2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：8.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图

这是一份2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：8.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图，共8页。学案主要包含了知识重温，小题热身等内容，欢迎下载使用。


【知识重温】
一、必记4个知识点
1．空间几何体的结构特征
(2)旋转体的结构特征：
2.空间几何体的三视图
(1)三视图的形成与名称：
(ⅰ)形成：空间几何体的三视图是用平行投影得到的，在这种投影之下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的⑪________和⑫________是完全相同的．
(ⅱ)名称：三视图包括⑬______、⑭______、⑮________.
(2)三视图的画法：
(ⅰ)在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成⑯______.
(ⅱ)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的⑰______方、⑱______方、⑲______方观察几何体画出的轮廓线．
3．空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：
(1)画几何体的底面：
在已知图形中取互相垂直的x轴，y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝⑳________，已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度eq \(○,\s\up1(21))______，平行于y轴的线段，长度eq \(○,\s\up1(22))______.
(2)画几何体的高：
在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．
4．正棱柱、正棱锥的结构特征
(1)正棱柱：侧棱eq \(○,\s\up1(23))________于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是eq \(○,\s\up1(24))________的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是eq \(○,\s\up1(25))________，侧棱eq \(○,\s\up1(26))________于底面，侧面是矩形．
(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．
二、必明3个易误点
1．台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点．
2．空间几何体不同放置时其三视图不一定相同．
3．对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易忽视实虚线的画法．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( )
(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( )
(3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分．( )
(4)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱．( )
(5)上下底面是两个平行的圆面的旋转体是圆台．( )
二、教材改编
2．如图，右边长方体中由左边的平面图形围成的是( )
3．下面结论错误的是( )
A．三角形的直观图是三角形
B．平行四边形的直观图是平行四边形
C．正方形的直观图是正方形
D．菱形的直观图是平行四边形
三、易错易混
4．如图，长方体ABCD－A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，剩下的几何体是( )
A．棱台 B．四棱柱
C．五棱柱 D．六棱柱
5．在直观图(如图所示)中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO为______，面积为______cm2.

四、走进高考
6．[2020·全国卷Ⅱ]如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为( )
A．E B．F C．G D．H

eq \x(考点一) 空间几何体的结构特征[自主练透型]
1．下列结论正确的是( )
A．侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
B．六条棱长均相等的四面体是正四面体
C．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台
2．给出下列几个命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
3．[2021·青岛模拟]以下三个命题：
①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；
③一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
其中正确命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3

悟·技法
空间几何体结构特征的解题策略
(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．
(2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.
考点二 空间几何体的直观图[互动讲练型]
[例1] 有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．
悟·技法
[变式练]——(着眼于举一反三)
1．已知正三角形ABC的边长为2，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为________．




考点三 空间几何体的三视图[分层深化型]
考向1：已知几何体识别三视图
[例2]
[2018·全国卷Ⅲ]中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )
考向2：已知三视图还原几何体
[例3] [2018·全国卷Ⅰ]某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．
圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为( )

A．2eq \r(17) B．2eq \r(5) C．3 D．2
考向3：已知三视图中的部分视图，判断其他视图
[例4] 把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，形成的三棱锥C－ABD的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(2),4) D.eq \f(1,4)
悟·技法
1.根据几何体确认三视图的技巧
由实物图画三视图或判断选择三视图，按照“正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽”的特点确认．
2．根据三视图还原几何体的技巧策略
(1)对柱、锥、台、球的三视图要熟悉．
(2)明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图还原为直观图．
(3)遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则．
[提醒] 对于简单组合体的三视图，首先要确定正视、侧视、俯视的方向，其次要注意组合体由哪些几何体组成，弄清它们的组成方式，特别应注意它们的交线的位置，区分好实线和虚线的不同.
[变式练]——(着眼于举一反三)
2．[2021·贵州七校联考]如图，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的正视图、侧视图、俯视图分别是(用①②③④⑤⑥代表图形)( )

A．①②⑥ B．①②③ C．④⑤⑥ D．③④⑤
3．[2021·山西省八校高三联考]已知某几何体的三视图如图所示，其中侧视图是一个边长为2的正三角形，则该几何体中最长棱的长度为( )
A．2 B．3eq \r(2) C．3 D．2eq \r(2)
第八章 立体几何
第一节 空间几何体的结构及其三视图和直观图
【知识重温】
①平行且相等 ②全等 ③多边形 ④公共点 ⑤平行于底面 ⑥相似 ⑦任一边 ⑧任一直角边 ⑨垂直于底边的腰 ⑩直径 ⑪形状 ⑫大小 ⑬正视图 ⑭侧视图 ⑮俯视图 ⑯虚线 ⑰正前 ⑱正左 ⑲正上 ⑳45°(或135°) eq \(○,\s\up1(21))不变 eq \(○,\s\up1(22))减半 eq \(○,\s\up1(23))垂直 eq \(○,\s\up1(24))正多边形 eq \(○,\s\up1(25))正多边形 eq \(○,\s\up1(26))垂直
【小题热身】
1．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
2．解析：折成的长方体有两组对面是黑色的，一组对面是白色的．
答案：D
3．解析：由斜二测直观图的画法法则可知，A、B、D正确，C不正确，因为正方形的直观图是平行四边形．
答案：C
4．解析：由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱，故选C.
答案：C
5．解析：由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观图的原图，即在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO是一个长为4 cm，宽为2 cm的矩形，所以四边形ABCO的面积为8 cm2.
答案：矩形 8
6．解析：根据三视图可得直观图如图所示，图中的点U在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，所以该端点在侧视图中对应的点为E.故选A.
答案：A
课堂考点突破
考点一
1．解析：底面是等边三角形，且各侧面三角形全等，这样的三棱锥才是正三棱锥，A错；斜四棱柱也有可能两个侧面是矩形，所以C错；截面平行于底面时，底面与截面之间的部分才叫圆台，D错．故选B.
答案：B
2．解析：①不一定，只有这两点的连线平行于旋转轴时才是母线；②正确；③错误：棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．故选B.
答案：B
3．解析：由圆台的定义可知①错误，②正确．对于命题③，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，③错误．故选B.
答案：B
考点二
例1
解析：如图，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为E.
在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝eq \f(\r(2),2).
而四边形AECD为矩形，AD＝1，
∴EC＝AD＝1，∴BC＝BE＋EC＝eq \f(\r(2),2)＋1.
由此可还原原图形如图．
在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，
B′C′＝eq \f(\r(2),2)＋1，
且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，
∴这块菜地的面积S＝eq \f(1,2)(A′D′＋B′C′)·A′B′＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋1＋\f(\r(2),2)))×2＝2＋eq \f(\r(2),2).
答案：2＋eq \f(\r(2),2)
变式练
1．解析：如图，图①，图②所示的分别是实际图形和直观图．
从图②可知，A′B′＝AB＝2，
O′C′＝eq \f(1,2)OC＝eq \f(\r(3),2)，
C′D′＝O′C′sin 45°＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(6),4).
所以S△A′B′C′＝eq \f(1,2)A′B′·C′D′＝eq \f(1,2)×2×eq \f(\r(6),4)＝eq \f(\r(6),4).
答案：eq \f(\r(6),4)
考点三
例2 解析：由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.
答案：A
例3 解析：先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点M，N的位置如图①所示．
①
②
圆柱的侧面展开图及M，N的位置(N为OP的四等分点)如图②所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径．
ON＝eq \f(1,4)×16＝4，OM＝2，
∴ |MN|＝eq \r(OM2＋ON2)＝eq \r(22＋42)＝2eq \r(5).
故选B.
答案：B
例4 解析：由三棱锥C－ABD的正视图、俯视图得三棱锥C－ABD的侧视图为直角边长是eq \f(\r(2),2)的等腰直角三角形，其形状如图所示，所以三棱锥C－ABD的侧视图的面积为eq \f(1,4).故选D.
答案：D
变式练
2．解析：正视图是边长为3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此正视图是①；侧视图是边长为5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是②；俯视图是边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是③.故选B.
答案：B
3．解析：由三视图还原该几何体的直观图，为如图所示的四棱锥P－ABCD，其中该四棱锥的底面是一个上底为1、下底为2、高为2的直角梯形，平面PBC⊥底面ABCD，△PBC是边长为2的正三角形，易知AB＝BC＝PB＝PC＝2，CD＝1，AD＝PD＝eq \r(5)，PA＝2eq \r(2)，所以最长棱的长度为2eq \r(2).故选D.
答案：D
几何体
旋转图形
旋转轴
圆柱
矩形
⑦__________所在的直线
圆锥
直角三角形
⑧__________所在的直线
圆台
直角梯形
⑨__________所在的直线
球
半圆
⑩__________所在的直线