数学选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.4 空间向量的应用习题课件ppt

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熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的垂直关系.
XUE XI MU BIAO
知识点一　线线垂直的向量表示
设u1，u2分别是直线l1,l2的方向向量，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.
设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn.
知识点二　线面垂直的向量表示
知识点三　面面垂直的向量表示
设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.
YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN
1.若直线l的方向向量a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则A.l∥α B.l⊥αC.l⊂α D.l与α斜交
解析　∵n＝－2a，∴a∥n，即l⊥α.
2.已知两不重合直线l1和l2的方向向量分别为a＝(3λ＋1,0,2λ)，b＝(1，λ－1，λ)，若l1⊥l2，则λ的值为
解析　由题意知，a⊥b，∴3λ＋1＋2λ2＝0，
3.(多选)下列命题中，正确的命题为A.若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥βB.若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1·n2＝0C.若n是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，若l与平面α垂直，则n∥aD.若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直
解析　A中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，可知BCD正确.
4.平面α与平面β垂直，平面α与平面β的法向量分别为u＝(－1,0,5)，v＝(t，5,1)，则t的值为________.
解析　∵平面α与平面β垂直，∴平面α的法向量u与平面β的法向量v垂直，∴u·v＝0，即－1×t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5.
例1　如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点.求证：EF⊥BC.
证明　由题意，以点B为坐标原点，在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.
证明　设AB的中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
例2　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E为PC的中点，EF⊥BP于点F.求证：PB⊥平面EFD.
证明　由题意得，DA，DC，DP两两垂直，所以以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图，设DC＝PD＝1，
即x＋y －z＝0. ①
所以x＝λ，y＝λ，z－1＝－λ. ②
因为PB⊥EF，又EF∩DE＝E，EF，DE⊂平面EFD.所以PB⊥平面EFD.
方法二　设n2＝(x2，y2，z2)为平面EFD的法向量，
用坐标法证明线面垂直的方法及步骤(1)利用线线垂直①将直线的方向向量用坐标表示.②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量.③ 判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直.(2)利用平面的法向量①将直线的方向向量用坐标表示.②求出平面的法向量.③判断直线的方向向量与平面的法向量平行.
跟踪训练2　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC.
证明　设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2).
设平面B1AC的法向量为n＝(x，y，z)，
∴EF⊥平面B1AC.
令x＝1得n＝(1,1，－1)，
例3　在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点.求证：平面BDE⊥平面ABCD.
证明　设AS＝AB＝1，建立如图所示的空间直角坐标系，
方法一　连接AC，交BD于点O，连接OE，
所以OE∥AS.又AS⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD.又OE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.
方法二　设平面BDE的法向量为n1＝(x，y，z).
令x＝1，可得平面BDE的一个法向量为n1＝(1,1,0).
因为n1·n2＝0，所以平面BDE⊥平面ABCD.
证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.(2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直.
跟踪训练3　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点.求证：平面AED⊥平面A1FD1；
证明　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2，0,2)，D1(0,0,2)，
设平面AED的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1).
令y1＝1，得n1＝(0,1，－2).同理，平面A1FD1的一个法向量为n2＝(0,2,1).∵n1·n2＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，∴n1⊥n2，∴平面AED⊥平面A1FD1.
1.若平面α，β的法向量分别为a＝(2，－1,0)，b＝(－1，－2，0)，则α与β的位置关系是A.平行 B.垂直C.相交但不垂直 D.无法确定
解析　a·b＝－2＋2＋0＝0，∴a⊥b，∴α⊥β.
2.已知平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k等于A.4 B.－4 C.5 D.－5
解析　∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0.∴k＝－5.
3.如图，在空间直角坐标系中，正方体棱长为2，点E是棱AB的中点，点F(0，y，z)是正方体的面AA1D1D上一点，且CF⊥B1E，则点F(0，y，z)满足方程A.y－z＝0B.2y－z－1＝0C.2y－z－2＝0D.z－1＝0
解析　E(1,0,0)，B1(2,0,2)，C(2,2,0)，
即2－2z＝0，即z＝1.
解析　以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
解析　如图，以A为坐标原点，平行于BC的直线为x轴，AC，AS所在直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，
1.知识清单：(1)线线垂直.(2)线面垂直.(3)面面垂直.2.方法归纳：转化法、法向量法.3.常见误区：直线的方向向量、平面的法向量的关系与线面间的垂直关系的对应易混.
KE TANG XIAO JIE
1.设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m等于A.－2 B.2C.10 D.6
解析　因为a⊥b，所以a·b＝0，即－2×3＋2×(－2)＋m＝0，解得m＝10.
2.若平面α，β的法向量分别为a＝(－1,2,4)，b＝(x，－1，－2)，且α⊥β，则x的值为
解析　因为α⊥β，所以它们的法向量也互相垂直，所以a·b＝(－1,2,4)·(x，－1，－2)＝0，解得x＝－10.
3.已知点A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，P(x，0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为A.(1,0，－2) B.(1,0,2) C.(－1,0,2) D.(2,0，－1)
得－x＋1－z＝0. ①
联立①②得x＝－1，z＝2，故点P的坐标为(－1,0,2).
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于A.BD B.ACC.A1D D.A1A
解析　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1.
5.(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OMA.和AC垂直B.和AA1垂直C.和MN垂直D.与AC，MN都不垂直
解析　以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2a，则D(0,0，0)，D1(0,0,2a)，M(0,0，a)，A(2a，0,0)，C(0,2a，0)，O(a，a，0)，N(0，a，2a).
∴OM⊥AC，OM⊥MN.OM和AA1显然不垂直，故选AC.
6.已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z＝________.
解析　由题意得u⊥v，∴u·v＝3＋6＋z＝0，∴z＝－9.
7.在空间直角坐标系中，已知直角三角形ABC的三个顶点为A(－3，－2,1)，B(－1，－1，－1)，C(－5，x，0)，则x的值为________.
解析　∵A(－3，－2,1)，B(－1，－1，－1)，C(－5，x，0)，
综上，x的值为0或9.
(－2,4,1)或(2，－4，－1)
设n＝(x，y，z)，∵n与平面ABC垂直，
解得y＝4或y＝－4.当y＝4时，x＝－2，z＝1；当y＝－4时，x＝2，z＝－1.∴n的坐标为(－2,4,1)或(2，－4，－1).
9.如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC＝1，设P为AC的中点，Q在AB上且AB＝3AQ，证明：PQ⊥OA.
证明　如图，连接OP，OQ，PQ，取O为坐标原点，以OA，OC所在直线为x轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz(如图所示).
10.如图，在四棱锥E－ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝2，∠BCE＝120°，
求证：平面ADE⊥平面ABE.
证明　取BE的中点O，连接OC，又AB⊥平面BCE，所以以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz(如图所示).
设平面ADE的法向量为n＝(a，b，c)，
又AB⊥平面BCE，OC⊂平面BCE，所以AB⊥OC.因为BE⊥OC，AB∩BE＝B，AB，BE⊂平面ABE，所以OC⊥平面ABE.所以平面ABE的法向量可取为m＝(1,0,0).
所以平面ADE⊥平面ABE.
A.EF至多与A1D，AC中的一个垂直B.EF⊥A1D，EF⊥ACC.EF与BD1相交D.EF与BD1异面
解析　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，
从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC，故选B.
12.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的比值为
解析　以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设正方形边长为1，PA＝a，
设点F的坐标为(0，y，0)，
所以F为AD的中点，所以AF∶FD＝1∶1.
13.如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F分别为PB，AD的中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是________.
解析　以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，
取y＝1，则z＝1，平面PBC的法向量n＝(0,1,1)，
14.如图，已知点E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E，C1F上的点，则与平面ABCD垂直的直线MN有________条.
解析　假设存在满足条件的直线MN，建立空间直角坐标系如图所示，不妨设正方体的棱长为2，则D1(2,0,2)，E(1,2,0)，
所以(x－2，y，z－2)＝m(－1,2，－2)，x＝2－m，y＝2m，z＝2－2m，所以M(2－m，2m，2－2m)，
即存在满足条件的直线MN，有且只有一条.
15.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是
A.当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BDB.当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥平面A1BDC.在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BDD.不存在DQ与平面A1BD垂直
解析　以A1为坐标原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则由已知得A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)，
取z＝－2，则x＝2，y＝1，所以平面A1BD的一个法向量为n＝(2,1，－2).
但此方程关于λ无解.故不存在DQ与平面A1BD垂直.
16.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点.(1)求证：A1E⊥BD；
证明　以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设正方体棱长为a，则A(a，0,0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a).设E(0，a，b)(0≤b≤a)，
(2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置.