苏科版九年级上册第1章 一元二次方程综合与测试习题

这是一份苏科版九年级上册第1章 一元二次方程综合与测试习题，共10页。试卷主要包含了下列配方正确的是，关于x的方程，若关于x的一元二次方程，已知关于x的一元二次方程等内容，欢迎下载使用。

2021-2022苏科版九年级数学上册第1章一元二次方程优生练习卷
一．选择题（共10小题）
1．下列配方正确的是（　　）
A．x2+2x+5＝（x+1）2+6 B．x2+3x＝（x+）2﹣
C．3x2+6x+1＝3（x+1）2﹣2 D．x2﹣
2．关于x的方程（a﹣3）﹣3x﹣2＝0是一元二次方程，则（　　）
A．a≠±3 B．a＝3 C．a＝﹣3 D．a＝±3
3．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（　　）
A．k≥0 B．k≥0且k≠1 C．k≥ D．k≥且k≠1
4．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣3x+m2﹣1＝0有一个根是0，则m的值为（　　）
A．±1 B．1 C．﹣1 D．1或0
5．若直角三角形的两边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则该直角三角形的面积是（　　）
A．6 B．12 C．12或 D．6或
6．某工厂2021年数字化改造总投入100万元，2023年总投入预计达到180万元，设年平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．100（1+x）＝180 B．100（1+2x）＝180
C．100（1+x+x2）＝180 D．100（1+x）2＝180
7．已知M＝3x2﹣x+3，N＝2x2+3x﹣1，则M、N的大小关系是（　　）
A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N
8．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则该三角形的周长为（　　）
A．12 B．14 C．12或14 D．24
9．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，实数a、b、c满足4a﹣2b+c＝0，则下列说法正确的是（　　）
A．方程有两个实数根 B．方程有两个不相等的实数根
C．方程没有实数根 D．方程的根的情况无法确定

10．已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，则m的值是（　　）
A．34 B．30 C．30或34 D．30或36
11．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，F是AB边上的中点，点D、B分别在AC、BC边上运动，且保持AD＝CE，连接DE、DF、EF，则△CDE面积的最大值为　 　．

12．方程x2+mx﹣1＝0的两根为x1，x2，且，则m＝　 　．
13．若方程x2+mx+1＝0和x2+x+m＝0有公共根，则常数m的值是　 　．
14．若（a2+b2）2﹣3（a2+b2）﹣4＝0，则代数式a2+b2的值为　 　
15．已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，某△ABC的边长恰好都是这个方程的根，则△ABC的周长为　 　．
16．已知关于x的方程m（x+a）2+n＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，则关于x的方程m（x+a﹣2）2+n＝0的解是　 　．
17．已知x1、x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个实根．则x12+3x2+1的值是　 　．
18．已知x，y均为实数，且满足关系式x2﹣2x﹣6＝0，y2﹣2y﹣6＝0，则＝　 　．
19．选择适当方法解一元二次方程：
（1）（x﹣5）2﹣36＝0；
（2）2x2+4x﹣5＝0．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+4）x+2m+4＝0
（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；
（2）若该方程只有一个小于4的根，求m的取值范围；
（3）若x1，x2为方程的两个根，且n＝x12+x22﹣4，判断动点P（m，n）所形成的数图象是否经过点A（﹣5，9），并说明理由．
21．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+3）x+3＝0（m≠0）．
（1）求证：不论m为何值，方程总有实数根；
（2）当m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根？
22．某玩具销售商试销某一品种的玩具（出厂价为每个30元），以每个40元销售时，平均每月可销售100个，现为了扩大销售，销售商决定降价销售，在原来1月份平均销售量的基础上，经2月份的试场调查，3月份调整价格后，月销售额达到5760元，已知该玩具价格每个下降1元，月销售量将上升10个．
（1）求1月份到3月份销售额的月平均增长率．
（2）求三月份时该玩具每个的销售价格．
23．某租赁公司拥有汽车100辆．据统计，每辆车的月租金为4000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加100元，未租出的车将增加1辆，租出的车每辆每月的维护费为500元，未租出的车辆每月只需维护费100元．
（1）当每辆车的月租金为4800元时，能租出多少辆？并计算此时租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）是多少万元？
（2）规定每辆车月租金不能超过7200元，当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到40.4万元？
24．某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．
（1）求A社区居民人口至少有多少万人？
（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值．

参考答案
1．解：A选项，（x2+2x+1）+4＝（x+1）2+4；故A不符合题意；
B选项，（x2+2×x+（）2）﹣（）2＝（x+）2﹣（）2，故B不符合题意；
C选项，3x2+6x+1＝3（x2+2x+1）﹣2＝3（x+1）2﹣2，故C符合题意；
D选项，x2﹣x+＝[x2﹣2×x+（）2]﹣（）2+＝（x﹣）2﹣，故D不符合题意；
故选：C．
2．解：∵关于x的方程（a﹣3）﹣3x﹣2＝0是一元二次方程，
∴a2﹣7＝2且a﹣3≠0，
解得：a＝﹣3，
故选：C．
3．解：根据题意得k﹣1≠0且△＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）×（k﹣3）≥0，
解得k≥且k≠1．
故选：D．
4．解：当x＝0时，m2﹣1＝0，
解得m＝±1，
因为m﹣1≠0，m≠1，
所以m＝﹣1．
故选：C．
5．解：∵x2﹣7x+12＝0，
∴x＝3或x＝4．
①当长是4的边是直角边时，该直角三角形的面积是×3×4＝6；
②当长是4的边是斜边时，第三边是＝，该直角三角形的面积是×3×＝．
故选：D．
6．解：设年平均增长率为x，则2022的数字化改造总投入为：100（1+x）万元，2023的数字化改造总投入为：100（1+x）2万元，那么可得方程：100（1+x）2＝180．
故选：D．
7．解：M＝3x2﹣x+3，N＝2x2+3x﹣1，
∵M﹣N＝（3x2﹣x+3）﹣（2x2+3x﹣1）＝3x2﹣x+3﹣2x2﹣3x+1＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2≥0，
∴M≥N．
故选：A．
8．解：方程x2﹣12x+35＝0，
分解因式得：（x﹣5）（x﹣7）＝0，
可得x﹣5＝0或x﹣7＝0，
解得：x＝5或x＝7，
∵三角形第三边的长是方程x2﹣12x+35＝0的根，
∴第三边的长为5或7，
当第三边长为5时，周长为3+4+5＝12；
当第三边长为7时，3+4＝7，不能构成三角形，舍去，
综上，该三角形的周长为12．
故选：A．
9．解：当把x＝﹣2代入方程ax2+bx+c＝0能得出4a﹣2b+c＝0，
即方程一定有一个根为x＝﹣2，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，
故选：A．
10．解：当a＝4时，b＜8，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴4+b＝12，
∴b＝8不符合；
当b＝4时，a＜8，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴4+a＝12，
∴a＝8不符合；
当a＝b时，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴12＝2a＝2b，
∴a＝b＝6，
∴m+2＝36，
∴m＝34；
故选：A．
11．解：设AD＝x，则CE＝AD＝x，CD＝8﹣x，
∵∠C＝90°，
∴S△CDE＝＝＝﹣（x2﹣8x+16﹣16）＝﹣（x﹣4）2+8，
∵﹣＜0，
∴当x＝4，即AD＝4时，△CDE面积有最大值是8，
故答案为：8．
12．解：∵方程x2+mx﹣1＝0的两根为x1，x2，
∴△＝m2﹣4×1×（﹣1）≥0，
m2+4＞0，
由题意得：x1•x2＝﹣1；x1+x2＝﹣m，
∵，
∴＝﹣3，
＝﹣3，m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
13．解：设方程x2+mx+1＝0和x2+x+m＝0的公共根为t，
则t2+mt+1＝0①，
t2+t+m＝0②，
①﹣②得（m﹣1）t＝m﹣1，
如果m＝1，那么两个方程均为x2+x+1＝0，△＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，不符合题意；
如果m≠1，那么t＝1，
把t＝1代入①，得1+m+1＝0，解得m＝﹣2．
故常数m的值为﹣2．
故答案为：﹣2．
14．解：设t＝a2+b2，
则原方程为t2﹣3t﹣4＝0，
解得t1＝4，t2＝﹣1，
∵a2+b2≥0，
∴t＝4，
∴a2+b2＝4，
故答案为：4．
15．解：因为2是方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，
所以4﹣4m+3m＝0，
所以m＝4．
当m＝4时，原方程为：x2﹣8m+12＝0，
所以（x﹣2）（x﹣6）＝0，
所以x1＝2，x2＝6．
当△ABC的边长分别是2、2、6时，
由于2+2＜6，构不成三角形；
当△ABC的边长分别是2、6、6时，
能构不成三角形，此时三角形的周长为2+6+6＝14．
当△ABC的边长分别是2、2、2时，
此时三角形的周长为2+2+2＝6．当△ABC的边长分别是6、6、6时，
此时三角形的周长为6+6+6＝18．
故答案为：14或6或18．
16．解：∵关于x的方程m（x+a）2+n＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，
∴方程m（x+a﹣2）2+n＝0可变形为m[（x﹣2）+a]2+n＝0，
∵此方程中x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1，
解得x1＝﹣1或x2＝3．
故答案为：x1＝﹣1，x2＝3．
17．解：∵x1、x2是方程x2﹣3x+1＝0的两个实根，
∴x1+x2＝3，x1•x2＝1，x12﹣3x1+1＝0，
∴x12＝3x1﹣1，
∴x12+3x2+1＝3x1﹣1+3x2+1
＝3（x1+x2）
＝3×3
＝9，
故答案为：9．
18．解：当x≠y时，
∵x、y满足关系式x2﹣2x﹣6＝0，y2﹣2y﹣6＝0，
∴x、y是z2﹣2z﹣6＝0的两根，
∴x+y＝2，xy＝﹣6，
∴＝＝＝﹣．
当x，y的值相等时，原式＝2．
故答案为：﹣或2．
19．解：（1）原方程化为：（x﹣5）2＝62．
∴x﹣5＝±＝±6．
∴x1＝﹣1或x2＝11．
（2）∵a＝2，b＝4，c＝﹣5．
△＝42﹣4×2×（﹣5）＝56．
由求根公式x＝得：
x＝．
∴x1＝或x2＝．
20．（1）证明：∵△＝[﹣（m+4）]2﹣4（2m+4）＝m2≥0，
∴该一元二次方程总有两个实数根；

（2）解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（m+4）x+2m+4＝0
∴a＝1，b＝﹣（m+4），c＝2m+4
∴由一元二次方程的求根公式得：x＝＝
∴x1＝m+2，x2＝2
∵该方程只有一个小于4的根
∴m+2≥4
∴m≥2；
（3）由韦达定理得：x1+x2＝m+4，x1x2＝2m+4
∴n＝x12+x22﹣4
＝﹣2x1x2﹣4
＝（m+4）2﹣2（2m+4）﹣4
＝m2+4m+4
∴动点P（m，n）可表示为（m，m2+4m+4）
∴当m＝﹣5时，m2+4m+4＝25﹣20+4＝9
∴动点P（m，n）所形成的数图象经过点A（﹣5，9）．
21．解：（1）∵m≠0，
△＝[﹣（m+3）]2﹣4m×3
＝m2﹣6m+9
＝（m﹣3）2，
∵（m﹣3）2≥0
即△≥0，
∴不论m为何值，方程总有实数根．
（2）方程mx2﹣（m+3）x+3＝0（m≠0）可变形为：
（mx﹣3）（x﹣1）＝0
x1＝，x2＝1，
∵方程有两个不相等的正整数根，
∴m＝1．
22．解：（1）设1月份到3月份销售额的月平均增长率为x，由题意得：
40×100（1+x）2＝5760
∴（1+x）2＝1.44
∴1+x＝±1.2
∴x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）
∴1月份到3月份销售额的月平均增长率为20%．
（2）设三月份时该玩具的销售价格在每个40元销售的基础上下降y元，由题意得：
（40﹣y）（100+10y）＝5760
∴y2﹣30y+176＝0
∴（y﹣8）（y﹣22）＝0
∴y1＝8，y2＝22
当y＝22时，3月份该玩具的销售价格为：40﹣22＝18＜30，不合题意，舍去
∴y＝8，3月份该玩具的销售价格为：40﹣8＝32元
∴3月份该玩具的销售价格为32元．
23．解：（1）100﹣＝92（辆），
（4800﹣500）×92﹣100×（100﹣92）＝394800（元），
394800元＝39.48万元．
答：当每辆车的月租金为4800元时，能租出92辆，此时租赁公司的月收益是39.48万元．
（2）40.4万元＝404000元
设上涨x个100元，由题意得：
（4000+100x﹣500）（100﹣x）﹣100x＝404000
整理得：x2﹣64x+540＝0
解得：x1＝54，x2＝10
∵规定每辆车月租金不能超过7200元，
∴取x＝10，则4000+10×100＝5000（元）
答：每辆车的月租金定为5000元时，租赁公司的月收益可达到40.4万元
24．解：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.5﹣x）万人，
依题意得：7.5﹣x≤2x，
解得x≥2.5．
即A社区居民人口至少有2.5万人；
（2）依题意得：1.2（1+m%）2+1×（1+m%）×（1+2m%）＝7.5×76%
设m%＝a，方程可化为：
1.2（1+a）2+（1+a）（1+2a）＝5.7
化简得：32a2+54a﹣35＝0
解得a＝0.5或a＝﹣（舍）
∴m＝50
答：m的值为50