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人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用第2课时学案
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用第2课时学案，共20页。学案主要包含了两条异面直线所成的角，直线与平面所成的角，两个平面的夹角等内容，欢迎下载使用。
知识点一 两个平面的夹角
平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角．
知识点二 空间角的向量法解法
1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4)
C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,2)
答案 D
解析 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为1，
则eq \(A1M,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)，－1))，eq \(DN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(1,2)))，cs 〈eq \(A1M,\s\up6(—→))，eq \(DN,\s\up6(→))〉＝eq \f(|\(A1M,\s\up6(—→))·\(DN,\s\up6(→))|,|\(A1M,\s\up6(—→))||\(DN,\s\up6(→))|)＝0.
∴〈eq \(A1M,\s\up6(→))，eq \(DN,\s\up6(→))〉＝eq \f(π,2).
2．已知向量m，n分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若cs〈m，n〉＝－eq \f(\r(3),2)，则l与α所成的角为( )
A．30° B．60° C．150° D．120°
答案 B
解析 设l与α所成的角为θ，则sin θ＝|cs〈m，n〉|＝eq \f(\r(3),2)，∴θ＝60°，故选B.
3．已知平面α的法向量u＝(1,0，－1)，平面β的法向量v＝(0，－1,1)，则平面α与β的夹角为________．
答案 eq \f(π,3)
解析 ∵cs〈u，v〉＝eq \f(－1,\r(2)×\r(2))＝－eq \f(1,2)，∴〈u，v〉＝eq \f(2,3)π，
∴平面α与β的夹角是eq \f(π,3).
4．在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1，－2,0)，B(2,1，eq \r(6))，则向量eq \(AB,\s\up6(→))与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为________．
答案 eq \f(\r(7),4)
解析 设平面xOz的法向量为n＝(0,1, 0) ，eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,3，eq \r(6))，
所以cs〈n，eq \(AB,\s\up6(→))〉＝eq \f(n·\(AB,\s\up6(→)),|n|·|\(AB,\s\up6(→))|)＝ eq \f(3,4) ，
所以sin〈n，eq \(AB,\s\up6(→))〉＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))2) ＝eq \f(\r(7),4).
故向量eq \(AB,\s\up6(→))与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为eq \f(\r(7),4).
一、两条异面直线所成的角
例1 如图，在三棱柱OAB－O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝eq \r(3)，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值．
解 以O为坐标原点，eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))的方向为x轴，y轴的正方向．建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0,0,0)，O1(0,1，eq \r(3))，A(eq \r(3)，0,0)，A1(eq \r(3)，1，eq \r(3))，B(0,2,0)，
∴eq \(A1B,\s\up6(—→))＝(－eq \r(3)，1，－eq \r(3))，eq \(O1A,\s\up6(—→))＝(eq \r(3)，－1，－eq \r(3))．
∴|cs〈eq \(A1B,\s\up6(→))，eq \(O1A,\s\up6(→))〉|＝eq \f(|\(A1B,\s\up6(→))·\(O1A,\s\up6(→))|,|\(A1B,\s\up6(→))||\(O1A,\s\up6(→))|)
＝eq \f(|－\r(3)，1，－\r(3)·\r(3)，－1，－\r(3)|,\r(7)×\r(7))＝eq \f(1,7).
∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为eq \f(1,7).
反思感悟 求异面直线夹角的方法
(1)传统法：作出与异面直线所成角相等的平面角，进而构造三角形求解．
(2)向量法：在两异面直线a与b上分别取点A，B和C，D，则eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))可分别为a，b的方向向量，则cs θ＝eq \f(|\(AB,\s\up6(→))·\(CD,\s\up6(→))|,|\(AB,\s\up6(→))||\(CD,\s\up6(→))|).
跟踪训练1 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为( )
A.eq \f(\r(30),10) B.eq \f(\r(30),15)
C.eq \f(\r(30),30) D.eq \f(\r(15),15)
答案 A
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，
则B1(2,2,2)，M(1,1,0)，D1(0,0,2)，N(1,0,0)，
∴eq \(B1M,\s\up6(—→))＝(－1，－1，－2)，
eq \(D1N,\s\up6(—→))＝(1,0，－2)，
∴cs〈eq \(B1M,\s\up6(—→))，eq \(D1N,\s\up6(—→))〉＝eq \f(－1＋4,\r(1＋1＋4)×\r(1＋4))＝eq \f(\r(30),10).
二、直线与平面所成的角
例2 如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝eq \f(1,2)AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．
(1)证明：CM⊥SN；
(2)求SN与平面CMN所成角的大小．
(1)证明 设PA＝1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系(如图)．
则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，
又AN＝eq \f(1,4)AB，M，S分别为PB，BC的中点，
∴Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，0))，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0，\f(1,2)))，Seq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，0))，
eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－1，\f(1,2)))，eq \(SN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(1,2)，0))，
∴eq \(CM,\s\up6(→))·eq \(SN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－1，\f(1,2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(1,2)，0))＝0，
∴eq \(CM,\s\up6(→))⊥eq \(SN,\s\up6(→))，
因此CM⊥SN.
(2)解 由(1)知，eq \(NC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1，0))，
设a＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，
∴eq \(CM,\s\up6(→))·a＝0，eq \(NC,\s\up6(→))·a＝0.
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋\f(1,2)z＝0，,－\f(1,2)x＋y＝0.))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2y，,z＝－2y.))
取y＝1，得a＝(2,1，－2)．
设SN与平面CMN所成的角为θ，
∵sin θ＝|cs〈a，eq \(SN,\s\up6(→))〉|＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－1－\f(1,2))),3×\f(\r(2),2))＝eq \f(\r(2),2).
∴SN与平面CMN所成角为eq \f(π,4).
反思感悟 利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤
(1)建立空间直角坐标系．
(2)求直线的方向向量u.
(3)求平面的法向量n.
(4)设线面角为θ，则sin θ＝eq \f(|u·n|,|u||n|) .
跟踪训练2 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F依次为C1C，BC的中点．求A1B与平面AEF所成角的正弦值．
解 以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,1,0)，
所以eq \(A1B,\s\up6(—→))＝(2,0，－2)，eq \(AE,\s\up6(→))＝(0,2,1)，eq \(AF,\s\up6(→))＝(1,1,0)．
设平面AEF的一个法向量为n＝(a，b，c)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AE,\s\up6(→))＝0，,n·\(AF,\s\up6(→))＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2b＋c＝0，,a＋b＝0，))
令a＝1可得n＝(1，－1,2)．
设A1B与平面AEF所成角为θ，
所以sin θ＝|cs〈n，eq \(A1B,\s\up6(—→))〉|＝eq \f(|n·\(A1B,\s\up6(—→))|,|n||\(A1B,\s\up6(—→))|)＝eq \f(\r(3),6)，
即A1B与平面AEF所成角的正弦值为eq \f(\r(3),6).
三、两个平面的夹角
例3 如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．
(1)证明：O1O⊥平面ABCD；
(2)若∠CBA＝60°，求平面C1OB1与平面OB1D夹角的余弦值．
(1)证明 因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD，
又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD，
因为AC∩BD＝O，
AC，BD⊂平面ABCD，
所以O1O⊥平面ABCD.
(2)解 因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD，又O1O⊥平面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直．
如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
设棱长为2，因为∠CBA＝60°，
所以OB＝eq \r(3)，OC＝1，
所以O(0,0,0)，B1(eq \r(3)，0,2)，C1(0,1,2)，
平面BDD1B1的一个法向量为n＝(0,1,0)，
设平面OC1B1的法向量为m＝(x，y，z)，
由m⊥eq \(OB1,\s\up6(—→))，m⊥eq \(OC1,\s\up6(—→))，得eq \r(3)x＋2z＝0，y＋2z＝0，
取z＝－eq \r(3)，则x＝2，y＝2eq \r(3)，
所以m＝(2,2eq \r(3)，－eq \r(3))，
所以cs〈m，n〉＝eq \f(m·n,|m||n|)＝eq \f(2\r(3),\r(19))＝eq \f(2\r(57),19).
所以平面C1 OB1与平面OB1D夹角的余弦值为eq \f(2\r(57),19).
延伸探究
本例不变，求平面B A1C与平面A1CD夹角的余弦值．
解 B(eq \r(3)，0,0)，A1(0，－1,2)，C(0,1,0)，D(－eq \r(3)，0,0)，
设平面BA1C的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
eq \(A1C,\s\up6(→))＝(0,2，－2)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(－eq \r(3)，1,0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m·\(A1C,\s\up6(—→))＝0，,m·\(BC,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2y1－2z1＝0，,－\r(3)x1＋y1＝0，))
令x1＝1，则y1＝eq \r(3)，z1＝eq \r(3)，
∴m＝(1，eq \r(3)，eq \r(3))，
同理得，平面A1CD的法向量n＝(1，－eq \r(3)，－eq \r(3))，
cs〈m，n〉＝eq \f(m·n,|m||n|)＝－eq \f(5,7)，
则平面BA1C与平面A1CD夹角的余弦值为eq \f(5,7).
反思感悟 求两平面夹角的两种方法
(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同．
(2)法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，则两平面的夹角为〈n1，n2〉eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当〈n1，n2〉∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时))或π－〈n1，n2〉eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当〈n1，n2〉∈\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))时.))
跟踪训练3 如图所示，在几何体S－ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，又SD＝2，∠SDC＝120°，求平面SAD与平面SAB夹角的余弦值．
解 如图，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，以DC，DE，DA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
∵∠SDC＝120°，∴∠SDE＝30°，又SD＝2，∴点S到y轴的距离为1，到x轴的距离为eq \r(3)，则有D(0,0,0)，S(－1，eq \r(3)，0)，A(0,0,2)，C(2,0,0)，B(2,0,1)，
设平面SAD的法向量为m＝(x，y，z)，
∵eq \(AD,\s\up6(→))＝(0,0，－2)，eq \(AS,\s\up6(→))＝(－1，eq \r(3)，－2)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2z＝0，,－x＋\r(3)y－2z＝0，))取x＝eq \r(3)，得平面SAD的一个法向量为m＝(eq \r(3)，1,0)．
又eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,0，－1)，设平面SAB的法向量为n＝(a，b，c)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AB,\s\up6(→))＝0，,n·\(AS,\s\up6(→))＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a－c＝0，,－a＋\r(3)b－2c＝0，))令a＝eq \r(3)，
则n＝(eq \r(3)，5,2eq \r(3))，
∴cs〈m，n〉＝eq \f(m·n,|m||n|)＝eq \f(8,2\r(10)×2)＝eq \f(\r(10),5)，
故平面SAD与平面SAB夹角的余弦值是eq \f(\r(10),5).
空间向量和实际问题
典例 如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处．从A，B到直线 (库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为a和b，CD的长为c， 甲乙之间拉紧的绳长为d，求库底与水坝所在平面夹角的余弦值．
解 由题意可知AC＝a，BD＝b，CD＝c，AB＝d，
所以d2＝eq \(AB,\s\up6(→))2＝(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→)))2＝eq \(AC,\s\up6(→))2＋eq \(CD,\s\up6(→))2＋eq \(DB,\s\up6(→))2＋2(eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(DB,\s\up6(→)))
＝a2＋c2＋b2＋2eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(DB,\s\up6(→))＝a2＋c2＋b2－2eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(DB,\s\up6(→))，
则2eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(DB,\s\up6(→))＝a2＋b2＋c2－d2，
设向量eq \(CA,\s\up6(→))与eq \(DB,\s\up6(→))的夹角为θ，θ就是库底与水坝所在平面的夹角，
因此2abcs θ＝a2＋b2＋c2－d2，所以cs θ＝eq \f(a2＋b2＋c2－d2,2ab)，
故库底与水坝所在平面夹角的余弦值为eq \f(a2＋b2＋c2－d2,2ab).
[素养提升] 利用空间向量解决实际问题
(1)分析实际问题的向量背景，将题目条件、结论转化为向量问题．
(2)对于和垂直、平行、距离、角度有关的实际问题，可以考虑建立向量模型，体现了数学建模的核心素养．
1．若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2所成的角为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(5π,6)
C.eq \f(π,6)或eq \f(5π,6) D．以上均不对
答案 A
解析 l1与l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，故选A.
2．已知向量m，n分别是平面α和平面β的法向量，若cs〈m，n〉＝－eq \f(1,2)，则α与β的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
答案 B
解析 设α与β所成的角为θ，且0°≤θ≤90°，
则cs θ＝|cs〈m，n〉|＝eq \f(1,2)，∴θ＝60°.
3．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( )
A.eq \f(1,10) B.eq \f(2,5) C.eq \f(\r(30),10) D.eq \f(\r(2),2)
答案 C
解析 如图所示，以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线CC1为z轴建立空间直角坐标系，
设CA＝CB＝1，则B(0,1,0)，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，1))，A(1,0,0)，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，1)).
故eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(1,2)，1))，eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0，1))，
所以cs〈eq \(BM,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(BM,\s\up6(→))·\(AN,\s\up6(→)),|\(BM,\s\up6(→))||\(AN,\s\up6(→))|)＝eq \f(\f(3,4),\f(\r(6),2)×\f(\r(5),2))＝eq \f(\r(30),10).
4.如图所示，点A，B，C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，eq \(OC,\s\up6(→))＝(0,0,2)，平面ABC的一个法向量为n＝(2,1,2)，平面ABC与平面ABO的夹角为θ，则cs θ＝________.
答案 eq \f(2,3)
解析 cs θ＝eq \f(\(OC,\s\up6(→))·n,|\(OC,\s\up6(→))||n|)＝eq \f(4,2×3)＝eq \f(2,3).
5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为________．
答案 eq \f(\r(3),3)
解析 设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系如图．
则D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)．
平面ACD1的一个法向量为eq \(DB1,\s\up6(—→))＝(1,1,1)．
又eq \(BB1,\s\up6(—→))＝(0,0,1)，
则cs〈eq \(DB1,\s\up6(—→))，eq \(BB1,\s\up6(—→))〉＝eq \f(\(DB1,\s\up6(—→))·\(BB1,\s\up6(—→)),|\(DB1,\s\up6(—→))||\(BB1,\s\up6(—→))|)＝eq \f(1,\r(3)×1)＝eq \f(\r(3),3).
1．知识清单：
(1)两条异面直线所成的角．
(2)直线和平面所成的角．
(3)两个平面的夹角．
2．方法归纳：转化与化归．
3．常见误区：混淆两个向量的夹角和空间角的关系，不能正确理解空间角的概念，把握空间角的范围．
1．已知A(0,1,1)，B(2，－1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB与直线CD所成角的余弦值为( )
A.eq \f(5\r(22),66) B．－eq \f(5\r(22),66) C.eq \f(5\r(22),22) D．－eq \f(5\r(22),22)
答案 A
解析 ∵eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，－2，－1)，eq \(CD,\s\up6(→))＝(－2，－3，－3)，
∴cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(CD,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))||\(CD,\s\up6(→))|)＝eq \f(5,3×\r(22))＝eq \f(5\r(22),66)，
∴直线AB，CD所成角的余弦值为eq \f(5\r(22),66).
2．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面夹角为( )
A．45° B．135°
C．45°或135° D．90°
答案 A
解析 cs〈m，n〉＝eq \f(m·n,|m||n|)＝eq \f(1,1·\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，即〈m，n〉＝45°.所以两平面的夹角为45°.
3．设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝eq \f(2π,3)，则l与α所成的角为( )
A.eq \f(2π,3) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,6) D.eq \f(5π,6)
答案 C
解析 线面角的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
∵〈a，n〉＝eq \f(2π,3)，∴l与法向量所在直线所成角为eq \f(π,3)，
∴l与α所成的角为eq \f(π,6).
4．若平面α的一个法向量为n＝(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3,3)，则l与α所成角的余弦值为( )
A．－eq \f(4\r(11),33) B.eq \f(4\r(11),33) C．－eq \f(\r(913),33) D.eq \f(\r(913),33)
答案 D
解析 设α与l所成的角为θ，
则sin θ＝|cs〈a，n〉|＝eq \f(|－2，－3，3·4，1，1|,\r(4＋9＋9)×\r(16＋1＋1))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(－4,3\r(11))))＝eq \f(4\r(11),33)，
故直线l与α所成角的余弦值为eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(11),33)))2)＝eq \f(\r(913),33).
5．正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案 B
解析 如图所示，建立空间直角坐标系，
设PA＝AB＝1，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)．
于是eq \(AD,\s\up6(→))＝(0,1,0)，取PD的中点E，则Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))，
∴eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))，易知eq \(AD,\s\up6(→))是平面PAB的法向量，eq \(AE,\s\up6(→))是平面PCD的法向量，
∴cs〈eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AE,\s\up6(→))〉＝eq \f(\r(2),2)，
∴平面PAB与平面PCD的夹角为45°.
6.如图，在正方体ABCD －A1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中心，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP所成的角为________．
答案 eq \f(π,2)
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，A1P＝x，
则O(1,1,0)，P(2，x，2)，B(2,2,0)，M(0,2,1)，
eq \(OP,\s\up6(→))＝(1，x－1,2)，eq \(BM,\s\up6(→))＝(－2,0,1)．
所以eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(BM,\s\up6(→))＝0，
所以直线BM与OP所成的角为eq \f(π,2).
7．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为________．
答案 eq \f(\r(10),5)
解析 如图所示，建立空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0，2,0)，D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，
∴eq \(BC1,\s\up6(→))＝(－2,0,1)．
连接AC，易证AC⊥平面BB1D1D，
∴平面BB1D1D的一个法向量为a＝eq \(AC,\s\up6(→))＝(－2,2,0)．
∴所求角的正弦值为|cs〈a，eq \(BC1,\s\up6(—→))〉|＝eq \f(|a·\(BC1,\s\up6(—→))|,|a||\(BC1,\s\up6(—→))|)＝eq \f(4,\r(8)×\r(5))＝eq \f(\r(10),5).
8．已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC夹角的余弦值等于 ________.
答案 eq \f(3\r(11),11)
解析 如图，建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为1，
平面ABC的法向量为n1＝(0,0,1)，
平面AEF的法向量为n2＝(x，y，z)．
所以A(1,0,0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，\f(1,3)))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(2,3)))，
所以eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(1,3)))，eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，0，\f(1,3)))，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n2·\(AE,\s\up6(→))＝0，,n2·\(EF,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＋\f(1,3)z＝0，,－x＋\f(1,3)z＝0.))
取x＝1，则y＝－1，z＝3.故n2＝(1，－1,3)．
所以cs〈n1，n2〉＝eq \f(n1·n2,|n1||n2|)＝eq \f(3\r(11),11).
所以平面AEF与平面ABC夹角的余弦值为eq \f(3\r(11),11).
9.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点．求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．
解 以点A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0,4)，D(1,1,0)，C1(0,2,4)，
∴eq \(A1B,\s\up6(—→))＝(2,0，－4)，eq \(C1D,\s\up6(—→))＝(1，－1，－4)，
∴cs〈eq \(A1B,\s\up6(—→))，eq \(C1D,\s\up6(—→))〉＝eq \f(\(A1B,\s\up6(—→))·\(C1D,\s\up6(—→)),|\(A1B,\s\up6(—→))||\(C1D,\s\up6(—→))|)＝eq \f(3\r(10),10)，
∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为eq \f(3\r(10),10).
10．四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
(1)求证：平面AEC⊥平面PDB；
(2)当PD＝eq \r(2)AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成角的大小．
(1)证明 如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，
设AB＝a，PD＝h，
则A(a，0,0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，D(0,0,0)，P(0,0，h)，
∴eq \(AC,\s\up6(→))＝(－a，a，0)，eq \(DP,\s\up6(→))＝(0,0，h)，eq \(DB,\s\up6(→))＝(a，a，0)，
∴eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(DP,\s\up6(→))＝0，eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(DB,\s\up6(→))＝0，
∴AC⊥DP，AC⊥DB，又DP∩DB＝D，DP，DB⊂平面PDB，
∴AC⊥平面PDB，
又AC⊂平面AEC，
∴平面AEC⊥平面PDB.
(2)解 当PD＝eq \r(2)AB且E为PB的中点时，
P(0,0，eq \r(2)a)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a，\f(1,2)a，\f(\r(2),2)a))，
设AC∩BD＝O，Oeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，\f(a,2)，0))，
连接OE，由(1)知AC⊥平面PDB，
∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角，
∵eq \(EA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a，－\f(1,2)a，－\f(\r(2),2)a))，eq \(EO,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，－\f(\r(2),2)a))，
∴cs∠AEO＝eq \f(\(EA,\s\up6(→))·\(EO,\s\up6(→)),|\(EA,\s\up6(→))|·|\(EO,\s\up6(→))|)＝eq \f(\r(2),2)，
∴∠AEO＝45°，即AE与平面PDB所成角的大小为45°.
11．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为( )
A.eq \f(\r(5),5) B.eq \f(\r(5),3)
C.eq \f(2\r(5),5) D.eq \f(3,5)
答案 A
解析 不妨设CA＝CC1＝2CB＝2，
则eq \(AB1,\s\up6(—→))＝(－2,2,1)，eq \(C1B,\s\up6(—→))＝(0，－2,1)，
所以cs〈eq \(AB1,\s\up6(—→))，eq \(C1B,\s\up6(—→))〉＝eq \f(\(AB1,\s\up6(—→))·\(C1B,\s\up6(—→)),|\(AB1,\s\up6(—→))||\(C1B,\s\up6(—→))|)
＝eq \f(－2×0＋2×－2＋1×1,\r(9)×\r(5))＝－eq \f(\r(5),5).
所以所求角的余弦值为eq \f(\r(5),5).
12．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为( )
A．60° B．90°
C．45° D．以上都不对
答案 B
解析 以点D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图．
由题意知，A1(1,0,2)，E(1,1,1)，D1(0,0,2)，A(1,0,0)，
所以eq \(A1E,\s\up6(—→))＝(0,1，－1)，eq \(D1E,\s\up6(—→))＝(1,1，－1)，eq \(EA,\s\up6(→))＝(0，－1，－1)．
设平面A1ED1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(A1E,\s\up6(→))＝0，,n·\(D1E,\s\up6(→))＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－z＝0，,x＋y－z＝0，))
令z＝1，得y＝1，x＝0，所以n＝(0,1,1)，
cs〈n，eq \(EA,\s\up6(→))〉＝eq \f(n·\(EA,\s\up6(→)),|n||\(EA,\s\up6(→))|)＝eq \f(－2,\r(2)·\r(2))＝－1，
设直线与平面A1ED1所成角为θ，则sin θ＝1，
所以直线AE与平面A1ED1所成的角为90°.
13．在空间中，已知平面α过(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0，a)(a>0)，如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝________.
答案 eq \f(12,5)
解析 平面xOy的法向量n＝(0,0,1)，设平面α的法向量为u＝(x，y，z)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3x＋4y＝0，,－3x＋az＝0，))
即3x＝4y＝az，取z＝1，则u＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,3)，\f(a,4)，1)).
而cs〈n，u〉＝eq \f(1,\r(\f(a2,9)＋\f(a2,16)＋1))＝eq \f(\r(2),2)，又∵a>0，∴a＝eq \f(12,5).
14．已知正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则平面ABD与平面BDC夹角的余弦值为____．
答案 eq \f(\r(5),5)
解析 取BC的中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系．
设BC＝1，则Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(\r(3),2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2)，0))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，0，0)).
所以eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(\r(3),2)))，eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0)).
由于eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(\r(3),2)))为平面BCD的一个法向量．
设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(BA,\s\up6(→))＝0，,n·\(BD,\s\up6(→))＝0，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)y＋\f(\r(3),2)z＝0，,\f(\r(3),2)x＋\f(1,2)y＝0，))
取x＝1，则y＝－eq \r(3)，z＝1，所以n＝(1，－eq \r(3)，1)，
所以cs〈n，eq \(OA,\s\up6(→))〉＝eq \f(\r(5),5).
15．如图，在三棱锥V－ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x轴、y轴、z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝eq \f(π,3)，则异面直线AC与VD所成角的余弦值为________．
答案 eq \f(\r(2),4)
解析 ∵AC＝BC＝2，D是AB的中点，
∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0)．
当θ＝eq \f(π,3)时，在Rt△VCD中，CD＝eq \r(2)，
∴V(0,0，eq \r(6))，
∴eq \(AC,\s\up6(→))＝(－2,0,0)，eq \(VD,\s\up6(→))＝(1,1，－eq \r(6))，
∴cs〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(VD,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AC,\s\up6(→))·\(VD,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))||\(VD,\s\up6(→))|)＝eq \f(－2,2×2\r(2))＝－eq \f(\r(2),4).
∴异面直线AC与VD所成角的余弦值为eq \f(\r(2),4).
16.如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BC，A1D1的中点．
(1)求直线A1C与DE所成角的余弦值；
(2)求直线AD与平面B1EDF所成角的余弦值；
(3)求平面B1EDF与平面ABCD夹角的余弦值．
解 以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz.
(1)A1(0,0，a)，C(a，a，0)，D(0，a，0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(a,2)，0))，
∴eq \(A1C,\s\up6(—→))＝(a，a，－a)，eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，－\f(a,2)，0))，
∴cs〈eq \(A1C,\s\up6(—→))，eq \(DE,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(A1C,\s\up6(—→))·\(DE,\s\up6(→)),|\(A1C,\s\up6(—→))||\(DE,\s\up6(→))|)＝eq \f(\r(15),15)，
故A1C与DE所成角的余弦值为eq \f(\r(15),15).
(2)连接DB1，∵∠ADE＝∠ADF，
∴AD在平面B1EDF内的射影在∠EDF的平分线上．
又四边形B1EDF为菱形，∴DB1为∠EDF的平分线，
故直线AD与平面B1EDF所成的角为∠ADB1.
由A(0,0,0)，B1(a，0，a)，D(0，a，0)，
得eq \(DA,\s\up6(→))＝(0，－a，0)，eq \(DB1,\s\up6(—→))＝(a，－a，a)，
∴cs〈eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(DB1,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(DA,\s\up6(→))·\(DB1,\s\up6(—→)),|\(DA,\s\up6(→))||\(DB1,\s\up6(—→))|)＝eq \f(\r(3),3)，
又直线与平面所成角的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
故直线AD与平面B1EDF所成角的余弦值为eq \f(\r(3),3).
(3)由已知得A(0,0,0)，A1(0,0，a)，B1(a，0，a)，D(0，a，0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(a,2)，0))，
则eq \(ED,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a，\f(a,2)，0))，eq \(EB1,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(a,2)，a))，
平面ABCD的一个法向量为m＝eq \(AA1,\s\up6(—→))＝(0,0，a)．
设平面B1EDF的一个法向量为n＝(1，y，z)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(ED,\s\up6(→))＝0，,n·\(EB1,\s\up6(—→))＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2，,z＝1，))
∴n＝(1,2,1)，∴cs〈n，m〉＝eq \f(m·n,|m||n|)＝eq \f(\r(6),6)，
∴平面B1EDF与平面ABCD夹角的余弦值为eq \f(\r(6),6).角的分类
向量求法
范围
两条异面直线所成的角
设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cs θ＝|cs〈u，v〉|＝ eq \f(|u·v|,|u||v|)
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
直线与平面所成的角
设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cs 〈u，n〉|＝eq \f(|u·n|,|u||n|)
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
两个平面的夹角
设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cs θ＝|cs 〈n1，n2〉|＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|)
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
知识点一 两个平面的夹角
平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角．
知识点二 空间角的向量法解法
1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4)
C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,2)
答案 D
解析 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为1，
则eq \(A1M,\s\up6(—→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)，－1))，eq \(DN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(1,2)))，cs 〈eq \(A1M,\s\up6(—→))，eq \(DN,\s\up6(→))〉＝eq \f(|\(A1M,\s\up6(—→))·\(DN,\s\up6(→))|,|\(A1M,\s\up6(—→))||\(DN,\s\up6(→))|)＝0.
∴〈eq \(A1M,\s\up6(→))，eq \(DN,\s\up6(→))〉＝eq \f(π,2).
2．已知向量m，n分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若cs〈m，n〉＝－eq \f(\r(3),2)，则l与α所成的角为( )
A．30° B．60° C．150° D．120°
答案 B
解析 设l与α所成的角为θ，则sin θ＝|cs〈m，n〉|＝eq \f(\r(3),2)，∴θ＝60°，故选B.
3．已知平面α的法向量u＝(1,0，－1)，平面β的法向量v＝(0，－1,1)，则平面α与β的夹角为________．
答案 eq \f(π,3)
解析 ∵cs〈u，v〉＝eq \f(－1,\r(2)×\r(2))＝－eq \f(1,2)，∴〈u，v〉＝eq \f(2,3)π，
∴平面α与β的夹角是eq \f(π,3).
4．在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1，－2,0)，B(2,1，eq \r(6))，则向量eq \(AB,\s\up6(→))与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为________．
答案 eq \f(\r(7),4)
解析 设平面xOz的法向量为n＝(0,1, 0) ，eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,3，eq \r(6))，
所以cs〈n，eq \(AB,\s\up6(→))〉＝eq \f(n·\(AB,\s\up6(→)),|n|·|\(AB,\s\up6(→))|)＝ eq \f(3,4) ，
所以sin〈n，eq \(AB,\s\up6(→))〉＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))2) ＝eq \f(\r(7),4).
故向量eq \(AB,\s\up6(→))与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为eq \f(\r(7),4).
一、两条异面直线所成的角
例1 如图，在三棱柱OAB－O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝eq \r(3)，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值．
解 以O为坐标原点，eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))的方向为x轴，y轴的正方向．建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0,0,0)，O1(0,1，eq \r(3))，A(eq \r(3)，0,0)，A1(eq \r(3)，1，eq \r(3))，B(0,2,0)，
∴eq \(A1B,\s\up6(—→))＝(－eq \r(3)，1，－eq \r(3))，eq \(O1A,\s\up6(—→))＝(eq \r(3)，－1，－eq \r(3))．
∴|cs〈eq \(A1B,\s\up6(→))，eq \(O1A,\s\up6(→))〉|＝eq \f(|\(A1B,\s\up6(→))·\(O1A,\s\up6(→))|,|\(A1B,\s\up6(→))||\(O1A,\s\up6(→))|)
＝eq \f(|－\r(3)，1，－\r(3)·\r(3)，－1，－\r(3)|,\r(7)×\r(7))＝eq \f(1,7).
∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为eq \f(1,7).
反思感悟 求异面直线夹角的方法
(1)传统法：作出与异面直线所成角相等的平面角，进而构造三角形求解．
(2)向量法：在两异面直线a与b上分别取点A，B和C，D，则eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))可分别为a，b的方向向量，则cs θ＝eq \f(|\(AB,\s\up6(→))·\(CD,\s\up6(→))|,|\(AB,\s\up6(→))||\(CD,\s\up6(→))|).
跟踪训练1 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为( )
A.eq \f(\r(30),10) B.eq \f(\r(30),15)
C.eq \f(\r(30),30) D.eq \f(\r(15),15)
答案 A
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，
则B1(2,2,2)，M(1,1,0)，D1(0,0,2)，N(1,0,0)，
∴eq \(B1M,\s\up6(—→))＝(－1，－1，－2)，
eq \(D1N,\s\up6(—→))＝(1,0，－2)，
∴cs〈eq \(B1M,\s\up6(—→))，eq \(D1N,\s\up6(—→))〉＝eq \f(－1＋4,\r(1＋1＋4)×\r(1＋4))＝eq \f(\r(30),10).
二、直线与平面所成的角
例2 如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝eq \f(1,2)AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．
(1)证明：CM⊥SN；
(2)求SN与平面CMN所成角的大小．
(1)证明 设PA＝1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系(如图)．
则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，
又AN＝eq \f(1,4)AB，M，S分别为PB，BC的中点，
∴Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，0))，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0，\f(1,2)))，Seq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，0))，
eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－1，\f(1,2)))，eq \(SN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(1,2)，0))，
∴eq \(CM,\s\up6(→))·eq \(SN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－1，\f(1,2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(1,2)，0))＝0，
∴eq \(CM,\s\up6(→))⊥eq \(SN,\s\up6(→))，
因此CM⊥SN.
(2)解 由(1)知，eq \(NC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1，0))，
设a＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，
∴eq \(CM,\s\up6(→))·a＝0，eq \(NC,\s\up6(→))·a＝0.
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋\f(1,2)z＝0，,－\f(1,2)x＋y＝0.))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2y，,z＝－2y.))
取y＝1，得a＝(2,1，－2)．
设SN与平面CMN所成的角为θ，
∵sin θ＝|cs〈a，eq \(SN,\s\up6(→))〉|＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－1－\f(1,2))),3×\f(\r(2),2))＝eq \f(\r(2),2).
∴SN与平面CMN所成角为eq \f(π,4).
反思感悟 利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤
(1)建立空间直角坐标系．
(2)求直线的方向向量u.
(3)求平面的法向量n.
(4)设线面角为θ，则sin θ＝eq \f(|u·n|,|u||n|) .
跟踪训练2 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F依次为C1C，BC的中点．求A1B与平面AEF所成角的正弦值．
解 以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,1,0)，
所以eq \(A1B,\s\up6(—→))＝(2,0，－2)，eq \(AE,\s\up6(→))＝(0,2,1)，eq \(AF,\s\up6(→))＝(1,1,0)．
设平面AEF的一个法向量为n＝(a，b，c)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AE,\s\up6(→))＝0，,n·\(AF,\s\up6(→))＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2b＋c＝0，,a＋b＝0，))
令a＝1可得n＝(1，－1,2)．
设A1B与平面AEF所成角为θ，
所以sin θ＝|cs〈n，eq \(A1B,\s\up6(—→))〉|＝eq \f(|n·\(A1B,\s\up6(—→))|,|n||\(A1B,\s\up6(—→))|)＝eq \f(\r(3),6)，
即A1B与平面AEF所成角的正弦值为eq \f(\r(3),6).
三、两个平面的夹角
例3 如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．
(1)证明：O1O⊥平面ABCD；
(2)若∠CBA＝60°，求平面C1OB1与平面OB1D夹角的余弦值．
(1)证明 因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD，
又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD，
因为AC∩BD＝O，
AC，BD⊂平面ABCD，
所以O1O⊥平面ABCD.
(2)解 因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD，又O1O⊥平面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直．
如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
设棱长为2，因为∠CBA＝60°，
所以OB＝eq \r(3)，OC＝1，
所以O(0,0,0)，B1(eq \r(3)，0,2)，C1(0,1,2)，
平面BDD1B1的一个法向量为n＝(0,1,0)，
设平面OC1B1的法向量为m＝(x，y，z)，
由m⊥eq \(OB1,\s\up6(—→))，m⊥eq \(OC1,\s\up6(—→))，得eq \r(3)x＋2z＝0，y＋2z＝0，
取z＝－eq \r(3)，则x＝2，y＝2eq \r(3)，
所以m＝(2,2eq \r(3)，－eq \r(3))，
所以cs〈m，n〉＝eq \f(m·n,|m||n|)＝eq \f(2\r(3),\r(19))＝eq \f(2\r(57),19).
所以平面C1 OB1与平面OB1D夹角的余弦值为eq \f(2\r(57),19).
延伸探究
本例不变，求平面B A1C与平面A1CD夹角的余弦值．
解 B(eq \r(3)，0,0)，A1(0，－1,2)，C(0,1,0)，D(－eq \r(3)，0,0)，
设平面BA1C的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
eq \(A1C,\s\up6(→))＝(0,2，－2)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(－eq \r(3)，1,0)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m·\(A1C,\s\up6(—→))＝0，,m·\(BC,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2y1－2z1＝0，,－\r(3)x1＋y1＝0，))
令x1＝1，则y1＝eq \r(3)，z1＝eq \r(3)，
∴m＝(1，eq \r(3)，eq \r(3))，
同理得，平面A1CD的法向量n＝(1，－eq \r(3)，－eq \r(3))，
cs〈m，n〉＝eq \f(m·n,|m||n|)＝－eq \f(5,7)，
则平面BA1C与平面A1CD夹角的余弦值为eq \f(5,7).
反思感悟 求两平面夹角的两种方法
(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同．
(2)法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，则两平面的夹角为〈n1，n2〉eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当〈n1，n2〉∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时))或π－〈n1，n2〉eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当〈n1，n2〉∈\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))时.))
跟踪训练3 如图所示，在几何体S－ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，又SD＝2，∠SDC＝120°，求平面SAD与平面SAB夹角的余弦值．
解 如图，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，以DC，DE，DA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
∵∠SDC＝120°，∴∠SDE＝30°，又SD＝2，∴点S到y轴的距离为1，到x轴的距离为eq \r(3)，则有D(0,0,0)，S(－1，eq \r(3)，0)，A(0,0,2)，C(2,0,0)，B(2,0,1)，
设平面SAD的法向量为m＝(x，y，z)，
∵eq \(AD,\s\up6(→))＝(0,0，－2)，eq \(AS,\s\up6(→))＝(－1，eq \r(3)，－2)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2z＝0，,－x＋\r(3)y－2z＝0，))取x＝eq \r(3)，得平面SAD的一个法向量为m＝(eq \r(3)，1,0)．
又eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,0，－1)，设平面SAB的法向量为n＝(a，b，c)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AB,\s\up6(→))＝0，,n·\(AS,\s\up6(→))＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a－c＝0，,－a＋\r(3)b－2c＝0，))令a＝eq \r(3)，
则n＝(eq \r(3)，5,2eq \r(3))，
∴cs〈m，n〉＝eq \f(m·n,|m||n|)＝eq \f(8,2\r(10)×2)＝eq \f(\r(10),5)，
故平面SAD与平面SAB夹角的余弦值是eq \f(\r(10),5).
空间向量和实际问题
典例 如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处．从A，B到直线 (库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为a和b，CD的长为c， 甲乙之间拉紧的绳长为d，求库底与水坝所在平面夹角的余弦值．
解 由题意可知AC＝a，BD＝b，CD＝c，AB＝d，
所以d2＝eq \(AB,\s\up6(→))2＝(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→)))2＝eq \(AC,\s\up6(→))2＋eq \(CD,\s\up6(→))2＋eq \(DB,\s\up6(→))2＋2(eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(DB,\s\up6(→)))
＝a2＋c2＋b2＋2eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(DB,\s\up6(→))＝a2＋c2＋b2－2eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(DB,\s\up6(→))，
则2eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(DB,\s\up6(→))＝a2＋b2＋c2－d2，
设向量eq \(CA,\s\up6(→))与eq \(DB,\s\up6(→))的夹角为θ，θ就是库底与水坝所在平面的夹角，
因此2abcs θ＝a2＋b2＋c2－d2，所以cs θ＝eq \f(a2＋b2＋c2－d2,2ab)，
故库底与水坝所在平面夹角的余弦值为eq \f(a2＋b2＋c2－d2,2ab).
[素养提升] 利用空间向量解决实际问题
(1)分析实际问题的向量背景，将题目条件、结论转化为向量问题．
(2)对于和垂直、平行、距离、角度有关的实际问题，可以考虑建立向量模型，体现了数学建模的核心素养．
1．若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2所成的角为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(5π,6)
C.eq \f(π,6)或eq \f(5π,6) D．以上均不对
答案 A
解析 l1与l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，故选A.
2．已知向量m，n分别是平面α和平面β的法向量，若cs〈m，n〉＝－eq \f(1,2)，则α与β的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
答案 B
解析 设α与β所成的角为θ，且0°≤θ≤90°，
则cs θ＝|cs〈m，n〉|＝eq \f(1,2)，∴θ＝60°.
3．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( )
A.eq \f(1,10) B.eq \f(2,5) C.eq \f(\r(30),10) D.eq \f(\r(2),2)
答案 C
解析 如图所示，以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线CC1为z轴建立空间直角坐标系，
设CA＝CB＝1，则B(0,1,0)，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，1))，A(1,0,0)，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，1)).
故eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(1,2)，1))，eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0，1))，
所以cs〈eq \(BM,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(BM,\s\up6(→))·\(AN,\s\up6(→)),|\(BM,\s\up6(→))||\(AN,\s\up6(→))|)＝eq \f(\f(3,4),\f(\r(6),2)×\f(\r(5),2))＝eq \f(\r(30),10).
4.如图所示，点A，B，C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，eq \(OC,\s\up6(→))＝(0,0,2)，平面ABC的一个法向量为n＝(2,1,2)，平面ABC与平面ABO的夹角为θ，则cs θ＝________.
答案 eq \f(2,3)
解析 cs θ＝eq \f(\(OC,\s\up6(→))·n,|\(OC,\s\up6(→))||n|)＝eq \f(4,2×3)＝eq \f(2,3).
5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为________．
答案 eq \f(\r(3),3)
解析 设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系如图．
则D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)．
平面ACD1的一个法向量为eq \(DB1,\s\up6(—→))＝(1,1,1)．
又eq \(BB1,\s\up6(—→))＝(0,0,1)，
则cs〈eq \(DB1,\s\up6(—→))，eq \(BB1,\s\up6(—→))〉＝eq \f(\(DB1,\s\up6(—→))·\(BB1,\s\up6(—→)),|\(DB1,\s\up6(—→))||\(BB1,\s\up6(—→))|)＝eq \f(1,\r(3)×1)＝eq \f(\r(3),3).
1．知识清单：
(1)两条异面直线所成的角．
(2)直线和平面所成的角．
(3)两个平面的夹角．
2．方法归纳：转化与化归．
3．常见误区：混淆两个向量的夹角和空间角的关系，不能正确理解空间角的概念，把握空间角的范围．
1．已知A(0,1,1)，B(2，－1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB与直线CD所成角的余弦值为( )
A.eq \f(5\r(22),66) B．－eq \f(5\r(22),66) C.eq \f(5\r(22),22) D．－eq \f(5\r(22),22)
答案 A
解析 ∵eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，－2，－1)，eq \(CD,\s\up6(→))＝(－2，－3，－3)，
∴cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(CD,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))||\(CD,\s\up6(→))|)＝eq \f(5,3×\r(22))＝eq \f(5\r(22),66)，
∴直线AB，CD所成角的余弦值为eq \f(5\r(22),66).
2．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面夹角为( )
A．45° B．135°
C．45°或135° D．90°
答案 A
解析 cs〈m，n〉＝eq \f(m·n,|m||n|)＝eq \f(1,1·\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，即〈m，n〉＝45°.所以两平面的夹角为45°.
3．设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝eq \f(2π,3)，则l与α所成的角为( )
A.eq \f(2π,3) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,6) D.eq \f(5π,6)
答案 C
解析 线面角的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
∵〈a，n〉＝eq \f(2π,3)，∴l与法向量所在直线所成角为eq \f(π,3)，
∴l与α所成的角为eq \f(π,6).
4．若平面α的一个法向量为n＝(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3,3)，则l与α所成角的余弦值为( )
A．－eq \f(4\r(11),33) B.eq \f(4\r(11),33) C．－eq \f(\r(913),33) D.eq \f(\r(913),33)
答案 D
解析 设α与l所成的角为θ，
则sin θ＝|cs〈a，n〉|＝eq \f(|－2，－3，3·4，1，1|,\r(4＋9＋9)×\r(16＋1＋1))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(－4,3\r(11))))＝eq \f(4\r(11),33)，
故直线l与α所成角的余弦值为eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(11),33)))2)＝eq \f(\r(913),33).
5．正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案 B
解析 如图所示，建立空间直角坐标系，
设PA＝AB＝1，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)．
于是eq \(AD,\s\up6(→))＝(0,1,0)，取PD的中点E，则Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))，
∴eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，\f(1,2)))，易知eq \(AD,\s\up6(→))是平面PAB的法向量，eq \(AE,\s\up6(→))是平面PCD的法向量，
∴cs〈eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AE,\s\up6(→))〉＝eq \f(\r(2),2)，
∴平面PAB与平面PCD的夹角为45°.
6.如图，在正方体ABCD －A1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中心，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP所成的角为________．
答案 eq \f(π,2)
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，A1P＝x，
则O(1,1,0)，P(2，x，2)，B(2,2,0)，M(0,2,1)，
eq \(OP,\s\up6(→))＝(1，x－1,2)，eq \(BM,\s\up6(→))＝(－2,0,1)．
所以eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(BM,\s\up6(→))＝0，
所以直线BM与OP所成的角为eq \f(π,2).
7．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为________．
答案 eq \f(\r(10),5)
解析 如图所示，建立空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0，2,0)，D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，
∴eq \(BC1,\s\up6(→))＝(－2,0,1)．
连接AC，易证AC⊥平面BB1D1D，
∴平面BB1D1D的一个法向量为a＝eq \(AC,\s\up6(→))＝(－2,2,0)．
∴所求角的正弦值为|cs〈a，eq \(BC1,\s\up6(—→))〉|＝eq \f(|a·\(BC1,\s\up6(—→))|,|a||\(BC1,\s\up6(—→))|)＝eq \f(4,\r(8)×\r(5))＝eq \f(\r(10),5).
8．已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC夹角的余弦值等于 ________.
答案 eq \f(3\r(11),11)
解析 如图，建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为1，
平面ABC的法向量为n1＝(0,0,1)，
平面AEF的法向量为n2＝(x，y，z)．
所以A(1,0,0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，\f(1,3)))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(2,3)))，
所以eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(1,3)))，eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，0，\f(1,3)))，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n2·\(AE,\s\up6(→))＝0，,n2·\(EF,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＋\f(1,3)z＝0，,－x＋\f(1,3)z＝0.))
取x＝1，则y＝－1，z＝3.故n2＝(1，－1,3)．
所以cs〈n1，n2〉＝eq \f(n1·n2,|n1||n2|)＝eq \f(3\r(11),11).
所以平面AEF与平面ABC夹角的余弦值为eq \f(3\r(11),11).
9.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点．求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．
解 以点A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0,4)，D(1,1,0)，C1(0,2,4)，
∴eq \(A1B,\s\up6(—→))＝(2,0，－4)，eq \(C1D,\s\up6(—→))＝(1，－1，－4)，
∴cs〈eq \(A1B,\s\up6(—→))，eq \(C1D,\s\up6(—→))〉＝eq \f(\(A1B,\s\up6(—→))·\(C1D,\s\up6(—→)),|\(A1B,\s\up6(—→))||\(C1D,\s\up6(—→))|)＝eq \f(3\r(10),10)，
∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为eq \f(3\r(10),10).
10．四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
(1)求证：平面AEC⊥平面PDB；
(2)当PD＝eq \r(2)AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成角的大小．
(1)证明 如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，
设AB＝a，PD＝h，
则A(a，0,0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，D(0,0,0)，P(0,0，h)，
∴eq \(AC,\s\up6(→))＝(－a，a，0)，eq \(DP,\s\up6(→))＝(0,0，h)，eq \(DB,\s\up6(→))＝(a，a，0)，
∴eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(DP,\s\up6(→))＝0，eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(DB,\s\up6(→))＝0，
∴AC⊥DP，AC⊥DB，又DP∩DB＝D，DP，DB⊂平面PDB，
∴AC⊥平面PDB，
又AC⊂平面AEC，
∴平面AEC⊥平面PDB.
(2)解 当PD＝eq \r(2)AB且E为PB的中点时，
P(0,0，eq \r(2)a)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a，\f(1,2)a，\f(\r(2),2)a))，
设AC∩BD＝O，Oeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，\f(a,2)，0))，
连接OE，由(1)知AC⊥平面PDB，
∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角，
∵eq \(EA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a，－\f(1,2)a，－\f(\r(2),2)a))，eq \(EO,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，－\f(\r(2),2)a))，
∴cs∠AEO＝eq \f(\(EA,\s\up6(→))·\(EO,\s\up6(→)),|\(EA,\s\up6(→))|·|\(EO,\s\up6(→))|)＝eq \f(\r(2),2)，
∴∠AEO＝45°，即AE与平面PDB所成角的大小为45°.
11．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为( )
A.eq \f(\r(5),5) B.eq \f(\r(5),3)
C.eq \f(2\r(5),5) D.eq \f(3,5)
答案 A
解析 不妨设CA＝CC1＝2CB＝2，
则eq \(AB1,\s\up6(—→))＝(－2,2,1)，eq \(C1B,\s\up6(—→))＝(0，－2,1)，
所以cs〈eq \(AB1,\s\up6(—→))，eq \(C1B,\s\up6(—→))〉＝eq \f(\(AB1,\s\up6(—→))·\(C1B,\s\up6(—→)),|\(AB1,\s\up6(—→))||\(C1B,\s\up6(—→))|)
＝eq \f(－2×0＋2×－2＋1×1,\r(9)×\r(5))＝－eq \f(\r(5),5).
所以所求角的余弦值为eq \f(\r(5),5).
12．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为( )
A．60° B．90°
C．45° D．以上都不对
答案 B
解析 以点D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图．
由题意知，A1(1,0,2)，E(1,1,1)，D1(0,0,2)，A(1,0,0)，
所以eq \(A1E,\s\up6(—→))＝(0,1，－1)，eq \(D1E,\s\up6(—→))＝(1,1，－1)，eq \(EA,\s\up6(→))＝(0，－1，－1)．
设平面A1ED1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(A1E,\s\up6(→))＝0，,n·\(D1E,\s\up6(→))＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－z＝0，,x＋y－z＝0，))
令z＝1，得y＝1，x＝0，所以n＝(0,1,1)，
cs〈n，eq \(EA,\s\up6(→))〉＝eq \f(n·\(EA,\s\up6(→)),|n||\(EA,\s\up6(→))|)＝eq \f(－2,\r(2)·\r(2))＝－1，
设直线与平面A1ED1所成角为θ，则sin θ＝1，
所以直线AE与平面A1ED1所成的角为90°.
13．在空间中，已知平面α过(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0，a)(a>0)，如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝________.
答案 eq \f(12,5)
解析 平面xOy的法向量n＝(0,0,1)，设平面α的法向量为u＝(x，y，z)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3x＋4y＝0，,－3x＋az＝0，))
即3x＝4y＝az，取z＝1，则u＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,3)，\f(a,4)，1)).
而cs〈n，u〉＝eq \f(1,\r(\f(a2,9)＋\f(a2,16)＋1))＝eq \f(\r(2),2)，又∵a>0，∴a＝eq \f(12,5).
14．已知正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则平面ABD与平面BDC夹角的余弦值为____．
答案 eq \f(\r(5),5)
解析 取BC的中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系．
设BC＝1，则Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(\r(3),2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2)，0))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，0，0)).
所以eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(\r(3),2)))，eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0)).
由于eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(\r(3),2)))为平面BCD的一个法向量．
设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(BA,\s\up6(→))＝0，,n·\(BD,\s\up6(→))＝0，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)y＋\f(\r(3),2)z＝0，,\f(\r(3),2)x＋\f(1,2)y＝0，))
取x＝1，则y＝－eq \r(3)，z＝1，所以n＝(1，－eq \r(3)，1)，
所以cs〈n，eq \(OA,\s\up6(→))〉＝eq \f(\r(5),5).
15．如图，在三棱锥V－ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x轴、y轴、z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝eq \f(π,3)，则异面直线AC与VD所成角的余弦值为________．
答案 eq \f(\r(2),4)
解析 ∵AC＝BC＝2，D是AB的中点，
∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0)．
当θ＝eq \f(π,3)时，在Rt△VCD中，CD＝eq \r(2)，
∴V(0,0，eq \r(6))，
∴eq \(AC,\s\up6(→))＝(－2,0,0)，eq \(VD,\s\up6(→))＝(1,1，－eq \r(6))，
∴cs〈eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(VD,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AC,\s\up6(→))·\(VD,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))||\(VD,\s\up6(→))|)＝eq \f(－2,2×2\r(2))＝－eq \f(\r(2),4).
∴异面直线AC与VD所成角的余弦值为eq \f(\r(2),4).
16.如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BC，A1D1的中点．
(1)求直线A1C与DE所成角的余弦值；
(2)求直线AD与平面B1EDF所成角的余弦值；
(3)求平面B1EDF与平面ABCD夹角的余弦值．
解 以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz.
(1)A1(0,0，a)，C(a，a，0)，D(0，a，0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(a,2)，0))，
∴eq \(A1C,\s\up6(—→))＝(a，a，－a)，eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，－\f(a,2)，0))，
∴cs〈eq \(A1C,\s\up6(—→))，eq \(DE,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(A1C,\s\up6(—→))·\(DE,\s\up6(→)),|\(A1C,\s\up6(—→))||\(DE,\s\up6(→))|)＝eq \f(\r(15),15)，
故A1C与DE所成角的余弦值为eq \f(\r(15),15).
(2)连接DB1，∵∠ADE＝∠ADF，
∴AD在平面B1EDF内的射影在∠EDF的平分线上．
又四边形B1EDF为菱形，∴DB1为∠EDF的平分线，
故直线AD与平面B1EDF所成的角为∠ADB1.
由A(0,0,0)，B1(a，0，a)，D(0，a，0)，
得eq \(DA,\s\up6(→))＝(0，－a，0)，eq \(DB1,\s\up6(—→))＝(a，－a，a)，
∴cs〈eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(DB1,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(DA,\s\up6(→))·\(DB1,\s\up6(—→)),|\(DA,\s\up6(→))||\(DB1,\s\up6(—→))|)＝eq \f(\r(3),3)，
又直线与平面所成角的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
故直线AD与平面B1EDF所成角的余弦值为eq \f(\r(3),3).
(3)由已知得A(0,0,0)，A1(0,0，a)，B1(a，0，a)，D(0，a，0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(a,2)，0))，
则eq \(ED,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a，\f(a,2)，0))，eq \(EB1,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(a,2)，a))，
平面ABCD的一个法向量为m＝eq \(AA1,\s\up6(—→))＝(0,0，a)．
设平面B1EDF的一个法向量为n＝(1，y，z)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(ED,\s\up6(→))＝0，,n·\(EB1,\s\up6(—→))＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2，,z＝1，))
∴n＝(1,2,1)，∴cs〈n，m〉＝eq \f(m·n,|m||n|)＝eq \f(\r(6),6)，
∴平面B1EDF与平面ABCD夹角的余弦值为eq \f(\r(6),6).角的分类
向量求法
范围
两条异面直线所成的角
设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cs θ＝|cs〈u，v〉|＝ eq \f(|u·v|,|u||v|)
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
直线与平面所成的角
设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cs 〈u，n〉|＝eq \f(|u·n|,|u||n|)
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
两个平面的夹角
设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cs θ＝|cs 〈n1，n2〉|＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|)
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
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