轴是x＝－2 D．顶点坐标是（2，2）
5．已知二次函数的图象（0≤x≤3.4）如图．关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值2，无最小值 B．有最大值2，有最小值1.5
C．有最大值2，有最小值-2 D．有最大值1.5，有最小值-2
（第5题） （第8题） （第9题） （第10题）
6．抛物线y＝x2+2x−3与x轴的交点个数有（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=-mx2+2x+2的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，抛物线L1：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），虚线为
其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=4cm，BC=8cm．动点P从点A出发，沿边AB向点B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），同时动点Q从点B出发，沿边BC向点C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．当四边形APQC的面积最小时，经过的时间为（ ）
A．1s B．2s C．3s D．4s
10．如图，是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，对称轴为直线x=-1，下列命题：①abc＜0；②b2-4ac＜0；③当y＜0时，-3＜x＜1；④a-2b+c＞0；⑤m（ma+b）+b≥a（m为实数）．其中正确的命题有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．抛物线中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是__________．
12．将抛物线y＝2x2-4x+1先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新的抛物线的关系式是
_ _．
13．如图，P是正方形ABCD内一点，且△PBC是等边三角形，则∠APD＝______度．
（第13题） （第14题） （第16题）
14．如图，P是抛物线y＝x2-2x-3在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为______．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15、计算：
16、如图，点E和点F是▱ABCD对角线AC上的两点，且AE＝CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17、已知抛物线的图象经过三个点（－1，0），点（3，0），点（0，-3）；
（1）求抛物线解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标．
18、已知二次函数（为常数）．
（1）若其图象与轴有两个交点，求的取值范围；
（2）求其图象与直线交点的横坐标．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19、如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，AD＝，CD＝．求：
（1）∠DAB的度数．
（2）连接BD，求BD的长．
20、如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，墙的最大可用长度为9米．设花圃的宽为米，面积为平方米．
（1）求与的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）求花圃面积的最大值．
六、（本题满分12分）
21、如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB．水管的顶端安有一个喷水管、使喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C．高度为3m．水柱落地点D离池中心A处3m．建立适当的平面直角坐标系，解答下列问题．
（1）求水柱所在抛物线的函数解析式；
（2）求水管AB的长．
七、（本题满分12分）
22、2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，每天可售出20件，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）．
（1）求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？
八、（本题满分14分）
23、如图，抛物线的图象交轴于A、B两点，交轴于点，直线经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线第一象限上的一动点，连接PC、PB，求△PBC面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点M，使△MPB的周长最短？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
凤阳县实验中学2021-2022学年九上第一次月考数学试卷（解析版）
温馨提示：本试卷共4页八大题，23小题，满分150分，时间120分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列各式中，是的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A、y=3x-1是一次函数，不是二次函数，故此选项不合题意；
B、不是二次函数，故此选项不符合题意；
C、y=3x2+x-1是二次函数，故此选项合题意；
D、y=不是二次函数，故此选项不合题意；
故选：C．
2．已知（-3，y1），（-2，y2），（1，y3）是抛物线上y＝-5x2的点，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y3＜y2
【答案】A
【解析】二次函数y=-5x2的图象开口向下，对称轴是y轴，当x＜0时，y随x的增大而增大，∵（-3，y1），
（-2，y2），（1，y3）是抛物线上y＝-5x2的点，∴点（1，y3）是关于y轴的对称点是（-1，y3），
∵-3＜-2＜-1，∴y1＜y2＜y3
故选：A．
3．抛物线y＝－3（x+2）2不经过的象限是（ ）
A．第一、二象限 B．第一、四象限 C．第二、三象限 D．第三、四象限
【答案】A
【解析】y=-3（x+1）2，∴抛物线开口向下，对称轴为x=-1，顶点坐标为（-1，0），∴抛物线经过第三、四象限，∴不经过第一、二象限，
故选：A．
4．对于二次函数 y＝（x－2）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．当x＝－2时，y有最大值是2
C．对称轴是x＝－2 D．顶点坐标是（2，2）
【答案】D
【解析】A．a=1＞0，故抛物线开口向上，故A错误，不符合题意；
B．当x＝2时，y有最大值是2，故B错误，不符合题意；
C．由函数表达式知，抛物线的对称轴为x=2，故C错误，不符合题意；
D．抛物线的顶点为（2，2），故D正确，符合题意，
故选：D．
5．已知二次函数的图象（0≤x≤3.4）如图．关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值2，无最小值 B．有最大值2，有最小值1.5
C．有最大值2，有最小值-2 D．有最大值1.5，有最小值-2
【答案】C
【解析】由函数图象可知，此函数的顶点坐标为（1，2），∵此抛物线开口向下，∴此函数有最大值，最大值为2；∵0≤x≤3.4，∴当x=3.4时，函数最小值为-2．
故选C
6．抛物线y＝x2+2x−3与x轴的交点个数有（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】∵y=（x+1）2-4，∴抛物线开口向上，抛物线的顶点坐标为（1，-4），∴抛物线与x轴有两个交点．
故选C
7．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=-mx2+2x+2的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A．由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=-mx2+2x+2开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误；
B．由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=-mx2+2x+2开口方向朝上，对称轴为x==＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误；
C．由函数y=mx+m的图象可知m＞0，即函数y=-mx2+2x+2开口方向朝下，与图象不符，故C选项错误；
D．由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=-mx2+2x+2开口方向朝上，对称轴为x==＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象符合，
故D选项正确．
8．如图，抛物线L1：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），虚线为
其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】如图所示，过抛物线L2的顶点D作CD∥x轴，与y轴交于点C，则四边形OCDA是矩形，
∵抛物线L1：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），
∴OB=2，OA=1，将抛物线L1向下平移两个单位长度得抛物线L2，则AD=OC=2，根据平移的性质及抛物线的对称性
得到阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积，∴S阴影部分=S矩形OCDA=OA•AD=1×2=2．
故选：B．
9．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=4cm，BC=8cm．动点P从点A出发，沿边AB向点B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），同时动点Q从点B出发，沿边BC向点C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．当四边形APQC的面积最小时，经过的时间为（ ）
A．1s B．2s C．3s D．4s
【答案】C
【解析】设P、Q同时出发后经过的时间为ts，四边形APQC的面积为Scm2，则有：
S=S△ABC-S△PBQ=×12×6-（6-t）×2t=t2-6t+36=（t-3）2+27．∴当t=3s时，S取得最小值．
故选：C．
10．如图，是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，对称轴为直线x=-1，下列命题：①abc＜0；②b2-4ac＜0；③当y＜0时，-3＜x＜1；④a-2b+c＞0；⑤m（ma+b）+b≥a（m为实数）．其中正确的命题有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】①∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴为直线x=-1，∴b＞0，抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，
∴abc＜0，本小题说法正确；
②∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，本小题说法错误；
③∵抛物线与x轴的交点为（1，0），对称轴为直线x=-1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（-3，0），
∴当y＜0时，-3＜x＜1，本小题说法正确；
④∵对称轴为直线x=-1，∴=-1，∴b=2a，∵抛物线与x轴的交点为（1，0），∴a+b+c=0，∴c=-3a，
∴a-2b+c=a-4a-3a=-6a＜0，本小题说法错误；
⑤∵对称轴为直线x=-1，∴当x=-1时，y有最小值，∴am2+bm+c≥a-b+c，∴m（ma+b）+b≥a（m为实数），
本小题说法正确；
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．抛物线中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是__________．
【答案】x<1
【解析】∵a=-1＜0，∴二次函数图象开口向下，又对称轴是直线x=1，∴当x＜1时，函数图象在对称轴的左边，
y随x的增大增大．
故答案：x<1
12．将抛物线y＝2x2-4x+1先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新的抛物线的关系式是
__ ．
【答案】y＝2（x﹣4）2
【解析】∵y=2x2-4x+1=2（x-1）2-1，∴将抛物线y=2x2-4x+1先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新的抛物线的关系式是y=2（x-1-3）2-1+1，即y=2（x-4）2．
故答案：y＝2（x﹣4）2
13．如图，P是正方形ABCD内一点，且△PBC是等边三角形，则∠APD＝______度．
【答案】150
【解析】∵△BCP为等边三角形，∴∠PBC=60°，AB=BP=BC=CD，∴∠ABP=30°，∴∠BAP=75°，∴∠DAP=15°，
同理∠ADP=15°∴∠APD=150°．故答案为：150．
故答案：150
14．如图，P是抛物线y＝x2-2x-3在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为______．
【答案】
【解析】设P（x，x2-2x3），∵过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，∴四边形OAPB为矩形，
∴四边形OAPB周长=2PA+2OA=-2（x2-2x-3）+2x=-2x2+6x+6=-2（x2-3x）+6，=-2(x−)2+．∴当x=时，
四边形OAPB周长有最大值，最大值为．故答案为．
故答案：
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15、计算：
【答案】
【解析】原式＝＝＝.
16、如图，点E和点F是▱ABCD对角线AC上的两点，且AE＝CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．
【答案】
【解析】证明：连接BD，交AC于点O．∵ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD（平行四边形的对角线互相平分），又∵AE＝CF，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，
∴四边形BFDE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17、已知抛物线的图象经过三个点（－1，0），点（3，0），点（0，-3）；
（1）求抛物线解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标．
【答案】
【解析】（1）∵二次函数过点（-1，0），（3，0），（0，-3），
∴ 解得：， ∴二次函数的解析式为；
（2）∵＝（x-1）2−4，∴抛物线的顶点坐标为：（1，−4）．
18、已知二次函数（为常数）．
（1）若其图象与轴有两个交点，求的取值范围；
（2）求其图象与直线交点的横坐标．
【答案】
【解析】（1）根据题意得，，∴；
（2）根据题意得，，解得，，，
∴图象与直线交点的横坐标为5或-1．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19、如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，AD＝，CD＝．求：
（1）∠DAB的度数．（2）连接BD，求BD的长．
【答案】
【解析】（1）连接AC，∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∴∵AD＝，CD＝，
∴AD2+AC2＝（）2+（2）2＝2+8＝10＝（）2＝CD2，
∴△DAC是直角三角形，∠DAC＝90°，∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝90°+45°＝135°，
即∠DAB的度数是135°；
（2）作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，∵∠DAB＝135°，∴∠DAE＝45°，
∵DE⊥AE，AD＝，∴DE=AE，∴∴DE＝AE＝1，
∵AB＝2，∴BE＝3，∴即BD的长是．
20、如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，墙的最大可用长度为9米．设花圃的宽为米，面积为平方米．
（1）求与的函数关系式及自变量的取值范围； （2）求花圃面积的最大值．
【答案】
【解析】(1)由题意得：米，且，即，解得
，故与的函数关系式为，
自变量的取值范围为；
（2）由（1）知，
由二次函数的性质可知，当时，S随x的增大而减小
则当时，S取最大值，最大值为（平方米）
故花圃面积的最大值为45平方米．
六、（本题满分12分）
21、如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB．水管的顶端安有一个喷水管、使喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C．高度为3m．水柱落地点D离池中心A处3m．建立适当的平面直角坐标系，解答下列问题．
（1）求水柱所在抛物线的函数解析式； （2）求水管AB的长．
【答案】
【解析】（1）以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系．
由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，
则设抛物线的解析式为：y＝a（x-1）2+3，代入（3，0）求得：a＝-（x-1）2+3．
将a值代入得到抛物线的解析式为：y＝-（x-1）2+3（0≤x≤3）；
（2）令x＝0，则y＝＝2.25．故水管AB的长为2.25m．
七、（本题满分12分）
22、2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件30元，当销售单价定为70元时，每天可售出20件，每销售一件需缴纳网络平台管理费2元，为了扩大销售，增加盈利，决定采取适当的降价措施，经调查发现：销售单价每降低1元，则每天可多售出2件（销售单价不低于进价），若设这款文化衫的销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）．
（1）求每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为多少元？
【答案】
【解析】（1）由题意可得：，整理，得：，
每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为；
（2）设销售所得利润为w，由题意可得：，
整理，得：，，当时，w取最大值为1152，
当销售单价为56元时，销售这款文化衫每天所获得的利润最大，最大利润为1152元．
八、（本题满分14分）
23、如图，抛物线的图象交轴于A、B两点，交轴于点，直线经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线第一象限上的一动点，连接PC、PB，求△PBC面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点M，使△MPB的周长最短？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
【解析】（1）∵直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，∴B（3，0），C（0，3）
将B（3，0），C（0，3）代入，可得， 解得，
所以抛物线的解析式为，
（2）过点向轴作垂线交直线于点Q，直线的解析式为，
设，，，
当时，PQ最大=，∴PQ最大时，三角形PBC的面积最大，最大面积为，此时P(,)；
(3)、 M（1，3）
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