重庆市万州二中2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题（含答案）

www.ks5u.com万州二中高2019 级高二（下）期中

数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1．火车开出车站一段时间内，速度v（单位：m/s）与行驶时间t（单位：s）之间的关系是v（t）＝0.4t+0.6t2，则火车开出几秒时加速度为2.8m/s2？（　　）

A． B． C． D．2s

2．如图，函数y＝f（x）的图象在点P（2，y）处的切线是L，则f（2）+f′（2）＝（　　）

A．﹣4 B．3 C．1 D．﹣2

3．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．

甲：我的成绩比乙高．

乙：丙的成绩比我和甲的都高．

丙：我的成绩比乙高．

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（　　）

A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙

4．若函数在上可导，且，则（    ）

A．   B．    C．    D．以上答案都不对

5．有6个人排成一排拍照，其中甲和乙相邻，丙和丁不相邻的不同的排法有（　　）

A．24种 B．72种 C．144种 D．240种

6．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”既代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程确定出来x＝2，类似的不难得到＝（　　）

A． B． C． D．

7．已知过点A（a，0）作曲线C：y＝x•ex的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） B．（0，+∞） 

C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）

8．从0，1，2，3，…，9中选出三个不同数字组成一个三位数，其中能被3整除的三位数个数为（　　）

A．252 B．216 C．162 D．228

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．复数z＝1+2i（i为虚数单位），为z的共轭复数，则下列结论正确的是（　　）

A．z•＝5 

B．的虚部为﹣2i 

C．复数z是方程x2﹣2x+5＝0的一个虚根 

D．若复数z1满足|z1|＝1，则|z﹣z1|max＝+1

10．以下关于函数的说法正确的是（　　）

A．函数f（x）在（0，+∞）上不单调 

B．函数f（x）在定义域上有唯一零点 

C．函数f（x）的最小值为 

D．是f（x）的一个极值点

11．若，则（    ）

C． D．

12．设函数，若方程有六个不等的实数根，则实数a可取的值可能是（　　）

A． B． C．1 D．2

三．填空题（共4小题,每小题5分，共计20分）

13.的二项展开式中的常数项是_______.(用数字作答）

14．欧拉公式eiθ＝cosθ+isinθ把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数cosθ和sinθ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”，若复数z满足（eiπ+i）•z＝i+1，则|z|＝　 　．

15．下图中共有__________个矩形.

16．已知函数f（x）＝axlnx+（a＞0）．

（1）当a＝1时，f（x）的极小值为　   　；

（2）若f（x）≥ax在（0，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围为　   　．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分10分)已知复数z＝a+bi（a，b∈R）满足z+3i为实数，为纯虚数，其中i是虚数单位．

（1）求实数a，b的值；

（2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．

18．（本小题满分12分）某班有6名同学报名参加校运会的四个比赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法．（请写出计算的式子，并用数字作答）

（1）每人恰好参加一项，每项人数不限；

（2）每项限报一人，且每人至多参加一项；

（3）每人限报一项，人人参加，且每个项目均有人参加．

19.（本小题满分12分）为了缓解城市交通压力，某市市政府在市区一主要交通干道修建高架桥，两端的桥墩现已建好，已知这两桥墩相距m米，“余下的工程”只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记“余下工程”的费用为y万元．

(1)试写出工程费用y关于x的函数关系式；

(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使工程费用y最小？并求出其最小值．

20.（本小题满分12分）（1）用组合数公式证明：

（2）证明：.

（3）证明：.

21. （本小题满分12分）已知曲线在处的切线方程为.

（1）求，的值；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.

22．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝lnx﹣mx，m∈R．

（1）若f（x）在点A（1，f（1））处的切线与直线x+2y+1＝0垂直，求m的值；

（2）设函数，且函数H（x）的两个极值点为x1，x2，求证：H（x1）+H（x2）＜﹣3；

（3）若对于∀x∈[1，+∞），xf（x）+m≤0恒成立，求正实数m的取值范围．

万州二中高2019 级高二（下）期中

数学试卷答案

一、单项选择题：DCAC   CBAD

二、多项选择题：ACD  ABD  CD  BC 

8 解：将10个数字分成三组，即被3除余1的有{1，4，7}、被3除余2的有{2，5，8}，被3整除的有{3，6，9，0}．

若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论：

①三个数字均取第一组，或均取第二组，有2A33＝12个；

②若三个数字均取自第三组，则要考虑取出的数字中有无数字0，共有A43﹣A32＝18个；

③若三组各取一个数字，第三组中不取0，有C31•C31•C31•A33＝162个，

④若三组各取一个数字，第三组中取0，有C31•C31•2•A22＝36个，这样能被3整除的数共有228个．

故选：D．

12．解：当x≤0时，f（x）＝（x+1）ex，

则f′（x）＝（x+2）ex，

当x＜﹣2时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，

当x＞﹣2时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，

故当x＝﹣2时，函数取得极小值f（﹣2）＝﹣，

其函数大致图象如图所示，

由图象可知，0＜f（x）≤1时，有3个不同的x与f（x）对应，设t＝f（x），

则方程有6个不同的实数根，

所以在t∈（0，1]上有2个不等的实数根，

设g（t）＝，则，

解可得，

所以a的可取值是，1．

故选：BC．

三．填空题（共4小题,每小题5分，共计20分）

60，   1，   45，    1  （0，]．

16.解：（1）a＝1时，f（x）＝xlnx+，（x＞0），

f′（x）＝lnx+1﹣，f″（x）＝+＞0，

故f′（x）在（0，+∞）递增，而f′（1）＝0，

故x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）递减，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，

故f（x）极小值＝f（1）＝1；

（2）若f（x）≥ax在（0，+∞）上恒成立，

即a（1﹣lnx）≤在（0，+∞）恒成立，

1﹣lnx≤0即x≥e时，∵a＞0，（1﹣lnx）≤0，＞0，

故a（1﹣lnx）≤在（0，+∞）恒成立，

1﹣lnx＞0即0＜x＜e时，问题转化为a≤在（0，+∞）恒成立，

即a≤[]min，只需求出g（x）＝x2（1﹣lnx）的最大值即可，（0＜x＜e），

g′（x）＝x（1﹣2lnx），令g′（x）＞0，解得：0＜x＜，令g′（x）＜0，解得：＜x＜e，

故g（x）在（0，）递增，在（，e）递减，

故g（x）max＝g（）＝，

故a≤＝，

综上，a∈（0，]．

故答案为：1，（0，]．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．解：（1）由z＝a+bi（a，b∈R），得z+3i＝a+（b+3）i，

＝，

再由题意可得：，解得；-----------------------------5分

（2）由（1）得，，

则＝-----------------------------7分

＝（2m﹣）+（m2﹣2）i，

则，即＜m＜．

∴实数m的取值范围是（，）．-----------------------------10分

18．解：（1）根据题意，每人恰好参加一项，每项人数不限，则每人都有4种选择，

则有4×4×4×4×4×4＝46＝4096报名方法；-----------------------------3分

（2）根据题意，每项限报一人，且每人至多参加一项，

在6人中任选4人，安排其参加四个比赛项目即可，有A64＝360种报名方法；-----------------------------6分

（3）根据题意，分2步进行分析：

①将6人分成4组，若分为3、1、1、1的四组，有C63＝20种分组方法，--------8分

若分为2、2、1、1的四组，有＝45种分组方法，------------------------10分

则一共有20+45＝65种分组方法，

②将分好的四组安排参加4项比赛，有A44＝24种情况，

则有65×24＝1560种报名方法．-----------------------------12分

19.【解析】：（1）相邻桥墩间距米，需建桥墩个，则-----------------------------2分，()-------------5分
（2）当米时，，，-----------------------------7分

∵且时，，单调递增，时，，单调递减，∴，∴需新建桥墩个.---------------------12分

20.证明：（1）左边，

右边，

所以；----------------------------3分

（2）利用公式，

则

，

∴．----------------------------7分

（3）

.---------------------------12分

21.【解析】（1）由得，，

由题意得在处的切线斜率为，

又，可得，解得，.----------------------------4分

（2）由（1）知，，

，即为，

由知，上式等价于函数在为增函数，

，即，

令，，

当时，时，递减；，时，递增，，

则，即，所以实数的范围为.-----------------------------12分

22．解：（1）∵f（x）＝lnx﹣mx，则，

直线x+2y+1＝0的斜率为，由题意可得f'（1）＝1﹣m＝2，解得m＝﹣1，

所以，f（x）＝x+lnx，则f（1）＝1，则点A（1，1），

因此，所求切线的方程为y﹣1＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣1＝0； ----------------------------3分

（2）证明：∵，所以，，

函数y＝H（x）的定义域为（0，+∞）由题意

设方程x2﹣mx+1＝0的两根分别为x1、x2，

则⇒m＞2，

＝

＝

＝

∴H（x1）+H（x2）＜﹣3-----------------------------7分

（3）∀x∈[1，+∞），xf（x）+m＝xlnx﹣mx2+m≤0恒成立，

即恒成立，

令，其中x≥1，且g（1）＝0，

则g（x）≤g（1）对∀x∈[1，+∞）恒成立，

①当m≤0时，对任意的x∈[1，+∞），g'（x）＞0，

此时，函数y＝g（x）在[1，+∞）上单调递增，

此时，g（x）≥g（1）＝0，不合乎题意；

②当m＞0时，则△＝1﹣4m2．

（ⅰ）若△≤0，则，对∀x∈[1，+∞），g'（x）≤0，

此时，函数y＝g（x）在[1，+∞）上单调递减，

则g（x）≤g（1）＝0，合乎题意；

（ⅱ）若△＞0，则，

令g'（x）＝0，得mx2﹣x+m＝0，解得，，

由韦达定理得x1′x2′＝1，则必有x1′＜1＜x2′，

当1＜x＜x1′时，g'（x）＞0，此时，函数y＝g（x）单调递增；

当x＞x1′时，g'（x）＜0，此时，函数y＝g（x）单调递减．

所以，g（x）max＝g（x1′）＞g（1）＝0，不合乎题意．

综上所述，实数m的取值范围是．   -----------------------12分

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