2022届一轮复习专题练习6 第45练 数列的通项（解析版）

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考点一 由数列的递推关系求通项
1．数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))中，a1＝1，an＋1＝an＋2n，则an等于( )
A．n2－n＋1 B．n2＋1
C．(n－1)2＋1 D．2n
2．数列{an}满足a1＝1，n(an－an－1)＝an－1，则an等于( )
A．n＋1 B.eq \f(n＋1,2)
C.eq \f(nn＋1,2) D．n
3．若数列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq \f(an,1＋3an)，则这个数列的第10项a10等于( )
A．28 B．29
C.eq \f(1,28) D.eq \f(1,29)
4．已知数列{an}满足a1＝1，an＝eq \f(1,2)an－1＋1(n≥2)，则数列{an}的通项公式为________ .
考点二 由前n项和Sn求通项公式
5．设数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn，n∈N*，则a5等于( )
A．3×43 B．3×43＋1
C．44 D．44＋1
6．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝________.
7．数列{an}满足a1＋eq \f(1,2)a2＋eq \f(1,3)a3＋…＋eq \f(1,n)an＝n2(n∈N*)，则an＝________.
考点三 数列通项的性质
8．“干支纪法”是我国记年、月、日、时的序号的传统方法，天干地支简称“干支”，天干指：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸．“地支”指：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．如农历1861年为辛酉年，农历1862年为壬戌年，农历1863年为癸亥年，则农历2068年为( )
A．丁亥年 B．丁丑年 C．戊寅年 D．戊子年
9．已知数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))满足a1＝28，eq \f(an＋1－an,n)＝2，则eq \f(an,n)的最小值为( )
A.eq \f(29,3) B. 4eq \r(7)－1 C. eq \f(48,5) D.eq \f(27,4)
10．已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋λn(n∈N*)，若{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________．
11．数列{an}满足a1＝2，an＋1＝aeq \\al(2,n)(an>0)，则an等于( )
A．10n－2 B．10n－1 C．102n－1 D．22n－1
12．对∀n∈N*都有λ·2n>2n－7，则实数λ的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)，＋∞)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,32)，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,32)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,64)，＋∞))
13．已知数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))满足a1＝6，an＝an－1＋2×3n(n≥2)，则an＝________.
14．已知数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))满足a1＝1，a2＝eq \f(1,3)，若an(an－1＋2an＋1)＝3an－1·an＋1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________.
答案精析
1．A [因为an＋1＝an＋2n，所以an＋1－an＝2n，
因此a2－a1＝2，a3－a2＝4，a4－a3＝6，…，
an－an－1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－1))，
以上各式相加得an－a1＝2＋4＋6＋…＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－1))＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－1))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－1)))),2)＝n2－n(n≥2)，
又a1＝1，所以an＝n2－n＋1(n≥2)．当n＝1时，符合上式，所以an＝n2－n＋1.]
2．B [∵n(an－an－1)＝an－1，
∴nan＝(n＋1)an－1，
∴eq \f(an,an－1)＝eq \f(n＋1,n)(n≥2)，
∴eq \f(a2,a1)＝eq \f(3,2)，eq \f(a3,a2)＝eq \f(4,3)，eq \f(a4,a3)＝eq \f(5,4)，…，eq \f(an,an－1)＝eq \f(n＋1,n)，
以上各式相乘得eq \f(an,a1)＝eq \f(n＋1,2)，
∴an＝eq \f(n＋1,2)(n≥2)，
当n＝1时，a1满足上式，
∴an＝eq \f(n＋1,2).]
3．C [由题意，数列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq \f(an,1＋3an)，可得eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝3，
所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))表示首项为1，公差为3的等差数列，
所以eq \f(1,an)＝1＋(n－1)×3＝3n－2，即an＝eq \f(1,3n－2)，
所以a10＝eq \f(1,3×10－2)＝eq \f(1,28).]
4. an＝2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1
解析 设an＋x＝eq \f(1,2)(an－1＋x)，即an＝eq \f(1,2)an－1－eq \f(1,2)x，又an＝eq \f(1,2)an－1＋1，得－eq \f(1,2)x＝1，
x＝－2，得eq \f(an－2,an－1－2)＝eq \f(1,2)，∴{an－2}是一个等比数列．
首项a1－2＝－1，公比q＝eq \f(1,2)，
∴an－2＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1，∴an＝2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1.
5．A [由an＋1＝3Sn得，Sn＋1－Sn＝3Sn，即Sn＋1＝4Sn，
又a1＝S1＝1，
∴数列{Sn}是以1为首项，4为公比的等比数列，
∴Sn＝4n－1，
∴a5＝S5－S4＝44－43＝3×43.]
6.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4，n＝1，,2·3n－1，n≥2))
解析 当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2·3n－1.
当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，所以an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4，n＝1，,2·3n－1，n≥2.))
7．2n2－n
解析 ∵a1＋eq \f(1,2)a2＋eq \f(1,3)a3＋…＋eq \f(1,n)an＝n2(n≥1)，
∴a1＋eq \f(1,2)a2＋eq \f(1,3)a3＋…＋eq \f(1,n－1)an－1＝(n－1)2(n≥2)，
两式相减得
eq \f(1,n)an＝n2－(n－1)2(n≥2)，
即eq \f(1,n)an＝2n－1，
∴an＝2n2－n(n≥2)，
当n＝1时，a1＝1满足上式，
∴an＝2n2－n，n∈N*.
8．D [记a1＝辛，b1＝酉(1 861)；
a2＝壬，b2＝戌(1 862)；a3＝癸，b3＝亥(1 863)，
所以记天干为数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))，且最小正周期为10，记地支为数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(bn))，且最小正周期为12，
a2 068＝a8＝戊，b2 068＝b4＝子，故农历2068年为戊子年．]
9．C [由an＋1－an＝2n知，a2－a1＝2×1，a3－a2＝2×2，…，an－an－1＝2(n－1)，
以上各式相加得an－a1＝n2－n，∴eq \f(an,n)＝n＋eq \f(28,n)－1，函数f(x)＝x＋eq \f(28,x)－1在(0,2eq \r(7))上单调递减，在(2eq \r(7)，＋∞)上单调递增，又x∈N*，而5－2n－1.
又n≥1，
∴(－2n－1)max＝－3，
∴λ>－3.
11．D [因为数列{an}满足a1＝2，an＋1＝aeq \\al(2,n)(an>0)，所以有lg2an＋1＝2lg2an，整理可得eq \f(lg2an＋1,lg2an)＝2，所以{lg2an}是公比为2的等比数列，所以lg2an＝lg2a1·2n－1，即an＝22n－1.]
12．C [∵2n>0，
∴原不等式可化为当n≥1时，λ>eq \f(2n－7,2n)恒成立，
令an＝eq \f(2n－7,2n)，
∴an＋1－an＝eq \f(2n－5,2n＋1)－eq \f(2n－7,2n)＝eq \f(－2n＋9,2n＋1)，
∴当n≤4时，an＋1>an，
当n≥5时，an＋1