2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：7.6 直接证明与间接证明

这是一份2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：7.6 直接证明与间接证明，共5页。学案主要包含了知识重温，小题热身等内容，欢迎下载使用。


【知识重温】
一、必记3个知识点
1．综合法
一般地，利用①______________________，经过一系列的②________，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：
eq \x(P⇒Q1)―→eq \x(Q1⇒Q2)―→eq \x(Q2⇒Q3)―→…―→eq \x(Qn⇒Q)
2．分析法
一般地，从要③________出发，逐步寻求使它成立的④________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明的方法叫做分析法．
用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：
eq \x(Q⇐P1)―→eq \x(P1⇐P2)―→eq \x(P2⇐P3)―→…―→eq \x(得到一个明显成立的条件)
3．反证法
一般地，假设⑤____________，经过正确的推理，最后得出⑥________，因此说明⑦________，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．
二、必明2个易误点
1．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即要证……”“就要证……”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．
2．利用反证法证明数学问题时，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)分析法必须是从结论推向已知．( )
(2)分析法的推理过程要比综合法优越．( )
(3)综合法的过程是演绎推理．( )
(4)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是演绎推理．( )
(5)反证法的实质是否定结论导出矛盾．( )
二、教材改编
2．应用反证法推出矛盾的推导过程中可以把下列哪些作为条件使用( )
①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论．
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④
3.eq \r(6)－2eq \r(2)与eq \r(5)－eq \r(7)的大小关系是________．
三、易错易混
4．以下命题中正确的是( )
A．综合法是执果索因的逆推法
B．综合法是由因导果的顺推法
C．综合法是因果互推的两头凑法
D．综合法就是举反例
5．用分析法证明：欲使①A>B，只需②CA．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
四、走进高考
6．[2017·北京卷]能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a＋b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．
eq \x(考点一) 综合法[自主练透型]
1．设a，b，c成等比数列，而x，y分别是a，b和b，c的等差中项，求证：eq \f(a,x)＋eq \f(c,y)＝2.
2．设a>0，b>0，a＋b＝1，求证：eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,ab)≥8.
悟·技法
考点二 分析法[自主练透型]
3．已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.
4．[易错题]已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.
求证：eq \f(1,a＋b)＋eq \f(1,b＋c)＝eq \f(3,a＋b＋c).
悟·技法
1.利用分析法证明问题的思路
分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证．
2．分析法证明问题的适用范围
当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法.
考点三 反证法[互动讲练型]
[例] 已知a、b、c、d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a、b、c、d中至少有一个是负数．
悟·技法
反证法证明问题的一般步骤
(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命题)成立．(否定结论)
(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾．(推导矛盾)
(3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．(命题成立)
[变式练]——(着眼于举一反三)
若x>0，y>0，且x＋y>2，求证：eq \f(1＋y,x)与eq \f(1＋x,y)中至少有一个小于2.
第六节 直接证明与间接证明
【知识重温】
①已知条件和某些数学定义、公理、定理等 ②推理论证 ③证明的结论 ④充分条件 ⑤原命题不成立 ⑥矛盾 ⑦假设错误
【小题热身】
1．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√
2．解析：根据反证法的定义，推导过程中，不能把原结论作为条件使用，其他都可以．
答案：C
3．解析：假设eq \r(6)－2eq \r(2)>eq \r(5)－eq \r(7)，由分析法可得，要证eq \r(6)－2eq \r(2)>eq \r(5)－eq \r(7)，只需证eq \r(6)＋eq \r(7)>eq \r(5)＋2eq \r(2)，即证13＋2eq \r(42)>13＋4eq \r(10)，即eq \r(42)>2eq \r(10).因为42>40，所以eq \r(6)－2eq \r(2)>eq \r(5)－eq \r(7)成立．
答案：eq \r(6)－2eq \r(2)>eq \r(5)－eq \r(7)
4．解析：综合法就是从已知条件(因)出发，利用已有知识进行证明结论(果)的方法．
答案：B
5．解析：∵②⇒①，∴②是①的充分条件．
答案：A
6．解析：只要取一组满足条件的整数即可．如－1，－2，－3；－3，－4，－6；－4，－7，－10等．
答案：－1，－2，－3(答案不唯一)
课堂考点突破
考点一
1．证明：由题知c＝eq \f(b2,a)，x＝eq \f(a＋b,2)，y＝eq \f(b＋c,2)，
则eq \f(a,x)＋eq \f(c,y)＝eq \f(a,\f(a＋b,2))＋eq \f(c,\f(b＋c,2))＝eq \f(2a,a＋b)＋eq \f(2c,b＋c)
＝eq \f(2a,a＋b)＋eq \f(2×\f(b2,a),b＋\f(b2,a))
＝eq \f(2a,a＋b)＋eq \f(2b,a＋b)＝2，
即eq \f(a,x)＋eq \f(c,y)＝2.
2．证明：因为a>0，b>0，a＋b＝1，
所以1＝a＋b≥2eq \r(ab).
所以eq \r(ab)≤eq \f(1,2)，所以eq \f(1,ab)≥4.
所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,ab)＝(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＋eq \f(1,ab)≥2 eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＋2＋4＝8.所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,ab)≥8.
考点二
3．证明：要证明2a3－b3≥2ab2－a2b成立，
只需证2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，
即2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，
即(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0.
∵a≥b>0，
∴a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0，
从而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立，
∴2a3－b3≥2ab2－a2b.
4．证明：要证eq \f(1,a＋b)＋eq \f(1,b＋c)＝eq \f(3,a＋b＋c)，
即证eq \f(a＋b＋c,a＋b)＋eq \f(a＋b＋c,b＋c)＝3，也就是eq \f(c,a＋b)＋eq \f(a,b＋c)＝1，
只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
需证c2＋a2＝ac＋b2，
又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，
由余弦定理，得
b2＝c2＋a2－2accs 60°，
即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．
于是原等式成立．
考点三
例 证明：假设a、b、c、d都是非负数，
因为a＋b＝c＋d＝1，
所以(a＋b)(c＋d)＝1.
又因为(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，
所以ac＋bd≤1.
这与已知ac＋bd>1矛盾，
所以a、b、c、d中至少有一个是负数．
变式练
证明：假设eq \f(1＋y,x)与eq \f(1＋x,y)都大于等于2，
即eq \f(1＋y,x)≥2，eq \f(1＋x,y)≥2.
因为x>0，y>0，
所以1＋y≥2x ①，1＋x≥2y ②.
①＋②得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2，这与已知条件x＋y>2矛盾，所以假设不成立，所以eq \f(1＋y,x)与eq \f(1＋x,y)中至少有一个小于2.