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重庆市南开中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题（含答案）
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这是一份重庆市南开中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单选题：本大题8个小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合要求，答案请涂写在机读卡上．
1．已知，且，则（ ）
A．B．C．0D．
2．已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．1
3．在中，角，，所对的边分别为，则“”是“是等边三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
4．在中，，是的中点，是的中点，则（ ）
A． B． C． D．
5．在中，面积，则（ ）
A． B． C． D．
6．是空间中两条不相交的直线，那么过直线且平行于直线的平面（ ）
A．有且只有一个 B．至多有一个
C．至少有一个 D．有无数个
7．平面向量，，已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示在四边形ABCD中，是边长为4的等边三角形，
，则（ ）
A． B． C．3 D．
二、多选题：本大题4个小题，每小题5分，共20分．每小题有多个选项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在中，角，，所对的边分别为，，，以下说法中正确的是
A．若，则
B．若，，，则为钝角三角形
C．若，，，则符合条件的三角形不存在
D．若，则为直角三角形
10．已知直线和平面，下列说法中不正确的有
A．若，，，则
B．若，，则
C．若与为异面直线，且，则
D．若，，则
11．已知直角三角形ABC斜边，直角边，动点满足，下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为10 B．的最大值为6
C．的最大值为24 D．存在D点满足
12．已知面积为12，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．的最大值为
C． 的值可以为 D．的值可以为
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分．各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）．
13．已知、，点是线段上的点，且，则点的坐标为 ．
14．多项式在实数范围内不能分解因式，但数系扩充到复数以后，则在复数范围内多项式分解成一次因式乘积的结果为 ．
15．在中，角所对的边分别为，已知，，则 ．
16．如图所示四棱锥，底面为直角梯形，，
在梯形内（含边界），， 则点轨迹长度为 ．
四、解答题：本大题6个小题，共70分．各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）．
17．（10分）三棱锥P-ABC，PA=4，BC=6．
（1）该棱锥的6条棱中，共有多少对异面直线？请一一列出；
（2）若PB中点为M，AC中点为N，MN=4，求异面直线PA与BC所成角的余弦值．
18．（12分）已知夹角为，．
（1）求实数的值；（2）求．
19．（12分）如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，分别是棱DD1、AB的中点．
（1）平面与直线交于点，求的值；
（2）为线段上靠近点的四等分点，求证：．
20．（12分）在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且有．
在下列条件中选择一个条件完成该题目：
= 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②
（1）求A的大小；
（2）求的取值范围．
21．（12分）如图所示，在中， BD=AC=2AD， CD=2， E为CD中点，直线AE与BC边交于点F．
（1）若，求长度；
（2）求AF长度范围．
22．（12分）有一鱼池，其中有两条边成定角，现要在距离A点1米处的地方钉一粒钉子D，然后过D拉一条浮漂隔离线BC，使得内无浮漂，便于观赏鱼类．B，C两点分别固定在两边上．
（1）若，求面积的最小值；
（2）若无论怎么拉浮漂隔离线BC，总能使得的面积不低于，求的取值范围．
重庆南开中学高2023级高一（下）半期考试答案
一、单选题
1-4：B D B A 5-8: B C D C
二、多选题
9.ACD 10.BD 11.ABC 12.AD
三、填空题
13. 14. 15. 16.
四、解答题
17.(1) 3对；，，.
(2) 取的中点，连接、
为中点，为中点
为△中位线， ∥且
同理，∥且 为异面直线与所成角或其补角
又 在△中，
异面直线与所成角的余弦值为.
18.(1)
(2)
.
19. (1)延长、交于点，连接交于点
是中点，∥
是△中位线，是中点
又∥ 是△中位线，
又为中点
(2)连接、
，
，
又为线段上靠近点的四等分点
，
， 四边形是平行四边形 ∥
又， ∥平面
20. (1) ①
，
② 即
,
(2) 设△外接圆半径为，由正弦定理得
△为锐角三角形 ，
21. (1) 设，，
又，
(2) 设，，
为中点，，
、、三点共线，
又
22. (1)设
，
(2)设，
，
，取值范围为.
数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单选题：本大题8个小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合要求，答案请涂写在机读卡上．
1．已知，且，则（ ）
A．B．C．0D．
2．已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．1
3．在中，角，，所对的边分别为，则“”是“是等边三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
4．在中，，是的中点，是的中点，则（ ）
A． B． C． D．
5．在中，面积，则（ ）
A． B． C． D．
6．是空间中两条不相交的直线，那么过直线且平行于直线的平面（ ）
A．有且只有一个 B．至多有一个
C．至少有一个 D．有无数个
7．平面向量，，已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示在四边形ABCD中，是边长为4的等边三角形，
，则（ ）
A． B． C．3 D．
二、多选题：本大题4个小题，每小题5分，共20分．每小题有多个选项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在中，角，，所对的边分别为，，，以下说法中正确的是
A．若，则
B．若，，，则为钝角三角形
C．若，，，则符合条件的三角形不存在
D．若，则为直角三角形
10．已知直线和平面，下列说法中不正确的有
A．若，，，则
B．若，，则
C．若与为异面直线，且，则
D．若，，则
11．已知直角三角形ABC斜边，直角边，动点满足，下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为10 B．的最大值为6
C．的最大值为24 D．存在D点满足
12．已知面积为12，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．的最大值为
C． 的值可以为 D．的值可以为
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分．各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）．
13．已知、，点是线段上的点，且，则点的坐标为 ．
14．多项式在实数范围内不能分解因式，但数系扩充到复数以后，则在复数范围内多项式分解成一次因式乘积的结果为 ．
15．在中，角所对的边分别为，已知，，则 ．
16．如图所示四棱锥，底面为直角梯形，，
在梯形内（含边界），， 则点轨迹长度为 ．
四、解答题：本大题6个小题，共70分．各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）．
17．（10分）三棱锥P-ABC，PA=4，BC=6．
（1）该棱锥的6条棱中，共有多少对异面直线？请一一列出；
（2）若PB中点为M，AC中点为N，MN=4，求异面直线PA与BC所成角的余弦值．
18．（12分）已知夹角为，．
（1）求实数的值；（2）求．
19．（12分）如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，分别是棱DD1、AB的中点．
（1）平面与直线交于点，求的值；
（2）为线段上靠近点的四等分点，求证：．
20．（12分）在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且有．
在下列条件中选择一个条件完成该题目：
= 1 \* GB3 ①； = 2 \* GB3 ②
（1）求A的大小；
（2）求的取值范围．
21．（12分）如图所示，在中， BD=AC=2AD， CD=2， E为CD中点，直线AE与BC边交于点F．
（1）若，求长度；
（2）求AF长度范围．
22．（12分）有一鱼池，其中有两条边成定角，现要在距离A点1米处的地方钉一粒钉子D，然后过D拉一条浮漂隔离线BC，使得内无浮漂，便于观赏鱼类．B，C两点分别固定在两边上．
（1）若，求面积的最小值；
（2）若无论怎么拉浮漂隔离线BC，总能使得的面积不低于，求的取值范围．
重庆南开中学高2023级高一（下）半期考试答案
一、单选题
1-4：B D B A 5-8: B C D C
二、多选题
9.ACD 10.BD 11.ABC 12.AD
三、填空题
13. 14. 15. 16.
四、解答题
17.(1) 3对；，，.
(2) 取的中点，连接、
为中点，为中点
为△中位线， ∥且
同理，∥且 为异面直线与所成角或其补角
又 在△中，
异面直线与所成角的余弦值为.
18.(1)
(2)
.
19. (1)延长、交于点，连接交于点
是中点，∥
是△中位线，是中点
又∥ 是△中位线，
又为中点
(2)连接、
，
，
又为线段上靠近点的四等分点
，
， 四边形是平行四边形 ∥
又， ∥平面
20. (1) ①
，
② 即
,
(2) 设△外接圆半径为，由正弦定理得
△为锐角三角形 ，
21. (1) 设，，
又，
(2) 设，，
为中点，，
、、三点共线，
又
22. (1)设
，
(2)设，
，
，取值范围为.
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