重庆市第二十九中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含答案

重庆市第29重点中学2020-2021学年高二下学期期中考试

数学试题卷

（时间：120分钟  满分：150分）

一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．）

1． 若函数，则（   ）

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

2． 函数的导函数的图像如图所示，则（   ）

A．为的极大值点

B．为的极大值点

C．为的极大值点

D．为的极小值点

3． 已知，则的值为（   ）

A． 6 B． 8 C． 12              D． 8或12

4． 已知函数的导函数为，且满足，则为（   ）

A．  B．                C．             D．

5． 如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（   ）

A．                         B．

C．               D．

6．已知，，，则、、的大小关系为（   ）

A．                     B．

C．                     D．

7．现有2名学生代表，2名教师代表和1名家长代表合影，则同类代表互不相邻的排法共有（  ）种

A．24              B．48               C．72                 D．96

8．已知函数，的图象分别与直线交于两点，则的最小值为（    ）

A．                             B．

C． 　　                       D．

二、多项选择题：（本题共4小题,每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）

9．某工程队有卡车、挖掘机、吊车、混凝土搅拌车4辆工程车，将它们全部派往3个工地进行作业，每个工地至少派一辆工程车，共有多少种方式？下列结论正确的有（   ）

A． 18 B．

C．  D．

10．已知为虚数单位，则下面命题正确的是（   ）

A． 若复数，则．

B． 复数满足，在复平面内对应的点为，则．

C． 若复数，满足，则．

D． 复数的虚部是1．

11．设函数，则下列说法正确的是（   ）

A．定义域是（0，+）

B．x ∈（0，1）时，图象位于x轴下方

C．有且仅有两个极值点

D．存在单调递增区间

12．设函数，且、、，下列命题正确的是（   ）

A．存在，使得

B．若，则

C．若，则

D．对任意，总有，使得

三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．若，则______

14．由1，2，3，4，5，6组成的无重复数字的三位数中，则十位上是偶数的数共有______个．

15．已知函数在上是单调递增函数，则实数的取值范围是______

16．已知函数在上有两个极值点，且在上单调递增，则实数的取值范围是______

四、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程;（2）求曲线过点的切线方程．

18．在中，，___________．

（1）求；     （2）若，求．

从① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分)

19．在边长为2的菱形中，，点是边的中点（如图1），将沿折起到的位置，连接，得到四棱锥（如图2）

（1）证明：平面平面；

（2）若，连接，求直线与平面所成角的正弦值．

20．已知椭圆 离心率等于，、是椭圆上的两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）是椭圆上位于直线两侧的动点．当运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由．

21．下图（I）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（II）所示的数学模型．索塔，与桥面均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m，桥面上一点到索塔，距离之比为，且对两塔顶的视角为．

（1）求两索塔之间桥面的长度；

（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数）．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．

22．已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若有两个极值点，且恒成立，求的取值范围．

重庆市第29重点中学2020-2021学年高二下学期期中考试

数学试题答案

一、单项选择题    BADB  DBBA  

二、多项选择题    CD    ABC   BD    AC

三、填空题    8    60   K≥1    

四、解答题

17.【详解】(1)由题意得，所以

又因为，所以切线方程为  整理得.

（2）或.设切点为，因为切点在函数图像上，所以，

故曲线在该点处的切线为

因为切线过点，所以

即.解得或

当时，切点为，因为，所以切线方程为，

当时，切点为，因为，

所以切线方程为  所以切线方程为或.

18.【解析】（1）因为，

所以

因为，所以

即，因为，；

（2）若选①   则在中，由余弦定理，

得，解得或(舍去)，所以

若选② ，则，

由正弦定理，得，解得，所以；

若选③ ，由余弦定理得

，解得或(舍去)，所以．

19.【解析】（1）连接图1中的，因为四边形为菱形，且所以为等边三角形，所以

所以在图2中有，因为

所以平面，因为，所以平面平面

（2）因为平面平面，平面平面，，，所以平面，

以为原点建立如图空间直角坐标系，

所以，

所以，

设平面的法向量为，则，

令，则，所以，

所以直线与平面所成角的正弦值.

20.【解析】（1）由题意可得，解得a＝4，b，c＝2．∴椭圆C的方程为；

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），

当∠APQ＝∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，

则PB的斜率为﹣k，直线PA的直线方程为y﹣3＝k（x﹣2），

联立，得（3+4k2）x2+8k（3﹣2k）x+4（3﹣2k）2﹣48＝0．

∴．同理直线PB的直线方程为y﹣3＝﹣k（x﹣2），

可得．∴，，

∴AB的斜率为定值．

21.（1）设，，记，则

     ， 由，           

化简得 ，解得或（舍去），

所以，．   答：两索塔之间的距离AC=500米．

（2）设AP=x，点P处的承重强度之和为.

则，且，即（注：不写定义域扣1分） 记，则，     

令，解得，   当，，单调递减；

当，，单调递增；所以时，取到最小值，也取到最小值.         

  22.（?）由题可知函数的定义域为，，

当且，即时，，则函数在上单调递增； 当且，即时，令，即，

解得或，且均为正数，令得，令得，

所以函数在和上单调递增，在上单调递减.

（?）若有两个极值点，则是方程的两个不等正实根，

所以结合（?）可知，.又因为，所以.由恒成立，可得恒成立，

而

令，则.

令，则，

则函数在上单调递减，所以，故，

则函数在上单调递减，，可得，

所以的取值范围是.