(新高考)高考数学一轮复习题型归纳学案专题10数列10.3《数列求通项》（解析版）

专题十 《数列》学案

10.3  数列求通项

知识梳理.数列求通项

1.利用与的关系求通项公式；

2.累加法：若已知且的形式；

3.累乘法：若已知且的形式；

4.构造法：若已知且的形式       （其中p，q均为常数）；

题型一. 利用Sn与an的关系

考点1.已知Sn与an的关系求an

1．已知数列{an}为等差数列，且a3＝5，a5＝9，数列{bn}的前n项和Snbn．

（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；

【解答】解：（Ⅰ）数列{an}为等差数列，∴d（a5﹣a3）＝2，

又∵a3＝5，

∴a1＝1，

∴an＝2n﹣1，

当n＝1时，S1b1，

∴b1＝1，

当n≥2时，bn＝Sn﹣Sn﹣1bnbn﹣1，

∴bn＝﹣2bn﹣1，

即数列{bn}是首项为1，公比为﹣2的等比数列，

∴bn＝（﹣2）n﹣1，

2．已知数列{an}的前n项和Sn满足．

（1）求数列{an}的通项公式；

【解答】解：（1）当n＝1时，2S1＝3（a1﹣1）＝2a1，得a1＝3，

当n≥2时，2Sn＝3（an﹣1），2Sn﹣1＝3（an﹣1﹣1），

两式作差可得2 an＝3an﹣3an﹣1，即an＝3an﹣1，

所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，

所以an＝3n；

3．记Sn为数列{an}的前n项和，已知an＜0，an2﹣3an＝4﹣6Sn．

（1）求数列{an}的通项公式；

【解答】解：（1）当n＝1时，，

所以a1＝﹣4或a1＝1（舍）当n≥2时，因为，

所以，

两式相减得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1+3）＝0，

因为an＜0，所以an﹣an﹣1＝﹣3，

所以数列{an}是以﹣4为首项﹣3为公差的等差数列，

所以an＝﹣4+（n﹣1）⋅（﹣3）＝﹣3n﹣1．

考点2.带省略号

1．设数列{an}满足．

（Ⅰ）求a1，a2及{an}的通项公式；

【解答】解：（Ⅰ）∵a1+3a2+…+（2n﹣1）an＝2n，

当n＝1时，a1＝2，

当n＝2时，a1+3a2＝4，

∴a2，

∵a1+3a2+…+（2n﹣1）an＝2n，①，

∴n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）an﹣1＝2（n﹣1），②

①﹣②得：（2n﹣1）•an＝2，

∴an，

又n＝1时，a1＝2满足上式，

∴；

2．已知数列{an}，an＝2n+1，则（　　）

A． B．1﹣2n C． D．1+2n

【解答】解：an+1﹣an＝2n+1+1﹣（2n+1）＝2n

∴

∴

故选：C．

题型二. 累加法

1．已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝an+n+1．

（1）求{an}的通项公式；

【解答】解：（1）由a1＝1，an+1＝an+n+1，

可得n≥2时，an﹣an﹣1＝n，

可得an＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+...+（an﹣an﹣1）

＝1+2+3+...+nn（n+1），

即ann（n+1），n∈N*；

2．设数列{an}满足a1＝2，an+1﹣an＝3•22n﹣1，则数列{an}的通项公式是an＝　22n﹣1　．

【解答】解：∵a1＝2，an+1﹣an＝3•22n﹣1，

∴n≥2时，an＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣an﹣1）

＝2+3•2+3•23+…+3•22n﹣3

＝2+322n﹣1；

当n＝1时a1＝2适合上式．

∴．

故答案为：22n﹣1．

3．在数列{an}中，，则数列{an}的通项an＝　      　．

【解答】解：a1＝2＝2+ln1，

a2＝2+ln2，

2+ln[2×（1）]＝2+ln3，

2+ln4．

由此可知an＝2+lnn．

故选：D．

题型三.累乘法

1．在数列{an}中，已知（n2+n）an+1＝（n2+2n+1）an，n∈N+，且a1＝1，求an的表达式．

【解答】解：由题意，

∵a1＝1，

∴{}是以1为首项，0为公差的等差数列，

∴1，

∴an＝n．

2．已知数列{an}满足a1＝3，an+1an（n≥1），求an的通项公式．

【解答】解：∵数列{an}满足a1＝3，an+1an（n≥1），

∴（n≥2），

∴an•…••

••…•••3

，当n＝1时也成立．

∴an．

3．已知正项数列{an}的首项a1＝1，且2nan+12+（n﹣1）anan+1﹣（n+1）an2＝0（n∈N*），则{an}的通项公式为an＝　　．

【解答】解：∵2nan+12+（n﹣1）anan+1﹣（n+1）an2＝0，

∴（2nan+1﹣（n+1）an）•（an+1+an）＝0，

∵数列{an}为正项数列，

∴an+1+an≠0，

∴2nan+1﹣（n+1）an＝0，

∴，

∴，

，

，

…

，

两边累乘得，

n•

∴an，

故答案为：，

题型四. 构造法

1．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an+1＝2an+1，且a1+2a2＝a3．

（1）求数列{an}的通项公式；

【解答】解：（1）数列{an}的前n项和为Sn，满足an+1＝2an+1，

整理得：an+1+1＝2（an+1），

由a1+2a2＝a3＝2a2+1，解得a1＝1，

故数列{an+1}是以a1+1＝2为首项，2为公比的等比数列；

所以．

2．已知数列{an}满足an＝3an﹣1+3n（n≥2，n∈N*），首项a1＝3．

（1）求数列{an}的通项公式；

【解答】解：（1）数列{an}满足（n≥2，n∈N*），

∴，

又∵3n≠0，

∴为常数，

∴数列是首项为、公差为1的等差数列，

∴n，∴（n∈N*）；

3．已知数列{an}满足，，则a2021＝（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：因为，

则，

又，则，

所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，

则，

所以，

则a2021．

故选：D．