专题14 相似三角形-2022届中考数学压轴大题专项训练

专题14  相似三角形  2022届中考数学压轴大题专项训练（解析版）

1．已知，如图，△ABC中，AB＝2，BC＝4，D为BC边上一点，BD＝1，AD+AC=8．

（1）找出图中的一对相似三角形并证明；

（2）求AC长．

【解析】解：（1）△BAD∽△BCA，理由如下：

AB＝2，BC＝4，BD＝1，

，

，

又∠B=∠B，

△BAD∽△BCA；

（2）由（1）得：，即，

AD+AC=8，

，解得：，

．

2．如图，在中，，，是上一点，，是上一动点，连接，作，射线交线段于.

（1）求证：；

（2）当是线段中点时，求线段的长；

【解析】（1）证明：∵，

∴；

∵，，

∴.

∴.

（2）∵（已证）.

∴；

∵为的中点，，

∴.

设，则；又，

∴，解得或3.

故长为2或3.

3．如图，是一个照相机成像的示意图．

（1）如果像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，拍摄点离景物有多远？

（2）如果要完整的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？

【解析】解：根据物体成像原理知：△LMN∽△LBA，∴．

（1）∵像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，

∴，解得：LD=7．

∴拍摄点距离景物7 m．

（2）拍摄高度AB是2m的景物，拍摄点离景物LC=4m，像高MN不变，是35mm，

∴，解得：LC=70．

∴相机的焦距应调整为70mm．

4．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M，若∠AFG＝∠ACD．

（1）求证：①△MFC∽△MCA；

②若AB＝5，AC＝8，求的值．

（2）若DM＝CM＝2，AD＝3，请直接写出EF长．

【解析】（1）①证明：∵∠AFG＝∠ACD，

∴∠FCA+∠FAC＝∠FCA+∠MCF，

∴∠FAC＝∠MCF，

∵∠FMC＝∠CMA，

∴△MFC∽△MCA．

②解：∵四边形AEFG，四边形ABCD都是矩形，

∴FG∥AE，CD∥AB，

∴∠AFG＝∠FAE，∠ACD＝∠CAB，

∵∠AFG＝∠ACD，

∴∠FAE＝∠CAB，

∵∠AEF＝∠ABC＝90°，

∴△AEF∽△ABC，

∴＝，

∴＝，

∵∠FAE＝∠CAB，

∴∠FAC＝∠EAB，

∴△FAC∽△EAB，

∴＝＝．

（2）解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D＝90°，AD＝BC＝3，

∵DM＝MC＝2，AD＝3，

∴CD＝4，AM＝＝＝，AC＝＝＝5，

∵△MFC∽△MCA，

∴＝，

∴FM＝＝，

∴AF＝AM﹣FM＝，

∵△AEF∽△ABC，

∴＝，

∴＝，

∴EF＝．

5．已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E．

（1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，求证：ED⋅EA=EC⋅EB；

（2）如图2，若∠ABC=120°，cos∠ADC=35，CD=5，AB=12，△CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积．

【解析】解：（1）证明：∵∠ADC＝90°，

∴∠EDC＝90°，

∴∠ABE＝∠CDE.

又∵∠AEB＝∠CED，

∴△EAB∽△ECD，

∴，

∴．

（2）过点C作CG⊥AD于点D，过点A作AH⊥BC于点H，

∵CD＝5，cos∠ADC＝，

∴DG＝3，CG＝4.

∵S△CED＝6，

∴ED＝3，

∴EG＝6.

∵AB＝12，∠ABC＝120°，则∠BAH＝30°，

∴BH＝6，AH＝，

由（1）得△ECG∽△EAH，

∴，

∴EH＝，

∴S四边形ABCD＝S△AEH－S△ECD－S△ABH＝＝．

6．如图，在中，，是高，平分，分别与，相交于点，．

（1）求证：．

（2）求证：．

（3）若，，，求的长．

【解析】证明：（1）

为边上的高，

，

是的平分线，

；

（2），，

，

；

（3）如图，作于

，

，

由，

，

，，

由

．

7．如图，在平面直角坐标系x0y中，直线BC和直线OB交于点B，直线AC与直线BC交x轴于点C，OA=4， 轴，垂足为点A，AC与OB交于点M．

(1)求直线BC的解析式；

(2)求阴影部分的面积．

【解析】解：（1），

所以点A坐标为（0，4)，点C坐标为（1，0），

又轴，点B坐标为（2，4），

设直线BC的表达式为y=kx+b，将点B，C坐标代入表达式，

得，解得：k=4，b=﹣4，

所以直线的表达式为．

(2) 轴，∴AB∥x轴，

，

∴，

∵，

∴，

∴S阴影．

8．在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．

（1）如图1，若BC=2BA，求∠CBE的度数；

（2）如图2，当AB=5，且AFFD=10时，求BC的长；

（3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF=AD时，求的值．

【解析】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴∠C=90°，

∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，

∴BC=BF，∠FBE=∠EBC，∠C=∠BFE=90°，

∵BC=2AB，

∴BF=2AB，

∴∠AFB=30°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD//BC，

∴∠AFB=∠CBF=30°，

∴∠CBE=∠FBC=15°；

（2）∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，

∴∠BFE=∠C=90°，CE=EF，

又∵矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，

∴∠AFB+∠DFE=90°，∠DEF+∠DFE=90°，

∴∠AFB=∠DEF，

∴△FAB∽△EDF，

∴，

∴AF•DF=AB•DE，

∵AF•DF=10，AB=5，

∴DE=2，

∴CE=DC-DE=5-2=3，

∴EF=3，

∴DF=，

∴AF=，

∴BC=AD=AF+DF=．

（3）过点N作NG⊥BF于点G，

∵NF=AD

∴NF=BF，

∵∠NFG=∠AFB，∠NGF=∠BAF=90°，

∴△NFG∽△BFA，

∴，

设AN=x，

∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF，

∴AN=NG=x，AB=BG=2x，

设FG=y，则AF=2y，

∵AB2+AF2=BF2，

∴(2x)2+(2y)2=(2x+y)2，

解得y=x，

∴BF=BG+GF=．

∴．

9．如图，抛物线y＝﹣（x+1）（x﹣n）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，△ABC的面积为5．动点P从点A出发沿AB方向以每秒1个单位的速度向点B运动，过P作PN⊥x轴交BC于M，交抛物线于N．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当MN最大时，求运动的时间；

（3）经过多长时间，点N到点B、点C的距离相等？

【解析】（1）∵抛物线y＝与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C

∴A（﹣1，0），B（n，0），C（0，），n＞0

∴AB＝n+1，OC＝n

由S△ABC＝×AB×OC＝5

∴

∴

∴取正根n＝4

∴y＝＝x2+x+2；

（2）由（1），B（4，0），C（0，2）

∴直线BC为

设M（m,m+2），N（m,m2+m+2）

∴MN＝＝＝

∴当m＝2时，MN最大

∴OP＝2

∴AP＝3，即经过3s，MN最大；

（3）如下图所示，作BC的中垂线，与BC交于点D，与y轴交于点E，与抛物线交于点N，

∴△CDE～△COB

∴

由（2），得BC＝2，D（2，1）

∴DE＝2CD＝2

∴CE＝5

∴OE＝3

∴E（0，-3）

∴直线DE为y＝2x-3

由x2+x+2＝2x-3

移项整理得：x2+x-5＝0

∴x2+x-10＝0

取正根x＝

∴OP＝

∴AP＝

即经过秒，点N到点B、点C的距离相等．

10．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M．

（1）求证：△MFC∽△MCA；

（2）求证△ACF∽△ABE；

（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的边长．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．

【解析】解：（1）四边形是正方形，四边形是正方形，

，

，

，

，

；

（2）四边形是正方形，

，，

，

同理可得，

，

，

，

；

（3），，

，

，

，

，即，

，

，

，

即正方形的边长为．

11．如图，函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）两点，m，n分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，且m＜n．

（Ⅰ）求m，n的值以及函数的解析式；

（Ⅱ）设抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，连接AB，BC，BD，CD．求证：△BCD∽△OBA；

（Ⅲ）对于（Ⅰ）中所求的函数y＝﹣x2+bx+c，

（1）当0≤x≤3时，求函数y的最大值和最小值；

（2）设函数y在t≤x≤t+1内的最大值为p，最小值为q，若p﹣q＝3，求t的值．

【解析】（I）∵m，n分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，且m＜n，

用因式分解法解方程：（x+1）（x﹣3）＝0，

∴x1＝﹣1，x2＝3，

∴m＝﹣1，n＝3，

∴A（﹣1，0），B（0，3），

把（﹣1，0），（0，3）代入得，，

解得，

∴函数解析式为y＝﹣x2+2x+3．

（ II）证明：令y＝﹣x2+2x+3＝0，即x2﹣2x﹣3＝0，

解得x1＝﹣1，x2＝3，

∴抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的交点为A（﹣1，0），C（3，0），

∴OA＝1，OC＝3，

∴对称轴为，顶点D（1，﹣1+2+3），即D（1，4），

∴，，，

∵CD2＝DB2+CB2，

∴△BCD是直角三角形，且∠DBC＝90°，

∴∠AOB＝∠DBC，

在Rt△AOB和Rt△DBC中，，，

∴，

∴△BCD∽△OBA；

（ III）抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝1，顶点为D（1，4），

（1）在0≤x≤3范围内，

当x＝1时，y最大值＝4；当x＝3时，y最小值＝0；

（2）①当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的左侧，当x＝t时取得最小值q＝﹣t2+2t+3，最大值p＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3，

令p﹣q＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3﹣（﹣t2+2t+3）＝3，即﹣2t+1＝3，解得t＝﹣1．

②当t+1＝1时，此时p＝4，q＝3，不合题意，舍去；

③当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线分别在对称轴的两侧，

此时p＝4，令p﹣q＝4﹣（﹣t2+2t+3）＝3，即t2﹣2t﹣2＝0解得：t1＝1+（舍），t2＝1﹣（舍）；

或者p﹣q＝4﹣[﹣（t+1）2+2（t+1）+3]＝3，即（不合题意，舍去）；

④当t＝1时，此时p＝4，q＝3，不合题意，舍去；

⑤当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的右侧，当x＝t时取得最大值p＝﹣t2+2t+3，最小值q＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3，

令p﹣q＝﹣t2+2t+3﹣[﹣（t+1）2+2（t+1）+3]＝3，解得t＝2．

综上，t＝﹣1或t＝2．

12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，以C为顶点作等腰直角三角形CMN．使∠CMN＝90°，连接BN，射线NM交BC于点D．

（1）如图1，若点A，M，N在一条直线上，

①求证：BN+CM＝AM；

②若AM＝4，BN＝，求BD的长；

（2）如图2，若AB＝4，CN＝2，将△CMN绕点C顺时针旋转一周，在旋转过程中射线NM交AB于点H，当三角形DBH是直角三角形时，请你直接写出CD的长．

【解析】证明：（1）①如图，过点C作CF⊥CN，交AN于点F，

∵△CMN是等腰直角三角形，

∴∠CNM＝45°，CM＝MN，

∵CF⊥CN，∠ACB＝90°，

∴∠FCN＝∠ACB，∠CFN＝∠CNF＝45°，

∴∠ACF＝∠BCN，CF＝CN，且AC＝BC，

∴△ACF≌△BCN（SAS），

∴AF＝BN，

∵CF＝CN，CM⊥MN，

∴MF＝MN＝CM，

∴AM＝AF+FM＝BN+CM

②∵AM＝4，BN＝，BN+CM＝AM，

∴CM＝MN＝，

∵△ACF≌△BCN，

∴∠CAF＝∠CBN，

∵∠CAF+∠ACF＝∠CFN＝45°，∠BCN+∠MCD＝∠MCN＝45°

∴∠CAF＝∠MCD，且∠CAF＝∠CBN，

∴∠MCD＝∠CBN

∴CM∥BN

∴△MCD∽△NBD，∠CMD＝∠BND＝90°

∴＝

∴MD＝ND

∵MD+ND＝MN＝

∴ND＝

在Rt△DNB中，BD＝＝

（2）若∠BDH＝90°，如图，此时点M与点D重合，

∵△CMN是等腰直角三角形，CN＝2

∴CM＝MN＝

∴CD＝，

若∠BHD＝90°，如图，

∵∠BHD＝90°，∠B＝45°，

∴∠BDH＝45°

∴∠CDN＝45°＝∠N

∴CD＝CN＝2．