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新教材2022届高考数学人教版一轮复习课件：7.2 平面向量基本定理及向量坐标运算
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这是一份新教材2022届高考数学人教版一轮复习课件：7.2 平面向量基本定理及向量坐标运算，共45页。PPT课件主要包含了课前·基础巩固，课堂·题型讲解，高考·命题预测，不共线，λ1e1＋λ2e2，λxλy，x1y2－x2y1，答案ACD，答案－20，答案B等内容，欢迎下载使用。
【教材回扣】1．平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个_________向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝_________．(2)基底：若e1，e2_________，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，该平面内的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，a与数对(x，y)是一一对应的，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝_________ ，其中a在x轴上的坐标是x，a在y轴上的坐标是y.
3．平面向量的坐标运算
(x1＋x2，y1＋y2)
(x1－x2，y1－y2)
(x2－x1，y2－y1)
4.向量共线的坐标表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔ _________ ＝0.
解析：A中，e1与e2共线，A不可以；B中，e1与e2不共线，可以作为基底；C中，e1与e2共线，C不可以，D中，e1与e2共线，D不可以．故选ACD.
题组三 易错自纠1．已知向量a＝(1，1)，2a＋b＝(4，3)，c＝(x，－2)，若b∥c，则x的值为( )A．4 B．－4C．2 D．－2
解析：b＝2a＋b－2a＝(2，1)，又b∥c，∴x×1－2×(－2)＝0.∴x＝－4.故选B.
2．设e1，e2是平面内一组基底，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＋λ2＝________．
解析：∵e1，e2是平面内的一组基底．且λ1e1＋λ2e2＝0，∴λ1＝λ2＝0.
解析：由题意知a∥b，a与c不共线，b与c不共线．所以能构成基底的组数为2.
类题通法 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
类题通法平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加法、减法、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用．
(2)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)．若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．
题型三 共线向量的坐标表示及应用 高频考点角度1|利用向量共线求向量或点的坐标[例3] (1)已知平面向量a＝(－1，2)，b＝(2，y)，且a∥b，则3a＋2b等于( )A．(－1，7) B．(－1，2)C．(1，2) D．(1，－2)
解析：∵a＝(－1，2)，b＝(2，y)，且a∥b，∴－1×y－2×2＝0，解得y＝－4，故可得3a＋2b＝3(－1，2)＋2(2，－4)＝(1，－2)，故选D.
(2)已知梯形ABCD中，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则D点坐标为________．
类题通法利用两向量共线的条件求向量坐标，一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa，即可得到所求向量．
角度2|利用向量共线求参数[例4] (1)[2021·山东聊城模拟]已知a＝(1，3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(3a－b)，则实数k＝________．
解析：由题意得a＋2b＝(－3，3＋2k)，3a－b＝(5，9－k)，由(a＋2b)∥(3a－b)，得－3(9－k)＝5(3＋2k)，解得k＝－6.
类题通法利用向量共线求参数值向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由向量平行求参数值．当两向量的坐标均非零时，可以利用坐标对应成比例来求解．
巩固训练4：(1)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________．
(2)平面内有三点A(0，－3)，B(3，3)，C(x，－1)，且A，B，C三点共线，则x＝________．
类题通法向量坐标运算解决综合问题的要点(1)准确运用加、减、数乘的坐标运算法则．(2)准确运用向量相等、向量共线、垂直的坐标运算形式，实现问题的转化．(3)准确运用三角恒等变换、不等式、方程等知识，解决综合问题．
[预测2] 新题型——多选题已知向量a＝(2，－1)，b＝(－3，2)，c＝(1，1)，则( )A．a∥b B．(a＋b)⊥cC．a＋b＝c D．c＝5a＋3b
状 元 笔 记向量问题坐标化向量具有代数和几何的双重特征，比如向量运算的平行四边形法则、三角形法则、平面向量基本定理等都可以认为是从几何的角度来研究向量的特征；而引入坐标后，就可以通过代数运算来研究向量， 显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础．在处理很多与向量有关的问题时，坐标化是一种常见的思路，利用坐标可以使许多问题的解决变得更加简捷．
【探究】 本题首先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后用三角函数的知识求出x＋y的最大值．引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决，体现了坐标法解决问题的优势．
【教材回扣】1．平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个_________向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝_________．(2)基底：若e1，e2_________，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，该平面内的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，a与数对(x，y)是一一对应的，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝_________ ，其中a在x轴上的坐标是x，a在y轴上的坐标是y.
3．平面向量的坐标运算
(x1＋x2，y1＋y2)
(x1－x2，y1－y2)
(x2－x1，y2－y1)
4.向量共线的坐标表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔ _________ ＝0.
解析：A中，e1与e2共线，A不可以；B中，e1与e2不共线，可以作为基底；C中，e1与e2共线，C不可以，D中，e1与e2共线，D不可以．故选ACD.
题组三 易错自纠1．已知向量a＝(1，1)，2a＋b＝(4，3)，c＝(x，－2)，若b∥c，则x的值为( )A．4 B．－4C．2 D．－2
解析：b＝2a＋b－2a＝(2，1)，又b∥c，∴x×1－2×(－2)＝0.∴x＝－4.故选B.
2．设e1，e2是平面内一组基底，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＋λ2＝________．
解析：∵e1，e2是平面内的一组基底．且λ1e1＋λ2e2＝0，∴λ1＝λ2＝0.
解析：由题意知a∥b，a与c不共线，b与c不共线．所以能构成基底的组数为2.
类题通法 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
类题通法平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加法、减法、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用．
(2)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)．若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．
题型三 共线向量的坐标表示及应用 高频考点角度1|利用向量共线求向量或点的坐标[例3] (1)已知平面向量a＝(－1，2)，b＝(2，y)，且a∥b，则3a＋2b等于( )A．(－1，7) B．(－1，2)C．(1，2) D．(1，－2)
解析：∵a＝(－1，2)，b＝(2，y)，且a∥b，∴－1×y－2×2＝0，解得y＝－4，故可得3a＋2b＝3(－1，2)＋2(2，－4)＝(1，－2)，故选D.
(2)已知梯形ABCD中，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则D点坐标为________．
类题通法利用两向量共线的条件求向量坐标，一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa，即可得到所求向量．
角度2|利用向量共线求参数[例4] (1)[2021·山东聊城模拟]已知a＝(1，3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(3a－b)，则实数k＝________．
解析：由题意得a＋2b＝(－3，3＋2k)，3a－b＝(5，9－k)，由(a＋2b)∥(3a－b)，得－3(9－k)＝5(3＋2k)，解得k＝－6.
类题通法利用向量共线求参数值向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由向量平行求参数值．当两向量的坐标均非零时，可以利用坐标对应成比例来求解．
巩固训练4：(1)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________．
(2)平面内有三点A(0，－3)，B(3，3)，C(x，－1)，且A，B，C三点共线，则x＝________．
类题通法向量坐标运算解决综合问题的要点(1)准确运用加、减、数乘的坐标运算法则．(2)准确运用向量相等、向量共线、垂直的坐标运算形式，实现问题的转化．(3)准确运用三角恒等变换、不等式、方程等知识，解决综合问题．
[预测2] 新题型——多选题已知向量a＝(2，－1)，b＝(－3，2)，c＝(1，1)，则( )A．a∥b B．(a＋b)⊥cC．a＋b＝c D．c＝5a＋3b
状 元 笔 记向量问题坐标化向量具有代数和几何的双重特征，比如向量运算的平行四边形法则、三角形法则、平面向量基本定理等都可以认为是从几何的角度来研究向量的特征；而引入坐标后，就可以通过代数运算来研究向量， 显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础．在处理很多与向量有关的问题时，坐标化是一种常见的思路，利用坐标可以使许多问题的解决变得更加简捷．
【探究】 本题首先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后用三角函数的知识求出x＋y的最大值．引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决，体现了坐标法解决问题的优势．
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