2020-2021学年广西省贺州市高二（下）期末考试数学（文）试卷北师大版

这是一份2020-2021学年广西省贺州市高二（下）期末考试数学（文）试卷北师大版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知复数z=a+2−bi的实部和虚部分别是2和3，则a，b的值分别是( )
A.2，5B.1，3C.2，1D.2，−1

2. 命题“∀ x∈R，x3−x2+1≤0”的否定是( )
A.∃ x∈R，x3−x2+1≥0B.∃ x∈R，x3−x2+1>0
C.∃ x∈R，x3−x2+1≤0D.∀ x∈R，x3−x2+1>0

3. 对变量x，y有观测数据(xi, yi)(i=1, 2,…,10)，得散点图1；对变量u，v有观测数据(ui, vi)(i=1, 2,…,10)，得散点图2．由这两个散点图可以判断( )

A.变量x与y正相关，u与v正相关
B.变量x与y正相关，u与v负相关
C.变量x与y负相关，u与v正相关
D.变量x与y负相关，u与v负相关

4. 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2xf′(1)+lnx，则f′(1)=( )
A.−eB.−1C.1D.e

5. 设复数z满足(1+i)z=i，则z=( )
A.12+12iB.12−12iC.−12+12iD.−12−12i

6. 已知曲线y=x3+ax在x=1处的切线与直线y=−14x+3垂直，则a=（ ）
A.−3B.−1C.1D.3

7. 设x∈R，则“x<6”是“x−2<2”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8. 已知实数x，y满足x2+y2=2，则x+y的最大值为( )
A.1B.2C.2D.22

9. 已知直线y=kx+2(k∈R)与椭圆x29+y2t=1恒有公共点，则实数t的取值范围是( )
A.(0, 4]B.[4, 9)C.(9, +∞)D.[4, 9)∪(9, +∞)

10. 数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，甲：我不会证明；乙：丙会证明；丙：丁会证明；丁：我不会证明.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是( )
A.甲B.乙C.丙D.丁

11. 我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争．小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的n的值为( )

A.20B.25C.30D.35

12. 已知定义在0,+∞上的函数fx的导函数是f′x，满足fx+xf′x>0，且f2=0，则fx>0的解集为( )
A.2,+∞B.0,2C.0,2∪2,+∞D.⌀
二、填空题


用数学归纳法证明：4n≥n4(n≥4, n∈N)，第一步验证n=________．

双曲线方程为x2a2−y2b2=1，离心率为5，则渐近线方程为________．

函数f(x)=lnx−12x2的递减区间为________．

已知抛物线y2=2pxp>0上的一点M到x轴的距离为4，到焦点的距离为5，则p=________．
三、解答题

2021年，福建、河北、辽宁、江苏、湖北、湖南、广东、重庆8省市将迎来“3+1+2”新高考模式．“3”指的是；语文、数学、英语，统一高考；“1”指的是：物理和历史，考生从中选一科；“2”指的是：化学、生物、地理和政治，考生从四科中选两科．为了迎接新高考，某中学调查了高一年级全体学生的选科倾向，随机抽取了100人，其中男生50人，男生选考物理40人，女生选考历史20人．
(1)完成2×2列联表，并根据表中数据判断是否有95%的把握认为“选考物理与性别有关”；

(2)从女生中按选考倾向分层抽样选取5人，再从这5人中任选3人，求这3人中至多有1人选考历史的概率．
参考数据：K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d．

以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为(1, 2)，点C的极坐标为(3,π2)，若直线l过点P，且倾斜角为π6，圆C是以点C为圆心，3为半径的圆．

(1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；

(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|⋅|PB|.


(1)已知ab>0，a+b=1，求1a+1b的最小值；

(2)解不等式|x+1|+|x−1|≤2．

已知命题p：(x+1)(x−5)≤0，命题q:1−m≤x≤1+m(m>0)．
(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；

(2)若m=5，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围．

已知椭圆M:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为63，焦距为22．斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B．
(1)求椭圆M的方程；

(2)若k=1，求|AB|的最大值；

已知函数fx=lnx−axa∈R．
(1)讨论函数fx的单调性；

(2)若fx≤0恒成立，求a的取值范围；

(3)当函数fx有最大值且最大值大于a−2时，求a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年广西省贺州市高二（下）期末考试数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
复数的基本概念
【解析】
无
【解答】
解：因为复数z=a+2−bi的实部和虚部分别是2和3，
所以a=2,2−b=3,
解得a=2,b=−1,
所以a、b的值分别是2，−1．
故选D．
2.
【答案】
B
【考点】
命题的否定
【解析】
无
【解答】
解：全称命题的否定为特称命题，并否定结论，
所以原命题的否定为∃x∈R，x3−x2+1>0．
故选B．
3.
【答案】
C
【考点】
散点图
【解析】
通过观察散点图可以知道，y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y负相关，u随v的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u与v正相关．
【解答】
解：由题图1可知，y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y负相关，
由题图2可知，u随v的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u与v正相关．
故选C.
4.
【答案】
B
【考点】
常用函数的导数
函数的求值
【解析】
本题考查常用函数的导数.
【解答】
解：由f(x)=2xf′(1)+lnx，
得f′(x)=2f′(1)+1x，
则f′(1)=2f′(1)+11⇒f′(1)=−1.
故选B.
5.
【答案】
A
【考点】
复数代数形式的乘除运算
【解析】
把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求值．
【解答】
解：由(1+i)z=i，得
z=i1+i=i(1−i)(1+i)(1−i)
=1+i2=12+12i.
故选A.
6.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
无
【解答】
解：因为y′=3x2+a，
所以当x=1时，y′=3+a，
所以据题意得，3+a=4，
所以a=1．
故选C．
7.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
无
【解答】
解：因为x−2<2⇒2≤x<6，
所以“x<6”是“x−2<2”的必要不充分条件．
故选B．
8.
【答案】
C
【考点】
圆的参数方程
正弦函数的定义域和值域
【解析】
无
【解答】
解：由题意得x=2csθ,y=2sinθ,
则x+y=2csθ+2sinθ=2sinθ+π4≤2．
故选C．
9.
【答案】
D
【考点】
直线与椭圆结合的最值问题
圆锥曲线的综合问题
【解析】
根据题意，分析可得直线y＝kx+2(k∈R)恒过定点(0, 2)，分析椭圆与y轴正半轴的交点，结合直线与椭圆的位置关系分析可得t≥2t≠9 ，解可得t的取值范围，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，直线y=kx+2(k∈R)恒过定点(0, 2)，
椭圆x29+y2t=1与y轴正半轴的交点为(0, t)，
若直线y=kx+2(k∈R)与椭圆x29+y2t=1恒有公共点，
必有t≥2，t≠9，
解得t≥4且t≠9，
则t的取值范围为[4, 9)∪(9, +∞).
故选D.
10.
【答案】
A
【考点】
进行简单的合情推理
合情推理的作用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：四个人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，丙：丁会证明，丁：我不会证明，所以丙与丁中一定有一个是正确的；若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那个人，符合题意；以此类推，易得出答案A.
故选A.
11.
【答案】
B
【考点】
程序框图
【解析】
本题主要考查我国古代数学文化与程序框图的结合．
【解答】
解：执行程序框图，
n=20，m=80，S=60+803≠100；
n=21，m=79，S=63+793≠100；
n=22，m=78，S=66+783≠100；
n=23，m=77，S=69+773≠100；
n=24，m=76，S=72+763≠100；
n=25，m=75，S=75+25=100，
退出循环，输出的n=25．
故选B．
12.
【答案】
A
【考点】
其他不等式的解法
利用导数研究函数的单调性
【解析】
无
【解答】
解：令Fx=xfx，则F′x=fx+xf′x>0，
所以Fx在0,+∞上单调递增，且F2=2f2=0，
所以fx=Fxx>0，即Fx>0，即Fx>F(2)，
所以x>2，
所以fx>0的解集为2,+∞．
故选A．
二、填空题
【答案】
4
【考点】
数学归纳法
【解析】
根据数学归纳法的步骤，结合本题的题意，是要验证n=4时，命题成立；将n=4代入不等式，可得答案．
【解答】
解：根据数学归纳法的步骤，
首先要验证证明当n取第一个值时命题成立；
结合本题n≥4，n∈N，
故要验证n=4时，
4n≥n4的成立即44≥44成立；
故答案为：4．
【答案】
y=±2x
【考点】
双曲线的渐近线
【解析】
运用双曲线的离心率公式和a，b，c的关系，结合渐近线方程，即可得到所求．
【解答】
解：由题意可得e=ca=5，即c=5a，
则b=c2−a2=2a，
由渐近线方程y=±bax，
可得y=±2x．
故答案为：y=±2x．
【答案】
(1, +∞)
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
根据利用导数判断函数单调性方法，首先求定义域，求导函数，f′(x)<0即可得f(x)的单调减区间．
【解答】
解：∵ 函数的定义域为(0, +∞)，
∴ f′(x)=1x−x=1−x2x=(1−x)(1+x)x.
令f′(x)<0，
∴ x>1，
∴ f(x)的单调递减区间为(1, +∞)．
故答案为：(1, +∞)．
【答案】
2或8
【考点】
抛物线的标准方程
抛物线的定义
【解析】
无
【解答】
解：抛物线y2=2pxp>0上的一点M到x轴的距离为4，到焦点的距离为5，
如图.
可得|FQ|=3，
所以p=5±|FQ|，
所以p=2或8．
故答案为：2或8．
三、解答题
【答案】
解：(1)根据题意补全2×2列联表如下：
根据表中数据，可得K2=100×40×20−10×30250×50×70×30≈4.762>3.841，
故有95%的把握认为“选考物理与性别有关”．
(2)由题意得：5名女生中有3人选考物理，设为A1，A2，A3，有2人选考历史，设为B1，B2，
从中选3人的总体情况有：
A1A2A3，A1A2B1，A1A2B2，A1A3B1，A1A3B2，A1B1B2，A2A3B1，A2A3B2，A2B1B2，A3B1B2，共10种，
至多有1人选考历史有7种，
所以概率P=710．
【考点】
独立性检验
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)根据题意补全2×2列联表如下：
根据表中数据，可得K2=100×40×20−10×30250×50×70×30≈4.762>3.841，
故有95%的把握认为“选考物理与性别有关”．
(2)由题意得：5名女生中有3人选考物理，设为A1，A2，A3，有2人选考历史，设为B1，B2，
从中选3人的总体情况有：
A1A2A3，A1A2B1，A1A2B2，A1A3B1，A1A3B2，A1B1B2，A2A3B1，A2A3B2，A2B1B2，A3B1B2，共10种，
至多有1人选考历史有7种，
所以概率P=710．
【答案】
解：(1)直线l的参数方程为x=1+32ty=2+12t （t为参数），
圆的极坐标方程为ρ=6sinθ．
(2)圆C化为直角坐标方程为：x2+(y−3)2=9，
把x=1+32t，y=2+12t 代入x2+(y−3)2=9，
得t2+(3−1)t−7=0，
设点A，B对应的参数分别为t1，t2，
∴ t1t2=−7，则|PA|=|t1|，|PB|=|t2|，
∴ |PA|⋅|PB|=7．
【考点】
圆的极坐标方程
参数方程与普通方程的互化
直线与圆的位置关系
直线的参数方程
【解析】
（I）根据题意直接求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程．
(II)把x=1+32ty=2+12t 代入x2+(y−3)2＝9，利用参数的几何意义，即可得出结论．
【解答】
解：(1)直线l的参数方程为x=1+32ty=2+12t （t为参数），
圆的极坐标方程为ρ=6sinθ．
(2)圆C化为直角坐标方程为：x2+(y−3)2=9，
把x=1+32t，y=2+12t 代入x2+(y−3)2=9，
得t2+(3−1)t−7=0，
设点A，B对应的参数分别为t1，t2，
∴ t1t2=−7，则|PA|=|t1|，|PB|=|t2|，
∴ |PA|⋅|PB|=7．
【答案】
解：(1)因为ab>0，a+b=1，
所以a>0，b>0，
1a+1b=a+b1a+1b=2+ba+ab≥2+2ba×ab=4，
当且仅当a=b=12时等号成立．
(2)当x<−1时，原不等式可化为−x−1+1−x≤2，
解得x≥−1，故无解；
当−1≤x≤1时，原不等式可化为x+1+1−x=2≤2，恒成立；
当x>1时，原不等式可化为x+1+x−1≤2．
解得x≤1，故无解.
综上，不等式|x+1|+|x−1|≤2的解集为−1,1．
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
绝对值不等式的解法与证明
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)因为ab>0，a+b=1，
所以a>0，b>0，
1a+1b=a+b1a+1b=2+ba+ab≥2+2ba×ab=4，
当且仅当a=b=12时等号成立．
(2)当x<−1时，原不等式可化为−x−1+1−x≤2，
解得x≥−1，故无解；
当−1≤x≤1时，原不等式可化为x+1+1−x=2≤2，恒成立；
当x>1时，原不等式可化为x+1+x−1≤2．
解得x≤1，故无解.
综上，不等式|x+1|+|x−1|≤2的解集为−1,1．
【答案】
解：(1)解出p:−1≤x≤5，
∵ p是q的充分条件，
∴ [−1, 5]是[1−m, 1+m]的子集，
∴ m>0，1−m≤−1，1+m≥5，
得m≥4，
∴ 实数m的取值范围为[4, +∞)；
(2)当m=5时，q:−4≤x≤6．
依题意，p与q一真一假，
p真q假时，由−1≤x≤5，x<−4或x>6，得x∈⌀；
p假q真时，由x<−1或x>5，−4≤x≤6， 得−4≤x<−1或5∴ 实数m的取值范围为[−4, −1)∪(5, 6].
【考点】
逻辑联结词“或”“且”“非”
根据充分必要条件求参数取值问题
【解析】
（1）首先整理出P命题的解，根据p是q的充分条件，得到p的解集是q的解集的子集，写出解的两端数字之间的关系，得到不等式组，解不等式组，得到结果．
（2）首先根据“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，判断出p与q一真一假，对于两个命题的一真一假进行讨论，把得到的两个结果求两个解集的交集．
【解答】
解：(1)解出p:−1≤x≤5，
∵ p是q的充分条件，
∴ [−1, 5]是[1−m, 1+m]的子集，
∴ m>0，1−m≤−1，1+m≥5，
得m≥4，
∴ 实数m的取值范围为[4, +∞)；
(2)当m=5时，q:−4≤x≤6．
依题意，p与q一真一假，
p真q假时，由−1≤x≤5，x<−4或x>6，得x∈⌀；
p假q真时，由x<−1或x>5，−4≤x≤6， 得−4≤x<−1或5∴ 实数m的取值范围为[−4, −1)∪(5, 6].
【答案】
解：(1)由题意得2c=22，所以c=2，
又e=ca=63，所以a=3，
所以b2=a2−c2=1，
所以椭圆M的标准方程为x23+y2=1．
(2)设直线AB的方程为y=x+m，
由y=x+m，x23+y2=1， 消去y可得4x2+6mx+3m2−3=0，
则Δ=36m2−4×4(3m2−3)=48−12m2>0，即m2<4，
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x1+x2=−3m2，x1x2=3m2−34，
则|AB|=1+k2|x1−x2|=1+k2⋅(x1+x2)2−4x1x2=6×4−m22，
易得当m2=0时，|AB|max=6，故|AB|的最大值为6．
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的离心率
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意得2c=22，所以c=2，
又e=ca=63，所以a=3，
所以b2=a2−c2=1，
所以椭圆M的标准方程为x23+y2=1．
(2)设直线AB的方程为y=x+m，
由y=x+m，x23+y2=1， 消去y可得4x2+6mx+3m2−3=0，
则Δ=36m2−4×4(3m2−3)=48−12m2>0，即m2<4，
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x1+x2=−3m2，x1x2=3m2−34，
则|AB|=1+k2|x1−x2|=1+k2⋅(x1+x2)2−4x1x2=6×4−m22，
易得当m2=0时，|AB|max=6，故|AB|的最大值为6．
【答案】
解：(1)函数fx的定义域为(0,+∞)，f′x=1x−a=1−axx.
当a≤0时，f′x>0，函数fx在0,+∞上单调递增；
当a>0时，由f′x=0，解得x=1a，
当x∈0,1a，f′x>0，fx单调递增；当x∈1a,+∞，f′x<0，fx单调递减．
综上所述；当a≤0时，函数fx在0,+∞上单调递增，
当a>0时，函数fx在0,1a上单调递增，在1a,+∞上单调递减．
(2)fx≤0恒成立⇔a≥lnxxmax．
令gx=lnxx，则g′x=1−lnxx2．
由g′x=0，解得x=e，
可知gx在0,e上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，
所以gxmax=ge=1e，即a≥1e．
(3)由(1)知，当函数fx有最大值时，a>0，
且最大值fxmax=f1a=ln1a−1，
此时ln1a−1>a−2，即lna+a−1<0.
令ℎa=lna+a−1a>0，
因为ℎ1=0且ℎa在0,+∞上单调递增，
所以ℎa<0=ℎ1，
所以0故a的取值范围为0,1．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的最值
【解析】
无
无
无
【解答】
解：(1)函数fx的定义域为(0,+∞)，f′x=1x−a=1−axx.
当a≤0时，f′x>0，函数fx在0,+∞上单调递增；
当a>0时，由f′x=0，解得x=1a，
当x∈0,1a，f′x>0，fx单调递增；当x∈1a,+∞，f′x<0，fx单调递减．
综上所述；当a≤0时，函数fx在0,+∞上单调递增，
当a>0时，函数fx在0,1a上单调递增，在1a,+∞上单调递减．
(2)fx≤0恒成立⇔a≥lnxxmax．
令gx=lnxx，则g′x=1−lnxx2．
由g′x=0，解得x=e，
可知gx在0,e上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，
所以gxmax=ge=1e，即a≥1e．
(3)由(1)知，当函数fx有最大值时，a>0，
且最大值fxmax=f1a=ln1a−1，
此时ln1a−1>a−2，即lna+a−1<0.
令ℎa=lna+a−1a>0，
因为ℎ1=0且ℎa在0,+∞上单调递增，
所以ℎa<0=ℎ1，
所以0故a的取值范围为0,1．选考物理
选考历史
总计
男生
女生
总计
PK2≥k0
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
选考物理
选考历史
总计
男生
40
10
50
女生
30
20
50
总计
70
30
100
选考物理
选考历史
总计
男生
40
10
50
女生
30
20
50
总计
70
30
100