专题05 数列-十年（2012-2021）高考数学真题分项汇编（浙江专用）

十年（2012-2021）高考数学真题分项汇编（浙江专用）

专题05数列

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．（2021·浙江高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

显然可知，，利用倒数法得到，再放缩可得，由累加法可得，进而由局部放缩可得，然后利用累乘法求得，最后根据裂项相消法即可得到，从而得解．

【详解】

因为，所以，．

由

，即

根据累加法可得，，当且仅当时取等号，

，

由累乘法可得，当且仅当时取等号，

由裂项求和法得：

所以，即．

故选：A．

【点睛】本题解题关键是通过倒数法先找到的不等关系，再由累加法可求得，由题目条件可知要证小于某数，从而通过局部放缩得到的不等关系，改变不等式的方向得到，最后由裂项相消法求得．

2．（2021·浙江高考真题）已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（    ）

A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线

【答案】C

【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.

【详解】

由题意得，即，

对其进行整理变形：

，

，

，

，

所以或，

其中为双曲线，为直线.

故选：C.

3．（2020·浙江高考真题）已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（    ）

A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6 C． D．

【答案】D

【分析】根据题意可得，，而，即可表示出题中，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立．

【详解】

对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，，A正确；

对于B，由题意可知，，，

∴，，，．

∴，．

根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确；

对于C，，

当时，，C正确；

对于D，，，

．

当时，，∴即；

当时，，∴即，所以，D不正确．

故选：D.

【点睛】考查等差数列的性质应用．

4．（2019·浙江高考真题（理））设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是

A．若d＜0，则数列{S n}有最大项

B．若数列{S n}有最大项，则d＜0

C．若数列{S n}是递增数列，则对任意的nN*，均有S n＞0

D．若对任意的nN*，均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列

【答案】C

【解析】

特殊值验证排除．选项C显然是错的，举出反例：－1，0，1，2，…，满足数列{Sn}是递增数列，但是Sn>0不恒成立选C.

5．（2018·浙江高考真题）已知成等比数列，且．若，则

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断.

【详解】

令则，令得，所以当时，，当时，，因此，

若公比，则，不合题意；

若公比，则

但，

即，不合题意；

因此，

，选B.

【点睛】

构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如

6．（2017·浙江高考真题）    已知等差数列的公差为d,前n项和为,则“d>0”是

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】

由，可知当时，有，即，反之，若，则，所以“d>0”是“S4 + S6>2S5”的充要条件，选C．

【名师点睛】本题考查等差数列的前项和公式，通过套入公式与简单运算，可知， 结合充分必要性的判断，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，该题“”“”，故互为充要条件．

7．（2016·浙江高考真题（文））如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且，.（）

若

A．是等差数列 B．是等差数列

C．是等差数列 D．是等差数列

【答案】A

【详解】

表示点到对面直线的距离（设为）乘以长度的一半，

即，由题目中条件可知的长度为定值，

那么我们需要知道的关系式，

由于和两个垂足构成了直角梯形，

那么，

其中为两条线的夹角，即为定值，

那么，

，

作差后：，都为定值，所以为定值．故选A．

8．（2015·浙江高考真题（理））已知是公差不为零的等差数列，其前项和为，若成等比数列，则

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

∵等差数列，，，成等比数列，∴，

∴，∴，，故选B.

考点：1.等差数列的通项公式及其前项和；2.等比数列的概念

二、填空题

9．（2020·浙江高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列 的前3项和是________．

【答案】

【分析】根据通项公式可求出数列的前三项，即可求出．

【详解】

因为，所以．

即．

故答案为：.

【点睛】考查利用数列的通项公式写出数列中的项并求和．

10．（2019·浙江高考真题（文））在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，

那么，位于下表中的第n行第n+1列的数是_______

【答案】

【解析】

试题分析：从表格可知，第n行的等差数列的首项为n，公差也为n，根据等差数列的通项公式，其位于第n+1个数是n+(n-1)n= n+n2，所以位于下表中的第n行第n+1列的数是n+n2.

考点：等差数列的通项公式，观察与归纳的能力.

11．（2015·浙江高考真题（文））已知是等差数列，公差不为零．若，，成等比数列，且，则         ，         ．

【答案】

【分析】根据题意列出关于、的方程组，即可解出这两个量的值.

【详解】

由题可得，，故有，

又因为，即，所以.

【点睛】考查等差数列基本量的计算，解题的关键就是根据题意列出关于首项和公差的方程组进行求解，考查运算求解能力.

12．（2014·浙江高考真题（文））设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5=0，则=________.

【答案】－11

【解析】

通过8a2＋a5＝0，设公比为q，将该式转化为8a2＋a2q3＝0，解得q＝－2，所以＝＝＝－11.

13．（2012·浙江高考真题（理））设公比为q(q＞0)的等比数列{a n}的前n项和为{S n}．若，，则q＝______________．

【答案】

【详解】

将，两个式子全部转化成用，q表示的式子．

即，两式作差得：，即：，解之得：(舍去)

三、解答题

14．（2021·浙江高考真题）已知数列的前n项和为，，且.

（1）求数列的通项；

（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）由，结合与的关系，分讨论，得到数列为等比数列，即可得出结论；

（2）由结合的结论，利用错位相减法求出，对任意恒成立，分类讨论分离参数，转化为与关于的函数的范围关系，即可求解.

【详解】

（1）当时，，

，

当时，由①，

得②，①②得

，

又是首项为，公比为的等比数列，

；

（2）由，得，

所以，

，

两式相减得

，

所以，

由得恒成立，

即恒成立，

时不等式恒成立；

时，，得；

时，，得；

所以.

【点睛】

易错点点睛：（1）已知求不要忽略情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中恒成立，要对讨论，还要注意时，分离参数不等式要变号.

15．（2020·浙江高考真题（理））已知数列和满足.若为等比数列，且

（1）求与；

（2）设．记数列的前项和为.

（i）求；

（ii）求正整数，使得对任意，均有．

【答案】（1），；（2）（i）；（ii）．

【解析】

试题分析：（1）求与得通项公式，由已知得，再由已知得，，又因为数列为等比数列，即可写出数列的通项公式为，由数列的通项公式及，可得数列的通项公式为，；（2）（i）求数列的前项和，首先求数列的通项公式，由，将，代入整理得，利用等比数列求和公式，即可得数列的前项和；（ii）求正整数，使得对任意，均有，即求数列的最大项，即求数列得正数项，由数列的通项公式，可判断出，当时，，从而可得对任意恒有，即．

（1）由题意，，，知，又有，得公比（舍去），所以数列的通项公式为，所以，故数列的通项公式为，；

（2）（i）由（1）知，，所以；

（ii）因为；当时，，而，得，所以当时，，综上对任意恒有，故．

点评：本题主要考查等差数列与等比的列得概念，通项公式，求和公式，不等式性质等基础知识，同时考查运算求解能力．

16．（2020·浙江高考真题（文））已知数列和满足，

（1）求与；

（2）记数列的前项和为，求.

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根据数列递推关系式，确定数列的特点，得到数列的通项公式；（2）根据（1）问得到新的数列的通项公式，利用错位相减法进行数列求和.

试题解析：（1）由，得.

当时，，故.

当时，，整理得，

所以.

（2）由（1）知，

所以

所以

所以.

考点：1.等差等比数列的通项公式；2.数列的递推关系式；3.错位相减法求和.

17．（2020·浙江高考真题）已知数列{an}，{bn}，{cn}中，．

（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求q与{an}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：．

【答案】（I）；（II）证明见解析.

【分析】

（I）根据，求得，进而求得数列的通项公式，利用累加法求得数列的通项公式.

（II）利用累乘法求得数列的表达式，结合裂项求和法证得不等式成立.

【详解】

（I）依题意，而，即，由于，所以解得，所以.

所以，故，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.

所以（）.

所以，又，符合，

故.

（II）依题意设，由于，

所以，

故

.

又，而，

故

所以

.

由于，所以，所以.

即， .

【点睛】考查累加法、累乘法求数列的通项公式，考查裂项求和法.

18．（2019·浙江高考真题）设等差数列的前项和为，，，数列满足：对每成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）记 证明：

【答案】（1），；（2）证明见解析.

【分析】

(1)首先求得数列的首项和公差确定数列的通项公式，然后结合三项成等比数列的充分必要条件整理计算即可确定数列的通项公式；

(2)结合(1)的结果对数列的通项公式进行放缩，然后利用不等式的性质和裂项求和的方法即可证得题中的不等式.

【详解】

(1)由题意可得：，解得：，

则数列的通项公式为 .

其前n项和.

则成等比数列，即：

，

据此有：

，

故.

(2)结合(1)中的通项公式可得：

，

则.

【点睛】

本题主要考查数列通项公式的求解，，裂项求和的方法，数列中用放缩法证明不等式的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

19．（2018·浙江高考真题）已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{bn}满足b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前n项和为2n2+n．

（Ⅰ）求q的值；

（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【分析】

分析:（Ⅰ）根据条件、等差数列的性质及等比数列的通项公式即可求解公比；（Ⅱ）先根据数列前n项和求通项，解得，再通过叠加法以及错位相减法求.

【详解】

详解：（Ⅰ）由是的等差中项得，

所以，

解得.

由得，

因为，所以.

（Ⅱ）设，数列前n项和为.

由解得.

由（Ⅰ）可知，

所以，

故，

                       .

设，

所以，

因此，

又，所以.

点睛：用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.

20．（2017·浙江高考真题）已知数列满足：，

证明：当时，

（I）；

（II）；

（III）.

【答案】（I）见解析；（II）见解析；（Ⅲ）见解析.

【分析】

（I）用数学归纳法可证明；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得， 构造函数，利用函数的单调性可证；

（Ⅲ）由及，递推可得.

【详解】

（Ⅰ）用数学归纳法证明：．

当时，．

假设时，，那么时，若，

则，矛盾，故．

因此，所以，因此．

（Ⅱ）由得，

．

记函数，

，

函数在上单调递增，所以，

因此，故．

（Ⅲ）因为，所以，

由，得，

所以，故．

综上，．

【名师点睛】

本题主要考查利用数列不等式的证明，常利用以下方法：（1）数学归纳法；（2）构造函数，利用函数的单调性证明不等式；（3）利用递推关系证明．

21．（2016·浙江高考真题（文））设数列{}的前项和为.已知=4，=2+1，.

（Ⅰ）求通项公式；

（Ⅱ）求数列{||}的前项和.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【详解】

试题分析：本题主要考查等差、等比数列的基础知识，同时考查数列基本思想方法，以及推理论证能力.

试题解析：（Ⅰ）由题意得，则

又当时，由，

得.

所以，数列的通项公式为.

（Ⅱ）设，，.

当时，由于，故.

设数列的前项和为，则.

当时，，

所以，

【考点】

等差、等比数列的基础知识.

【方法点睛】

数列求和的常用方法：（1）错位相减法：形如数列的求和，其中是等差数列，是等比数列；（2）裂项法：形如数列或的求和，其中，是关于的一次函数；（3）分组法：数列的通项公式可分解为几个容易求和的部分．

22．（2015·浙江高考真题（理））已知数列满足=且=-（）.

（1）证明：1（）；

（2）设数列的前项和为，证明（）.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】

（1）首先根据递推公式可得，再由递推公式变形可知

，从而得证；（2）由和，得，从而可得，即可得证.

【详解】

（1）由题意得，，即，，

由，

得，

由得，，

即；

（2）由题意得，

∴①，

由和，得，

∴，

因此②，

由①②得.

考点：数列与不等式结合综合题.

23．（2013·浙江高考真题（理））在公差为的等差数列中,已知，且成等比数列.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若,求.

【答案】(Ⅰ)或 .(Ⅱ)

【详解】

试题分析：

(Ⅰ)由题意求得数列的公差后可得通项公式．(Ⅱ)结合条件可得，分和两种情况去掉中的绝对值后，利用数列的前n项和公式求解．

试题解析：

（Ⅰ）∵成等比数列，

∴，

整理得，

解得或，

当时，;

当时，．

所以或 ．

（Ⅱ）设数列 前项和为 ，

∵ ，

∴ ，

当 时，，

∴；

当时，

．

综上

24．（2011·浙江高考真题（理））已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n项和为Sn，且，，成等比数列．

（1）求数列{an}的通项公式及Sn；

（2）记An=+++…+，Bn=++…+，当n≥2时，试比较An与Bn的大小．

【答案】（1）an=na

（2）当a＞0时，An＜Bn；当a＜0时，An＞Bn

【解析】

（1）设等差数列{an}的公差为d，由（）2=•，

得（a1+d）2=a1（a1+3d），因为d≠0，所以d=a1=a

所以an=na，Sn=

（2）解：∵=（﹣）

∴An=+++…+=（1﹣）

∵=2n﹣1a，所以==为等比数列，公比为，

Bn=++…+=•=•（1﹣）

当n≥2时，2n=Cn0+Cn1+…+Cnn＞n+1，即1﹣＜1﹣

所以，当a＞0时，An＜Bn；当a＜0时，An＞Bn．