人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.4 空间向量的应用第3课时学案及答案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.4 空间向量的应用第3课时学案及答案，共18页。学案主要包含了证明线线垂直问题，证明线面垂直问题，证明面面垂直问题等内容，欢迎下载使用。

第3课时　空间中直线、平面的垂直
学习目标　熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的垂直关系．

知识点一　线线垂直的向量表示
设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则
l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.
知识点二　线面垂直的向量表示
设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn.
知识点三　面面垂直的向量表示
设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则
α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.

1．若直线l的方向向量a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则(　　)
A．l∥α B．l⊥α
C．l⊂α D．l与α斜交
答案　B
解析　∵n＝－2a，∴a∥n，即l⊥α.
2．已知两不重合直线l1和l2的方向向量分别为a＝(3λ＋1,0,2λ)，b＝(1，λ－1，λ)，若l1⊥l2，则λ的值为(　　)
A．1或－ B．1或
C．－1或 D．－1或－
答案　D
解析　由题意知，a⊥b，
∴3λ＋1＋2λ2＝0，
∴λ＝－1或－.
3．(多选)下列命题中，正确的命题为(　　)
A．若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β
B．若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1·n2＝0
C．若n是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，若l与平面α垂直，则n∥a
D．若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直
答案　BCD
解析　A中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，可知BCD正确．
4．平面α与平面β垂直，平面α与平面β的法向量分别为u＝(－1,0,5)，v＝(t，5,1)，则t的值为________．
答案　5
解析　∵平面α与平面β垂直，
∴平面α的法向量u与平面β的法向量v垂直，
∴u·v＝0，即－1×t＋0×5＋5×1＝0，
解得t＝5.

一、证明线线垂直问题
例1　如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点．求证：EF⊥BC.

证明　由题意，以点B为坐标原点，在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，
在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

易得B(0,0,0)，A(0，－1，)，D(，－1,0)，C(0,2,0)，
因而E，F，
所以＝，＝(0,2,0)，
因此·＝0.从而⊥，所以EF⊥BC.
反思感悟　证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．
跟踪训练1　已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN.

证明　设AB的中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.

由已知得A，B，C，
N，B1，
∵M为BC的中点，
∴M.
∴＝，＝(1,0,1)，
∴·＝－＋0＋＝0.
∴⊥，∴AB1⊥MN.
二、证明线面垂直问题
例2　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC， E为PC的中点，EF⊥BP于点F.求证：PB⊥平面EFD.

证明　由题意得，DA，DC，DP两两垂直，
所以以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图，

设DC＝PD＝1，则P(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，B(1,1,0)，E.
所以＝(1,1，－1)，＝，＝，设F(x，y，z)，
则＝(x，y，z－1)，＝.
因为⊥，所以x＋－＝0，
即x＋y －z＝0.①
又因为∥，可设＝λ(0≤λ≤1)，
所以x＝λ，y＝λ，z－1＝－λ.②
由①②可知，x＝，y＝，z＝，
所以＝.
方法一　因为·＝(1,1，－1) ·＝0＋－＝0，
所以⊥ ，所以PB⊥DE，
因为PB⊥EF，又EF∩DE＝E，EF，DE⊂平面EFD.
所以PB⊥平面EFD.
方法二　设n2＝(x2，y2，z2)为平面EFD的法向量，
则有
即
所以取z2＝1，则n2＝(－1，－1,1)．
所以∥n2，所以PB⊥平面EFD.
反思感悟　用坐标法证明线面垂直的方法及步骤
(1)利用线线垂直
①将直线的方向向量用坐标表示．
②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量．
③ 判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直．
(2)利用平面的法向量
①将直线的方向向量用坐标表示．
②求出平面的法向量．
③判断直线的方向向量与平面的法向量平行．
跟踪训练2　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC.

证明　设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2)．

∴＝(1,1,2)－(2,2,1)
＝(－1，－1,1)．
＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)，
＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)．
设平面B1AC的法向量为n＝(x，y，z)，
则
令x＝1得n＝(1,1，－1)，
又＝－n，
∴EF∥n，
∴EF⊥平面B1AC.
三、证明面面垂直问题
例3　在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD.
证明　设AS＝AB＝1，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，C(1,1,0)，S(0,0,1)，E.

方法一　连接AC，交BD于点O，连接OE，
则点O的坐标为.
易知＝(0,0,1)，＝，
所以＝，
所以OE∥AS.
又AS⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD.
又OE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.
方法二　设平面BDE的法向量为n1＝(x，y，z)．
易知＝(－1,1,0)，＝，
所以
即
令x＝1，可得平面BDE的一个法向量为n1＝(1,1,0)．
因为AS⊥底面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为n2＝＝(0,0,1)．
因为n1·n2＝0，所以平面BDE⊥平面ABCD.
反思感悟　证明面面垂直的两种方法
(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明．
(2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．
跟踪训练3　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点．
求证：平面AED⊥平面A1FD1；
证明　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.

设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2，0,2)，D1(0,0,2)，
∴＝＝(2,0,0)，＝(2,2,1)，＝(0,1，－2)．
设平面AED的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)．
由
得令y1＝1，得n1＝(0,1，－2)．
同理，平面A1FD1的一个法向量为n2＝(0,2,1)．
∵n1·n2＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，∴n1⊥n2，
∴平面AED⊥平面A1FD1.

1．若平面α，β的法向量分别为a＝(2，－1,0)，b＝(－1，－2，0)，则α与β的位置关系是(　　)
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．无法确定
答案　B
解析　a·b＝－2＋2＋0＝0，∴a⊥b，∴α⊥β.
2．已知平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k等于(　　)
A．4 B．－4 C．5 D．－5
答案　D
解析　∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0.
∴k＝－5.
3．如图，在空间直角坐标系中，正方体棱长为2，点E是棱AB的中点，点F(0，y，z)是正方体的面AA1D1D上一点，且CF⊥B1E，则点F(0，y，z)满足方程(　　)

A．y－z＝0
B．2y－z－1＝0
C．2y－z－2＝0
D．z－1＝0
答案　D
解析　E(1,0,0)，B1(2,0,2)，C(2,2,0)，
所以＝(－1,0，－2)，＝(－2，y－2，z)，
因为CF⊥B1E，所以·＝0，
即2－2z＝0，即z＝1.
4.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则AM与PM的位置关系是________．

答案　PM⊥AM
解析　以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，

依题意可得，D(0,0,0)，P(0,1，)，A(2，0,0)，M(，2,0)，
所以＝(，2,0)－(0,1，)＝(，1，－)，＝(，2,0)－(2，0,0)＝(－，2,0)，
所以·＝(，1，－)·(－，2,0)＝0，
所以PM⊥AM.
5．在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，SB＝，则直线SC与BC是否垂直________．(填“是”“否”)
答案　是
解析　如图，以A为坐标原点，平行于BC的直线为x轴，AC，AS所在直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，

则由AC＝2，BC＝，SB＝，
得B(－，2,0)，S(0,0，2)，C(0,2,0)，
＝(0,2，－2)，
＝(－，0,0)．
因为·＝0，所以SC⊥BC.

1．知识清单：
(1)线线垂直．
(2)线面垂直．
(3)面面垂直．
2．方法归纳：转化法、法向量法．
3．常见误区：直线的方向向量、平面的法向量的关系与线面间的垂直关系的对应易混．


1．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m等于(　　)
A．－2 B．2
C．10 D．6
答案　C
解析　因为a⊥b，所以a·b＝0，
即－2×3＋2×(－2)＋m＝0，
解得m＝10.
2．若平面α，β的法向量分别为a＝(－1,2,4)，b＝(x，－1，－2)，且α⊥β，则x的值为(　　)
A．10 B．－10
C. D．－
答案　B
解析　因为α⊥β，所以它们的法向量也互相垂直，
所以a·b＝(－1,2,4)·(x，－1，－2)＝0，
解得x＝－10.
3．已知点A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，P(x，0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为(　　)
A．(1,0，－2) B．(1,0,2)
C．(－1,0,2) D．(2,0，－1)
答案　C
解析　由题意知＝(－1，－1，－1)，＝(2,0,1)，＝(x，－1，z)，又PA⊥平面ABC，所以有·＝(－1，－1，－1)·(x，－1，z)＝0，得－x＋1－z＝0.①
·＝(2,0,1)·(x，－1，z)＝0，得2x＋z＝0，②
联立①②得x＝－1，z＝2，故点P的坐标为(－1,0,2)．
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于(　　)
A．BD B．AC
C．A1D D．A1A
答案　A
解析　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1.

则C(0,1,0)，B(1,1,0)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，C1(0,1，1)，A1(1,0,1)，E，
∴＝，＝(－1,1,0)，
＝(－1，－1,0)，＝(－1,0，－1)，＝(0,0，－1)，
∵·＝(－1)×＋(－1)×＋0×1＝0，
∴CE⊥BD.
5．(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM(　　)

A．和AC垂直
B．和AA1垂直
C．和MN垂直
D．与AC，MN都不垂直
答案　AC
解析　以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为2a，
则D(0,0，0)，D1(0,0,2a)，M(0,0，a)，A(2a，0,0)，C(0,2a，0)，O(a，a，0)，N(0，a，2a)．
∴＝(－a，－a，a)，＝(0，a，a)，＝(－2a，2a，0)．
∴·＝0，·＝0，
∴OM⊥AC，OM⊥MN.OM和AA1显然不垂直，
故选AC.
6．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z＝________.
答案　－9
解析　由题意得u⊥v，∴u·v＝3＋6＋z＝0，
∴z＝－9.
7．在空间直角坐标系中，已知直角三角形ABC的三个顶点为A(－3，－2,1)，B(－1，－1，－1)，C(－5，x，0)，则x的值为________．
答案　0或9
解析　∵A(－3，－2,1)，B(－1，－1，－1)，C(－5，x，0)，
∴＝(2,1，－2)，＝(－4，x＋1,1)，＝(－2，x＋2，－1)
分三种情况：
①A为直角，·＝0，∴－4＋x＋2＋2＝0，∴x＝0；
②B为直角，·＝0，∴－8＋x＋1－2＝0，∴x＝9；
③C为直角，·＝0，∴8＋(x＋1)(x＋2)－1＝0，x2＋3x＋9＝0，方程无解．
综上，x的值为0或9.
8．在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3,1)，C(2，－2,1)．若向量n与平面ABC垂直，且|n|＝，则n的坐标为________________．
答案　(－2,4,1)或(2，－4，－1)
解析　据题意，得＝(－1，－1,2)，＝(1,0,2)．
设n＝(x，y，z)，∵n与平面ABC垂直，
∴即可得
∵|n|＝，∴＝，
解得y＝4或y＝－4.
当y＝4时，x＝－2，z＝1；当y＝－4时，x＝2，z＝－1.
∴n的坐标为(－2,4,1)或(2，－4，－1)．
9.如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC＝1，设P为AC的中点，Q在AB上且AB＝3AQ，证明：PQ⊥OA.

证明　如图，连接OP，OQ，PQ，取O为坐标原点，以OA，OC所在直线为x轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz(如图所示)．

则A(1,0,0)，C(0,0,1)，B.
∵P为AC的中点，∴P.
∴＝，
又由已知，可得＝＝.
又＝＋＝，
∴＝－＝.
∵·＝0，∴⊥，即PQ⊥OA.
10.如图，在四棱锥E－ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝2，∠BCE＝120°，

求证：平面ADE⊥平面ABE.
证明　取BE的中点O，连接OC，
又AB⊥平面BCE，
所以以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz(如图所示)．

则有C(1,0,0)，B(0，，0)，E(0，－，0)，D(1,0,1)，A(0，，2)．
于是＝(0，－2，－2)，＝(－1，，1)．
设平面ADE的法向量为n＝(a，b，c)，
则n·＝(a，b，c)·(0，－2，－2)＝－2b－2c＝0，
n·＝(a，b，c)·(－1，，1)＝－a＋b＋c＝0.
令b＝1，则a＝0，c＝－，
所以n＝(0,1，－)．
又AB⊥平面BCE，OC⊂平面BCE，
所以AB⊥OC.
因为BE⊥OC，AB∩BE＝B，AB，BE⊂平面ABE，
所以OC⊥平面ABE.
所以平面ABE的法向量可取为m＝(1,0,0)．
因为n·m＝(0,1，－)·(1,0,0)＝0，所以n⊥m，
所以平面ADE⊥平面ABE.

11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　)
A．EF至多与A1D，AC中的一个垂直
B．EF⊥A1D，EF⊥AC
C．EF与BD1相交
D．EF与BD1异面
答案　B
解析　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，

设正方体的棱长为1，则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，
∴＝(－1,0，－1)，＝(－1,1,0)，
＝，＝(－1，－1,1)，
∴＝－，·＝0，·＝0，
从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC，故选B.
12．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的比值为(　　)

A. B．1 C．3 D．2
答案　B
解析　以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，

设正方形边长为1，PA＝a，
则B(1,0,0)，E，P(0,0，a)．
设点F的坐标为(0，y，0)，
则＝(－1，y，0)，＝.
因为BF⊥PE，所以·＝0，
解得y＝，即点F的坐标为，
所以F为AD的中点，所以AF∶FD＝1∶1.
13.如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F分别为PB，AD的中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是________．

答案　垂直
解析　以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则P(0,0,1)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，E，F，
∴＝，设平面PBC的一个法向量n＝(x，y，z)，则
取y＝1，则z＝1，
平面PBC的法向量n＝(0,1,1)，
∵＝－n，
∴∥n，
∴EF⊥平面PBC.
14.如图，已知点E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E，C1F上的点，则与平面ABCD垂直的直线MN有________条．

答案　1
解析　假设存在满足条件的直线MN，建立空间直角坐标系如图所示，不妨设正方体的棱长为2，则D1(2,0,2)，E(1,2,0)，

设M(x，y，z)，＝m(0≤m≤1)，
所以(x－2，y，z－2)＝m(－1,2，－2)，x＝2－m，y＝2m，z＝2－2m，
所以M(2－m，2m，2－2m)，
同理，若设＝n(0≤n≤1)，可得N(2n，2n，2－n)，
＝(m＋2n－2,2n－2m，2m－n)，
又因为MN⊥平面ABCD，＝(2,0,0)，＝(0,2,0)，
所以解得
即存在满足条件的直线MN，有且只有一条．

15．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是(　　)

A．当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BD
B．当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥平面A1BD
C．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD
D．不存在DQ与平面A1BD垂直
答案　D
解析　以A1为坐标原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则由已知得A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)，
D，P(0,2,0)，＝(1,0,1)，＝，＝(－1,2,0)，＝.设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则取z＝－2，则x＝2，y＝1，所以平面A1BD的一个法向量为n＝(2,1，－2)．
假设DQ⊥平面A1BD，且B1Q＝λ＝λ(－1,2,0)＝(－λ，2λ，0)，
则＝＋＝，
因为也是平面A1BD的法向量，
所以n＝(2,1，－2)与＝共线，于是有＝＝＝成立，但此方程关于λ无解．故不存在DQ与平面A1BD垂直．
16．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．
(1)求证：A1E⊥BD；
(2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．
(1)证明　以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

设正方体棱长为a，则 A(a，0,0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)．
设E(0，a，b)(0≤b≤a)，
＝(－a，a，b－a)，
＝(－a，－a，0)，
·＝a2－a2＋(b－a)·0＝0，
∴⊥，即A1E⊥BD.
(2)解　设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．
∵＝(a，a，0)，＝(a，0，a)，＝(0，a，b)，
∴取x1＝x2＝1，
得n1＝(1，－1，－1)，n2＝，
由平面A1BD⊥平面EBD，得n1⊥n2，
∴2－＝0，即b＝.
∴当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD.