湘教版九年级上册第2章 一元二次方程综合与测试同步练习题

这是一份湘教版九年级上册第2章 一元二次方程综合与测试同步练习题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.一元二次方程 x2−2x+3=0 的二次项系数是（ ）
A.1 B.2 C.-2 D.3
2.关于x的一元二次方程 x2+ax-4=0 一个根是1，则a的值是（ ）
A.0 B.1 C.3 D.-3
3.用配方法将 2x2−4x−3=0 变形，结果是（ ）
A.2(x−1)2−4=0 B.2(x−1)2−52=0
C.(x−1)2−52=0 D.(x−1)2−5=0
4.若关于x的一元二次方程 x2−4x+k=0 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A.k≥4 B.k>4 C.k<4 且 k≠0 D.k<4
5.下列方程中有两个相等实数根的是（ ）
A.(x−1)2=0 B.(x−1)(x+1)=0
C.(x−1)2=4 D.x(x−1)=0
6.若x1、x2是方程x2-2x-3=0的两根，则x1+x2+x1x2的值是（ ）
A.1 B.-1 C.5 D.-5
7.参加一次绿色有机农产品交易会的每两家公司都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，参加这次交易会的公司共有（ ）
A.9家 B.10家 C.10家或9家 D.19家
8.定义：当关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 满足 4a−2b+c=0 时，称此方程为“合理”方程.若“合理”方程 mx2+nx+p=0 有两个相等的实数根，则下列等式正确的是（ ）
A. m=4n=4p B. m=n=4p C. m=4n=p D. 4m=n=p
9.某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系.每盆植入3株时，平均单株盈利5元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利为20元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加 x 株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（ ）
A. (x+3)(5−0.5x)=20 B. (x−3)(5+0.5x)=20
C. (x−3)(5−0.5x)=20 D. (x+3)(5+0.5x)=20
10.若m、n是一元二次方程x2＋3x﹣9＝0的两个根，则 m2+4m+n 的值是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 12
二、填空题
11..一元二次方程x2﹣3x＝0的解是 1 .
12..关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝ 1 .
13.已知关于x的一元二次方程mx2＋3x＋m2﹣2m＝0有一个根为0，则m＝________.
14.若m是方程 x2−3x+1=0 的一个根，则 2m2−6m+3 的值为________.
15.我国古代数学名著《算法统宗）有一道“荡秋干”的问题，“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴.良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离PA的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即 P'C=10 尺，秋千踏板离地的距离 P'B 就和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千的绳索长为________尺.
16.若一元二次方程 ax2−bx−2021=0 有一根为 x=−1 ，则 a+b= ________.
三、解答题
17.解方程：
（1）x2+4x=1 ； （2）3x2−7x+4=0 .
18.解方程：x（x﹣5）＝5﹣x ． 小滨的解答如下：
解：原方程可化简为x（x﹣5）＝﹣（x﹣5），
方程两边同时除以x﹣5，得x＝﹣1，
小滨的解答是否正确，如不正确，写出正确的解答过程．
19.若x1 ， x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，则x1+x2＝﹣ ba ，x1•x2＝ ca .现已知一元二次方程px2+2x+q＝0的两根分别为m，n.
（1）若m＝2，n＝﹣4，求p，q的值；
（2）若p＝3，q＝﹣1，求m+mn+n的值.
20.已知关于 x 的一元二次方程 x2+2mx+m2+m=0 有实数根.
（1）求 m 的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为 x1 、 x2 ，且 x12+x22=12 ，求 m 的值.
21.为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度.2019年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2021年底三年累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同.
（1）求每年市政府投资的增长率；
（2）若这两年内的建设成本不变，求到2021年底共建设了多少万平方米的廉租房？
22.为了丰富市民的文化生活，我市某景点开放夜游项目．为吸引游客组团来此夜游，特推出了如下门票收费标准：
标准一：如果人数不超过20人，门票价格为60元/人；
标准二：如果人数超过20人，每超过1人，门票价格降低2元，但门票价格不低于50元/人．
（1）当夜游人数为15人时，人均门票价格为________元；当夜游人数为25人时，人均门票价格为________元；
（2）若某单位支付门票费用共1232元，则该单位这次共有多少名员工去此景点夜游？
23.如图，利用一面墙(墙的长度不超过45m)，用80m长的篱笆围一个矩形场地．
（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750m2？
（2）能否使所围矩形场地的面积为810m2 ，为什么？
24..如图S2－2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20 cm ， BC＝15 cm.现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4 cm/s，点Q的速度是2 cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，求：
（1）.用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；
（2）.当t＝3秒时，这时，P、Q两点之间的距离是多少？
（3）.当t为多少秒时，S＝425S△ABC?

答案
一、选择题
1.解：由一元二次方程 x2−2x+3=0 可得二次项系数为1；
故答案为：A.
2.解：把 x=1 代入 H 可得：
1+a−4=0 ，解得： a=3 ；
故答案为：C.
3.解：二次项系数化1得 x2−2x−32=0 ，
加一次项系数一半的平方得 x2−2x+1−1−32=0 ，
整理得 (x−1)2−52=0 .
故答案为：C.
4.解：由关于x的一元二次方程 x2−4x+k=0 有两个不相等的实数根，可得：
Δ=b2−4ac=16−4k>0 ，
解得： k<4 ；
故答案为：D.
5.解：A、(x-1)2=0中x1=x2=1，故符合题意；
B、(x-1)(x+1)=0中x1=1，x2=-1，故不符合题意；
C、(x-1)2=4中x1=3，x2=-1，故不符合题意；
D、x(x-1)=0中x1=0，x2=1，故不符合题意；
故答案为：A.
6.解：∵x1、x2是方程x2-2x-3=0的两个根
∴x1+x2=- ba =2，x1x2= ca =-3
∴x1+x2+2x1x2=2-3=-1．
故答案为：B.
7.解：设有x家公司参加，依题意可得，
12x(x−1)=45 ，
整理得： x2−x−90=0 ，
解得： x1=10，x2=-9（舍去） .
答：共有10家公司参加商品交易会.
故答案为：B.
8.解：∵“合理”方程有两个相等的实数根
∴ 4m-2n+p=0 ①
Δ =n2-4mp=0 ②
则有 p=2n-4m代入②得：
n2-4m (2n-4m) =0
16m2-8mn=- n2
16m2-8mn+n2=-n2+n2
∴(4m-n)2=0
∴4m=n，代入①得
n-2n+p=0
∴n=p
∴ 4m=n=p
故答案为：D
9.解：设每盆应该多植x株，由题意得
(x+3)(5−0.5x)=20 ，
故答案为：A.
10.解：∵m、n是一元二次方程x2＋3x−9＝0的两个根，
∴m＋n＝−3，mn＝−9，
∵m是x2＋3x−9＝0的一个根，
∴m2＋3m−9＝0，
∴m2＋3m＝9，
∴m2＋4m＋n＝m2＋3m＋m＋n＝9＋（m＋n）＝9−3＝6.
故答案为：C.
二、填空题
11.解：x2﹣3x＝0，
x（x﹣3）＝0，
∴x1＝0，x2＝3.
故答案为：x1＝0，x2＝3.
12.解：∵关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝25﹣4m＝0，
解得：m＝ 254 .
故答案为： 254 .
13.解：将x=0代入得：m2-2m=0，
解得：m1=0，m2=2.
∵方程为一元二次方程，
∴m≠0.
故答案为：2.

14.解：∵m是方程 x2−3x+1=0 的一个根，
∴ m2−3m+1=0 ，即 m2−3m=−1 ，
∴ 2m2−6m+3=2(m2−3m)+3=−2+3=1 ；
故答案为1.
15.解：设秋千的绳索长为x尺，
由题意知：OC=x-（5-1）=（x-4）尺，CP′=10尺，OP′=x尺，
在Rt△OCP′中，由勾股定理得：
（x-4）²+10²=x²，
解得：x=14.5，
故答案为：14.5.
16.∵一元二次方程 ax2−bx−2021=0 ，有一根为 x=−1 ，
∴ a+b−2021=0 ，
∴ a+b=2021 .
故答案为：2021.
三、解答题
17. （1）解： x2+4x=1 ，即 x2+4x−1=0
∴a=1，b=4，c=-1，△=b2-4ac=16+4=20，
∴ x=−b±b2−4ac2a=−4±252=−2±5 ，
∴ x1=−2+5 ， x2=−2−5 .
（2）解： 3x2−7x+4=0
分解因式得： (x−1)(3x−4)=0
可得 x−1=0 或 3x−4=0
∴ x1=1 ， x2=43
18. 解:不正确.
正确的解答过程如下:x (x-5)=-(x-5),
x (x-5)+（x-5)=0,
(x-5) (x+1)=0,
则x-5=0或x+1=0.
解得x=5，x=-1.
19. （1）解：根据题意得2﹣4＝﹣ 2p ，2×（﹣4）＝ qp ，
所以p＝1，q＝﹣8
（2）解：根据m+n＝﹣ 2p ＝﹣ 23 ，mn＝﹣ 13 ，
所以m+mn+n＝m+n+mn＝﹣ 23 ﹣ 13 ＝﹣1.
20.（1）解：由题意可得： Δ=(2m)2−4(m2+m)≥0
解得： m≤0
即实数m的取值范围是 m≤0
（2）解：由 x12+x22=12 可得： (x1+x2)2−2x1x2=12
∵ x1+x2=−2m ； x1x2=m2+m
∴ (−2m)2−2(m2+m)=12
解得： m=3 或 m=−2
∵ m≤0
∴ m=−2
即 m 的值为-2
21.（1）解：设市政府投资的年平均增长率为x，
根据题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5，
整理，得：x2+3x − 1.75=0，
解得x1=0.5，x2= − 3.5（舍去），
答：每年市政府投资的增长率为50%
（2）解：到2021年底共建廉租房面积=9.5÷ 28 =38（万平方米）.
22. （1）60；50
（2）解：假设共有x名员工去此景点夜游
∵ 20×60=1200<1232 ，
则 x>20 ，
① 当20∴ [60−2(x−20)]·x=1232 ，
解得 x=22或x=28(舍去) .
② 当x>25时 ，
50x=1232 ，
解得 x= ，不为整数，舍去.
∴综上所述,共有22名员工去夜游.
（1）由标准一得，当夜游人数为15人时，人均门票价格为60元；
由标准二得60-（25-20）×2=50（元），
故答案为：60,50.
23. （1）解：设所围矩形ABCD的长AB为x米，则宽AD为 12(80−x) 米．
依题意，得 x⋅12(80−x)=750 ，即 x2−80x+1500=0 .
解此方程，得x1=30，x2=50.
∵墙的长度不超过45m，∴x2=50不合题意，应舍去．
当x=30时， 12(80−x)=12×(80−30)=25 .
答：当所围矩形的长为30m、宽为25m时，能使矩形的面积为750m2 ．
（2）解：不能．理由如下：
由 x⋅12(80−x)=810 得 x2−80x+1620=0 ．
∵ Δ=b2−4ac=(−80)2−4×1×1620=−80<0 ，
∴方程 x2−80x+1620=0 没有实数根．
∴不能使所围矩形场地的面积为810m2 ．
24. （1）解：S＝20t－4t2
（2）解：当t＝3时，CP＝20－4×3＝8(cm)，CQ＝2×3＝6(cm)，∴PQ＝10(cm)
（3）解：列方程20t－4t2＝××15×20，解得t＝2或t＝3.
∴t为2秒或3秒时S＝S△ABC.