2021年全国高考数学模拟试卷（一）（5月份）

这是一份2021年全国高考数学模拟试卷（一）（5月份），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年全国高考数学模拟试卷（一）（5月份）
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A＝{（﹣1，1）}，B＝{y|y＝x+2，x∈R}，则A，B的关系可以是（　　）
A．A＝B B．A∈B C．A∩B＝∅ D．A⊆B
2．（5分）已知复数z＝，是复数z的共轭复数，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（　　）
A．z的虚部为i B．|z|＝2 C．＝﹣+i D．z2为纯虚数
3．（5分）2020年11月24日凌晨4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号遥五运载火箭把嫦娥五号探测器顺利地送入预定轨道，开启我国首次外太空采样返回之旅．据科学家们测算：火箭的最大速度至少达11.2千米/秒时，可将嫦娥五号探测器顺利送入外太空．若火箭的最大速度v（单位：米/秒）、燃料的质量M（单位：吨）和嫦娥五号探测器的质量m（单位：吨）近似满足函数关系式v＝5600•lg（1+），当燃料质量与嫦娥五号探测器质量的比值至少为（　　）顺利送入外太空．

A．9 B．99 C．999 D．9999
4．（5分）若角α的终边与单位圆的交点为P（），则点Q（sin（π﹣α）﹣cosα，cos（））位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（5分）已知的展开式中常数项为112，则实数a的值为（　　）
A．±1 B．1 C．2 D．±2
6．（5分）满足“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充要条件的电路图是（　　）
A． B．
C． D．
7．（5分）若直线y＝x+3与圆x2+y2﹣2ax﹣4y+a2+3＝0有两个不同的公共点，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣） B．（﹣﹣1，） C．（﹣，+1） D．（﹣﹣1，﹣1）
8．（5分）陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（　　）

A．（7+2）π B．（10+2）π C．（10+4）π D．（11+4）π
9．（5分）已知函数f（x）＝，若a＝60.01，b＝log62，c＝log60.9，则有（　　）
A．f（b）＞f（a）＞f（c） B．f（c）＞f（a）＞f（b）
C．f（a）＞f（c）＞f（b） D．f（a）＞f（b）＞f（c）
10．（5分）将函数y＝sinxcosx﹣cos2x+的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，下列结论正确的是（　　）
A．g（x）是最小正周期为2π的偶函数
B．g（x）是最小正周期为4π的奇函数
C．g（x）在[0，]上的最小值为﹣
D．g（x）在（π，2π）上单调递减
11．（5分）在△ABC中，a，b，c是三角形A，B，C的对边，若2cosC（acosB+bcosA）＝c且c＝，sinA＝，sinB＝，则△ABC的面积为（　　）
A． B． C．2 D．3
12．（5分）如图是一水平放置的青花瓷．它的外形为单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，且其外形上下对称．若该花瓶的最小直径为24cm，瓶口直径为40cm，瓶高为60cm，则该双曲线的虚轴长为（　　）

A． B． C．45 D．90
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则的最小值是 　 　．
14．（5分）已知函数f（x）＝+ax2，若曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线与直线3x﹣y+1＝0平行，则a＝　 　．
15．（5分）已知F为椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点，A为椭圆C的右顶点，P是椭圆C上一点，且PF垂直于x轴，若直线PA的斜率为，则椭圆C的离心率为 　 　．
16．（5分）三棱锥S﹣ABC中，∠SAC＝∠SBC＝90°，SC⊥AB，SC＝2AB，三棱锥S﹣ABC的体积是4，则它的外接球体积的最小值是　 　．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）已知数列{an}满足（an+1﹣2）（an﹣2）＝2（an﹣an+1），a1＝3，令bn＝．
（1）求证：数列{bn}是等差数列；
（2）求数列{}的前n项和Sn．
18．（12分）在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备）．已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．设三台设备的可靠度均为r（0＜r＜1），它们之间相互不影响．
（1）要使系统的可靠度不低于0.992，求r的最小值；
（2）当r＝0.9时，求能正常工作的设备数X的分布列；
（3）已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可能给该产业园带来约50万的经济损失．为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案：
方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.9，更新设备硬件总费用为8万元；
方案2：对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在0.8，设备维护总费用为5万元．
请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策？
19．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD．
（1）求证：平面ACD⊥平面ABC；
（2）若＝，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．

20．（12分）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为E的准线上一点，O是坐标原点，且•＝﹣．
（1）求抛物线E的方程；
（2）过Q（1，0）的动直线与E交于C，D两点，问：在x轴上是否存在定点M（t，0）（t≠0），使得x轴平分∠CMD？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（12分）已知函数f（x）＝mex﹣ln（x+1）+lnm．
（Ⅰ）若f（x）在x＝0处取到极值，求m的值及函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≥1，求m的取值范围．
（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线C1和圆C2的极坐标方程分别为ρcos（θ﹣）＝2和ρ＝2cosθ．
（Ⅰ）求圆C2上的点到直线C1的最小距离；
（Ⅱ）椭圆C的参数方程为（α为参数），当椭圆C的顶点在直线C1上时．求椭圆C的标准方程．
[选修4-5:不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+x，a∈R．
（Ⅰ）若f （1）+f（2）＞5，求a的取值范围；
（Ⅱ）若a，b∈N*，关于x的不等式f（x）＜b的解集为（﹣∞，），求a，b的值．

2021年全国高考数学模拟试卷（一）（5月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A＝{（﹣1，1）}，B＝{y|y＝x+2，x∈R}，则A，B的关系可以是（　　）
A．A＝B B．A∈B C．A∩B＝∅ D．A⊆B
【分析】可看出集合A的元素是有序数对，而集合B的元素是实数，从而得出这两个集合无公共元素，从而可得出正确的选项．
【解答】解：集合A的元素是有序数对，集合B的元素是实数，
∴A∩B＝∅．
故选：C．
2．（5分）已知复数z＝，是复数z的共轭复数，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（　　）
A．z的虚部为i B．|z|＝2 C．＝﹣+i D．z2为纯虚数
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．
【解答】解：z＝＝＝+i，
A：∵z的虚部为1，∴A错误，
B：|z|＝＝2，∴B正确，
C：∵＝﹣i，∴C错误，
D：∵z2＝＝3+2i+i2＝2i，∴D错误．
故选：B．
3．（5分）2020年11月24日凌晨4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号遥五运载火箭把嫦娥五号探测器顺利地送入预定轨道，开启我国首次外太空采样返回之旅．据科学家们测算：火箭的最大速度至少达11.2千米/秒时，可将嫦娥五号探测器顺利送入外太空．若火箭的最大速度v（单位：米/秒）、燃料的质量M（单位：吨）和嫦娥五号探测器的质量m（单位：吨）近似满足函数关系式v＝5600•lg（1+），当燃料质量与嫦娥五号探测器质量的比值至少为（　　）顺利送入外太空．

A．9 B．99 C．999 D．9999
【分析】利用所给出的公式，直接计算即可．
【解答】解：由题意可知，5600×，
即，，
∴，
故选：B．
4．（5分）若角α的终边与单位圆的交点为P（），则点Q（sin（π﹣α）﹣cosα，cos（））位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，得出结论．
【解答】解：在单位圆中，已知角α的终边上与单位圆的交点为P（），
∴cosα＝﹣，sinα＝，
∴sin（π﹣α）﹣cosα＝sinα﹣cosα＝＞0，cos（）＝﹣sinα＜0，
∴点Q（sin（π﹣α）﹣cosα，cos（））位于第四象限，
故选：D．
5．（5分）已知的展开式中常数项为112，则实数a的值为（　　）
A．±1 B．1 C．2 D．±2
【分析】在通项中，令x的指数为0求出常数项即可得结论．
【解答】解：通项公式为Tr+1＝•（﹣）r＝（﹣2a）r••x，
令 ＝0，解得r＝2，
所以常数项为（﹣2a）2•＝112，解得a＝±1．
故选：A．
6．（5分）满足“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充要条件的电路图是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先分析电路图，再结合串联、并联电路即可得解．
【解答】解：由题图A，闭合开关K1或者闭合开关K2都可以使灯泡R亮；反之，若要使灯泡R亮，不一定非要闭合开关K1，因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充分不必要条件．
由题图B，闭合开关K1而不闭合开关K2，灯泡R不亮；反之，若要使灯泡R亮，则开关K1必须闭合．因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的必要不充分条件．
由题图C，闭合开关K1可使灯泡R亮；反之，若要使灯泡R亮，开关K1一定是闭合的．因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充要条件．
由题图D，闭合开关K1但不闭合开关K2，灯泡R不亮；反之，灯泡R亮也可不闭合开关K1，只要闭合开关K2即可．因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的既不充分也不必要条件．
故选：C．
7．（5分）若直线y＝x+3与圆x2+y2﹣2ax﹣4y+a2+3＝0有两个不同的公共点，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣） B．（﹣﹣1，） C．（﹣，+1） D．（﹣﹣1，﹣1）
【分析】先把圆的方程整理成标准方程，求得圆的半径和圆心坐标，进而根据直线与圆总有两个交点，判断出圆心到直线的距离小于半径，根据点到直线的距离建立不等式求得a的范围．
【解答】解：整理圆方程为（x﹣a）2+（y﹣2）2＝1，
∴圆心坐标（a，2），半径r＝1，
∵直线与圆总有两个不同交点，
∴圆心到直线的距离小于半径，
即 ＜1，解得：a∈（﹣﹣1，﹣1），
故选：D．
8．（5分）陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（　　）

A．（7+2）π B．（10+2）π C．（10+4）π D．（11+4）π
【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．
【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：上部是圆柱，下部是圆锥，
几何体的表面积为：＝（10+4）π．
故选：C．

9．（5分）已知函数f（x）＝，若a＝60.01，b＝log62，c＝log60.9，则有（　　）
A．f（b）＞f（a）＞f（c） B．f（c）＞f（a）＞f（b）
C．f（a）＞f（c）＞f（b） D．f（a）＞f（b）＞f（c）
【分析】根据f（x）的解析式即可判断f（x）在（0，+∞）上是增函数，并且x＞0时，f（x）＞0，x＜0时，f（x）＜0，利用有理指数幂与对数的运算性质判断a＞1＞b＞0＞c，从而可得出f（a），f（b）和f（c）的大小关系．
【解答】解：f（x）在（0，+∞）上是增函数，且x＞0时，f（x）＞0，x＜0时，f（x）＜0，
0＜b＝log62＝＜log66＝1，a＝60.01＞60＝1，c＝log60.9＜log61＝0，
∴0＜b＜1，a＞1，c＜0，
∴f（a）＞f（b）＞0＞f（c），
∴f（a）＞f（b）＞f（c）．
故选：D．
10．（5分）将函数y＝sinxcosx﹣cos2x+的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，下列结论正确的是（　　）
A．g（x）是最小正周期为2π的偶函数
B．g（x）是最小正周期为4π的奇函数
C．g（x）在[0，]上的最小值为﹣
D．g（x）在（π，2π）上单调递减
【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和余弦型函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：函数y＝sinxcosx﹣cos2x+＝，
图象向左平移个单位得到y＝，
所以函数的最小正周期为π，故A和B错误．
函数在[0，]上单调递减，在在（π，2π）上不是单调函数，故D错误；
当x＝时，cos2x＝﹣1，所以函数g（x）的最小值为﹣，故选项C正确；
故选：C．
11．（5分）在△ABC中，a，b，c是三角形A，B，C的对边，若2cosC（acosB+bcosA）＝c且c＝，sinA＝，sinB＝，则△ABC的面积为（　　）
A． B． C．2 D．3
【分析】直接利用正弦定理和三角形面积公式的应用求出结果．
【解答】解：2cosC（acosB+bcosA）＝c，
利用正弦定理：2cosCsin（A+B）＝sinC，
整理得：2sinCcosC＝sinC，
由于sinC≠0，
所以cosC＝，
由于0＜C＜π，
所以C＝，
由于c＝，sinA＝，sinB＝，
所以2R＝，
则．
故选：A．
12．（5分）如图是一水平放置的青花瓷．它的外形为单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，且其外形上下对称．若该花瓶的最小直径为24cm，瓶口直径为40cm，瓶高为60cm，则该双曲线的虚轴长为（　　）

A． B． C．45 D．90
【分析】首先由题意建立空间直角坐标系，然后结合题意确定双曲线方程即可求得虚轴的长度．
【解答】解：以花瓶最细处所在直线为x轴，花瓶的坚直对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设双曲线的方程为．

由题意可知a＝12，图中的A点坐标为（20，30）．将a＝12，A（20，30）代入双曲线方程，可得，
则双曲线的虚轴长为．
故选：C．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则的最小值是 　　．
【分析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义为可行域内的动点与定点P（0，﹣1）连线的斜率求解．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

由图可知，A（2，0），
的几何意义为可行域内的动点与定点P（0，﹣1）连线的斜率，
由图可知，的最小值为．
故答案为：．
14．（5分）已知函数f（x）＝+ax2，若曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线与直线3x﹣y+1＝0平行，则a＝　1　．
【分析】求导得f'（x）＝+2ax，再由f'（1）＝3，得解．
【解答】解：∵f（x）＝+ax2，
∴f'（x）＝+2ax，
∴f'（1）＝1+2a＝3，解得a＝1．
故答案为：1．
15．（5分）已知F为椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点，A为椭圆C的右顶点，P是椭圆C上一点，且PF垂直于x轴，若直线PA的斜率为，则椭圆C的离心率为 　1﹣　．
【分析】由题意设出点F，A的坐标，结合已知求出P的坐标，再由AP的斜率建立方程即可求解．
【解答】解：设F（﹣c，0），A（a，0），由PF⊥x轴可得xP＝﹣c，yP＝，
又直线PA的斜率为，则点P的坐标为（﹣c，﹣），
则＝，整理可得：＝0，
解得e＝1﹣或﹣1（舍去），
所以椭圆的离心率为1﹣，
故答案为：1﹣．
16．（5分）三棱锥S﹣ABC中，∠SAC＝∠SBC＝90°，SC⊥AB，SC＝2AB，三棱锥S﹣ABC的体积是4，则它的外接球体积的最小值是　　．
【分析】设SC的中点为O，AB的中点为D，DE⊥SC，垂足为E，设SC＝2t，AB＝t，先证O是三棱锥S﹣ABC的外接球的球心，t是半径，然后证明AB⊥平面SDC，结合等体积及勾股定理可求．
【解答】解：设SC的中点为O，AB的中点为D，DE⊥SC，垂足为E，
设SC＝2t，AB＝t，
因为∠SAC＝∠SBC＝90°，SO＝OC＝t，
所以AO＝BO＝t，
所以O是三棱锥S﹣ABC的外接球的球心，t是半径，
因为AO＝BO＝t，AD＝BD，
所以OD⊥AB，
因为SC⊥AB，且OD∩SC＝O，
所以AB⊥平面SDC，
则VS﹣ABC＝VA﹣SCD+VB﹣SCD＝＝4，
整理可得，DE×t2＝12，
因为DE＝＝，
当OE＝0时，DE最大，此时＝12，
解可得，，
此时体积取得最小值＝．
故答案为：．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）已知数列{an}满足（an+1﹣2）（an﹣2）＝2（an﹣an+1），a1＝3，令bn＝．
（1）求证：数列{bn}是等差数列；
（2）求数列{}的前n项和Sn．
【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的变换和等差数列的定义求出数列为等差数列；
（2）首先求出数列{bn}的通项公式，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和．
【解答】证明：（1）数列{an}满足（an+1﹣2）（an﹣2）＝2（an﹣an+1），
整理得：an+1an﹣2an+1﹣2an+4＝2an﹣2an+1，
化简得：，
所以，
故＝（常数），
所以数列{bn}是以为首项，为公差的等差数列；
（2）由于数列{bn}是以为首项，为公差的等差数列；
所以，
故，
所以，
故＝，
所以＝．
18．（12分）在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备）．已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．设三台设备的可靠度均为r（0＜r＜1），它们之间相互不影响．
（1）要使系统的可靠度不低于0.992，求r的最小值；
（2）当r＝0.9时，求能正常工作的设备数X的分布列；
（3）已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可能给该产业园带来约50万的经济损失．为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案：
方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.9，更新设备硬件总费用为8万元；
方案2：对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在0.8，设备维护总费用为5万元．
请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策？
【分析】（1）由对立事件可得关于r的不等式，解之即可求解；
（2）由题意可知，X～B（3，r），从而可求得X的分布列；
（3）方案1、方案2的总损失分别为X1，X2，根据题意结合（1）（2）分别计算E（X1），E（X2），从而可得结论．
【解答】解：（1）要使系统的可靠度不低于0.992，
则1﹣（1﹣r）3≥0.992，
解得r≥0.8，故r的最小值为0.8．
（2）X正常工作的设备数，由题意可知，X～B（3，r），
P（X＝0）＝×0.90×（1﹣0.9）3＝0.001，
P（X＝1）＝×0.91×（1﹣0.9）2＝0.027，
P（X＝2）＝×0.92×（1﹣0.9）1＝0.243，
P（X＝3）＝×0.93×（1﹣0.9）0＝0.729，
从而X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.001
0.027
0.243
0.729
（3）设方案1、方案2的总损失分别为X1，X2，
采用方案1，更换部分设备的硬件，使得设备可靠度达到0.9，由（2）可知计算机网络断掉的概率为0.001，不断掉的概率为0.999，
因为E（X1）＝80000+0.001×500000＝80500元．
采用方案2，对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在0.8，由（1）可知计算机网络断掉的概率为0.008，
E（X2）＝50000+0.008×500000＝54000元，
因此，从期望损失最小的角度，决策部分应选择方案2．
19．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD．
（1）求证：平面ACD⊥平面ABC；
（2）若＝，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．

【分析】（1）取AC的中点O，连接BO，OD，证明OB⊥AC，OB⊥OD，从而OB⊥平面ACD，由此能证明平面ACD⊥平面ABC；
（2）由OB⊥平面ACD，OD⊥AC，以O为坐标原点，分别以OA、OB、OD所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．不妨取AB＝2，结合＝，分别求出平面ADE与平面ACE的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角D﹣AE﹣C的余弦值．
【解答】（1）证明：如图所示，取AC的中点O连接BO，OD．
∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC，
在△ABD与△CBD中，∵AB＝BD＝BC，∠ABD＝∠CBD，
∴△ABD≌△CBD，∴AD＝CD，
∵△ACD是直角三角形，∴AC是斜边，则∠ADC＝90°，
∵DO＝AC，∴DO2+BO2＝AB2＝BD2，则OB⊥OD，
又DO∩AC＝O，∴OB⊥平面ACD．
又OB⊂平面ABC，∴平面ACD⊥平面ABC；
（2）解：由OB⊥平面ACD，OD⊥AC，以O为坐标原点，
分别以OA、OB、OD所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
不妨取AB＝2，又＝，
则O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，，0），E（0，，）．
＝（﹣1，0，1），＝（﹣1，，），＝（﹣2，0，0），
设平面ADE的法向量为＝（x，y，z），
则，取x＝3，得＝（3，，3）．
设平面ACE的法向量为，
则，取z1＝﹣2，得．
∴cos＜＞＝＝，
由图可知，二面角D﹣AE﹣C为锐角，
∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为．

20．（12分）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为E的准线上一点，O是坐标原点，且•＝﹣．
（1）求抛物线E的方程；
（2）过Q（1，0）的动直线与E交于C，D两点，问：在x轴上是否存在定点M（t，0）（t≠0），使得x轴平分∠CMD？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（），设P（，yP），可得，再由•＝﹣求解p，则抛物线E的方程可求；
（2）假设在x轴上是否存在定点M（t，0）（t≠0），使得x轴平分∠CMD，设动直线的方程为x＝my+，联立直线方程与抛物线方程，利用根与系数的关系及斜率公式求得求得，把根与系数的关系代入，即可求得t值得结论．
【解答】解：（1）抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（），
设P（，yP），则，，
∵•＝﹣，∴，得p＝3．
∴抛物线E的方程为y2＝6x；
（2）假设在x轴上是否存在定点M（t，0）（t≠0），使得x轴平分∠CMD，
设动直线的方程为x＝my+，点C（x1，y1），D（x2，y2），
联立，可得y2﹣6my﹣9＝0．
Δ＝36m2+36＞0恒成立，
且y1+y2＝6m，y1y2＝﹣9，
设直线MC，MD的斜率分别为k1，k2，
则＝
＝＝＝0，
∴，
把根与系数的关系代入，可得﹣9m﹣6mt＝0，得t＝﹣．
故存在t＝﹣，满足题意．
综上所述，在x轴上是否存在定点M（﹣，0），使得x轴平分∠CMD．
21．（12分）已知函数f（x）＝mex﹣ln（x+1）+lnm．
（Ⅰ）若f（x）在x＝0处取到极值，求m的值及函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≥1，求m的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据f′（0）＝0，求出m的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）根据函数的单调性求出f（x）的最小值，得到满足f（x）≥1时x的范围，从而求出m的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（﹣1，+∞），f′（x）＝mex﹣，
∵f（x）在x＝0处取到极值，∴f′（0）＝m﹣1＝0，解得：m＝1，
m＝1时，f′（x）＝ex﹣，f″（x）＝ex+＞0，
故f′（x）在（﹣1，+∞）递增，而f′（0）＝0，
故x＜0时，f′（x）＜0，x＞0时，f′（x）＞0，
f（x）在（﹣1，0）递减，在（0，+∞）递增，
故x＝0是f（x）的极小值点，符合题意；
（Ⅱ）f（x）＝mex﹣ln（x+1）+lnm＝ex+lnm﹣ln（x+1）+lnm≥1，
⇔ex+lnm+x+lnm≥ln（x+1）+x+1①，
设g（x）＝ex+x，则g（x+lnm）＝ex+lnm+x+lnm，
g（ln（x+1））＝x+1+ln（x+1），
故①式等价于g（x+lnm）≥g（ln（x+1）），
∵g′（x）＝ex+1＞0，∴g（x）递增，
故只需证明x+lnm≥ln（x+1），即证明lnm≥ln（x+1）﹣x＝h（x），
而h′（x）＝﹣1＜0，h（x）递减，故h（x）＜h（0）＝0，
故lnm≥0，m≥1，即m的取值范围是[1，+∞）．
（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线C1和圆C2的极坐标方程分别为ρcos（θ﹣）＝2和ρ＝2cosθ．
（Ⅰ）求圆C2上的点到直线C1的最小距离；
（Ⅱ）椭圆C的参数方程为（α为参数），当椭圆C的顶点在直线C1上时．求椭圆C的标准方程．
【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换；
（Ⅱ）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．
【解答】解：（Ⅰ）直线C1和圆C2的极坐标方程分别为ρcos（θ﹣）＝2和ρ＝2cosθ．
根据转换为直角坐标方程为和（x﹣1）2+y2＝1．
所以圆心到直线的距离d＝，
最小距离为．
（Ⅱ）由于椭圆的顶点在直线C1上，所以直线与坐标轴的交点坐标为（4）和（0，4），
所以a＝4，b＝4，
故椭圆的标准方程为．
[选修4-5:不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+x，a∈R．
（Ⅰ）若f （1）+f（2）＞5，求a的取值范围；
（Ⅱ）若a，b∈N*，关于x的不等式f（x）＜b的解集为（﹣∞，），求a，b的值．
【分析】（Ⅰ）通过讨论a的范围，去掉绝对值，求出a的范围即可；
（Ⅱ）通过讨论x的范围，去掉绝对值，求出不等式的解集，得到关于a，b的不等式组，求出a，b的值即可．
【解答】解：（Ⅰ）由f（1）+f（2）＞5得|1﹣a|+|2﹣a|＞2，
当a≥2时，a﹣1+a﹣2＞2，解得：a＞，
当1≤a＜2时，a﹣1+2﹣a＞2，不等式无解，
当a≤1时，1﹣a+2﹣a＞2，解得：a＜，
综上，a的范围是（﹣∞，）∪（，+∞）；
（Ⅱ）∵f（x）＜b，
∴|x﹣a|+x＜b，
当x≥a时，x﹣a+x＜b，解得：x＜，
当x＜a时，a﹣x+x＜b，得a＜b，
由不等式的解集是（﹣∞，），
则，又a，b∈N*，
故a＝1，b＝2．