2020-2021学年广西贺州市高二（下）期末考试数学（理）试卷北师大版

这是一份2020-2021学年广西贺州市高二（下）期末考试数学（理）试卷北师大版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 设复数z满足(1+i)z=i，则z=( )
A.12+12iB.12−12iC.−12+12iD.−12−12i

2. 命题“∀ x∈R，x3−x2+1≤0”的否定是( )
A.∃ x∈R，x3−x2+1≥0B.∃ x∈R，x3−x2+1>0
C.∃ x∈R，x3−x2+1≤0D.∀ x∈R，x3−x2+1>0

3. 已知ab>0，a+b=1，则1a+1b的最小值为（ ）
A.0.5B.1C.2D.4

4. x2+2x5的展开式中x4的系数为( )
A.10B.20C.40D.80

5. 已知曲线y=x3+ax在x=1处的切线与直线y=−14x+3垂直，则a=（ ）
A.−3B.−1C.1D.3

6. 设x∈R，则“x<6”是“x−2<2”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7. 高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（ ）
A.1800B.3600C.4320D.5040

8. 对变量x，y有观测数据(xi, yi)(i=1, 2,…,10)，得散点图1；对变量u，v有观测数据(ui, vi)(i=1, 2,…,10)，得散点图2．由这两个散点图可以判断( )

A.变量x与y正相关，u与v正相关
B.变量x与y正相关，u与v负相关
C.变量x与y负相关，u与v正相关
D.变量x与y负相关，u与v负相关

9. 已知直线y=kx+2(k∈R)与椭圆x29+y2t=1恒有公共点，则实数t的取值范围是( )
A.(0, 4]B.[4, 9)C.(9, +∞)D.[4, 9)∪(9, +∞)

10. 口袋中有编号分别为1, 2, 3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为（ ）
A.13B.23C.2D.83

11. 由曲线y=x2和曲线y=x围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分面积为( )

A.13B.310C.14D.15

12. 已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f′(x)−f(x)>0，f(2021)=e2021，则不等式f(13lnx)<3x的解集为( )
A.(0, e6063)B.(0, e2021)C.(e2021, +∞)D.(e6063, +∞)
二、填空题


用数学归纳法证明：4n≥n4(n≥4, n∈N)，第一步验证n=________．

双曲线方程为y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)，离心率为5，则渐近线方程为________．

不等式|x+1|+|x−1|≤2的解集为________．

已知抛物线y2=2pxp>0上的一点M到x轴的距离为4，到焦点的距离为5，则p=________．
三、解答题

2021年，福建、河北、辽宁、江苏、湖北、湖南、广东、重庆8省市将迎来“3+1+2”新高考模式．“3”指的是；语文、数学、英语，统一高考；“1”指的是：物理和历史，考生从中选一科；“2”指的是：化学、生物、地理和政治，考生从四科中选两科．为了迎接新高考，某中学调查了高一年级全体学生的选科倾向，随机抽取了100人，其中男生50人，男生选考物理40人，女生选考历史20人．
(1)完成2×2列联表，并根据表中数据判断是否有95%的把握认为“选考物理与性别有关”；

(2)从女生中按选考倾向分层抽样选取5人，再从这5人中任选3人，求这3人中至多有1人选考历史的概率．
参考数据：K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d．

以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为(1, 2)，点C的极坐标为(3,π2)，若直线l过点P，且倾斜角为π6，圆C是以点C为圆心，3为半径的圆．

(1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；

(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|⋅|PB|.

已知椭圆M:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为63，焦距为22．斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B．
(1)求椭圆M的方程；

(2)若k=1，求|AB|的最大值；

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB//CD，AD⊥DC，AB=AD=2DC=2，E为PB的中点．
(1)求证：CE//平面PAD；

(2)若PA=4，求平面CDE与平面ABCD所成锐二面角的大小．

挑选空军飞行员可以说是“万里挑一”，要想通过需要五关：目测、初检、复检、文考（文化考试）、政审．若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是0.5，0.6，0.75，能通过文考关的概率分别是0.6，0.5，0.4，由于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关之间通过与否没有影响．
(1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检的概率；

(2)设只要通过后三关就可以被录取，求录取人数X的分布列.

已知函数fx=lnx−axa∈R．
(1)讨论函数fx的单调性；

(2)若fx≤0恒成立，求a的取值范围；

(3)当函数fx有最大值且最大值大于a−2时，求a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年广西贺州市高二（下）期末考试数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
复数代数形式的乘除运算
【解析】
把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求值．
【解答】
解：由(1+i)z=i，得
z=i1+i=i(1−i)(1+i)(1−i)
=1+i2=12+12i.
故选A.
2.
【答案】
B
【考点】
命题的否定
【解析】
无
【解答】
解：全称命题的否定为特称命题，并否定结论，
所以原命题的否定为∃x∈R，x3−x2+1>0．
故选B．
3.
【答案】
D
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
无
【解答】
解：因为ab>0，a+b=1．所以a>0，b>0，
1a+1b=a+b1a+1a=2+ab+ba≥2+2ab⋅ba=4．
当且仅当a=b=12时等号成立．
故选D．
4.
【答案】
C
【考点】
二项式定理的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由二项式定理得(x2+2x)5的展开式的通项为：
Tr+1=C5rx25−r2xr=2rC5rx10−3r，
由10−3r=4，解得r=2，
∴ (x2+2x)5展开式中x4的系数为22C52=40．
故选C．
5.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
无
【解答】
解：因为y′=3x2+a，
所以当x=1时，y′=3+a，
所以据题意得，3+a=4，
所以a=1．
故选C．
6.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
无
【解答】
解：因为x−2<2⇒2≤x<6，
所以“x<6”是“x−2<2”的必要不充分条件．
故选B．
7.
【答案】
B
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：先排出舞蹈节目以外的5个节目，共A55种，再把2个舞蹈节目插在6个空位中，有A62种，所以共有A55A62=3600（种）．
故选B．
8.
【答案】
C
【考点】
散点图
【解析】
通过观察散点图可以知道，y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y负相关，u随v的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u与v正相关．
【解答】
解：由题图1可知，y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y负相关，
由题图2可知，u随v的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u与v正相关．
故选C.
9.
【答案】
D
【考点】
直线与椭圆结合的最值问题
圆锥曲线的综合问题
【解析】
根据题意，分析可得直线y＝kx+2(k∈R)恒过定点(0, 2)，分析椭圆与y轴正半轴的交点，结合直线与椭圆的位置关系分析可得t≥2t≠9 ，解可得t的取值范围，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，直线y=kx+2(k∈R)恒过定点(0, 2)，
椭圆x29+y2t=1与y轴正半轴的交点为(0, t)，
若直线y=kx+2(k∈R)与椭圆x29+y2t=1恒有公共点，
必有t≥2，t≠9，
解得t≥4且t≠9，
则t的取值范围为[4, 9)∪(9, +∞).
故选D.
10.
【答案】
D
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
利用离散型随机变量的期望公式求解即可
【解答】
解；因为口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取两个，
所以取出的球的最大编号X的可能取值为2，3，
所以P(X=2)=1C32=13，
P(X=3)=C21C32=23，
所以E(X)=2×13+3×23=83，
故选D．
11.
【答案】
A
【考点】
定积分
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由y=x2 , y=x , 解得x=0 , y=0或x=1，y=1，
所以阴影部分的面积为01(x−x2)dx=13．
故选A．
12.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
设F(x)＝，得到函数F(x)在R上单调递增，F(2021)＝1，不等式转化为F(lnx)【解答】
解：由题可设F(x)=f(x)ex，
∵ f′(x)−f(x)>0，则F′(x)=f′(x)−f(x)ex>0，
∴ 函数F(x)在R上单调递增，F(2021)=f(2021)e2021=1，
将不等式f(13lnx)<3x转化为：
f(13lnx)e13lnx⋅e13lnx=f(13lnx)e13lnx⋅3x<3x，
可得F(13lnx)<1，即F(13lnx)∴ 13lnx<2021，
∴ 0∴ 不等式f(13lnx)<3x的解集为(0, e6063).
故选A.
二、填空题
【答案】
4
【考点】
数学归纳法
【解析】
根据数学归纳法的步骤，结合本题的题意，是要验证n=4时，命题成立；将n=4代入不等式，可得答案．
【解答】
解：根据数学归纳法的步骤，
首先要验证证明当n取第一个值时命题成立；
结合本题n≥4，n∈N，
故要验证n=4时，
4n≥n4的成立即44≥44成立；
故答案为：4．
【答案】
y=±12x
【考点】
双曲线的特性
双曲线的渐近线
【解析】
运用双曲线的离心率公式和a，b，c的关系，结合渐近线方程，即可得到所求．
【解答】
解：由题意可得e=ca=5，
即c=5a，
则b=c2−a2=2a，
由渐近线方程y=±abx，
可得y=±12x．
故答案为：y=±12x．
【答案】
−1,1
【考点】
绝对值不等式的解法与证明
绝对值不等式
【解析】
无
【解答】
解：当x<−1时，原不等式可化为−x−1+1−x≤2，
解得x≥−1，又因为x<−1，故无解；
当−1≤x≤1时，原不等式可化为x+1+1−x=2≤2，恒成立；
当x>1时，原不等式可化为x+1−x−1≤2，
解得x≤1，又因为x>1，故无解；
综上，不等式|x+1|+|x−1|≤2的解集为−1,1．
故答案为：−1,1．
【答案】
2或8
【考点】
抛物线的标准方程
抛物线的定义
【解析】
无
【解答】
解：抛物线y2=2pxp>0上的一点M到x轴的距离为4，到焦点的距离为5，
如图.
可得|FQ|=3，
所以p=5±|FQ|，
所以p=2或8．
故答案为：2或8．
三、解答题
【答案】
解：(1)根据题意补全2×2列联表如下：
根据表中数据，可得K2=100×40×20−10×30250×50×70×30≈4.762>3.841，
故有95%的把握认为“选考物理与性别有关”．
(2)由题意得：5名女生中有3人选考物理，设为A1，A2，A3，有2人选考历史，设为B1，B2，
从中选3人的总体情况有：
A1A2A3，A1A2B1，A1A2B2，A1A3B1，A1A3B2，A1B1B2，A2A3B1，A2A3B2，A2B1B2，A3B1B2，共10种，
至多有1人选考历史有7种，
所以概率P=710．
【考点】
独立性检验
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)根据题意补全2×2列联表如下：
根据表中数据，可得K2=100×40×20−10×30250×50×70×30≈4.762>3.841，
故有95%的把握认为“选考物理与性别有关”．
(2)由题意得：5名女生中有3人选考物理，设为A1，A2，A3，有2人选考历史，设为B1，B2，
从中选3人的总体情况有：
A1A2A3，A1A2B1，A1A2B2，A1A3B1，A1A3B2，A1B1B2，A2A3B1，A2A3B2，A2B1B2，A3B1B2，共10种，
至多有1人选考历史有7种，
所以概率P=710．
【答案】
解：(1)直线l的参数方程为x=1+32ty=2+12t （t为参数），
圆的极坐标方程为ρ=6sinθ．
(2)圆C化为直角坐标方程为：x2+(y−3)2=9，
把x=1+32t，y=2+12t 代入x2+(y−3)2=9，
得t2+(3−1)t−7=0，
设点A，B对应的参数分别为t1，t2，
∴ t1t2=−7，则|PA|=|t1|，|PB|=|t2|，
∴ |PA|⋅|PB|=7．
【考点】
圆的极坐标方程
参数方程与普通方程的互化
直线与圆的位置关系
直线的参数方程
【解析】
（I）根据题意直接求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程．
(II)把x=1+32ty=2+12t 代入x2+(y−3)2＝9，利用参数的几何意义，即可得出结论．
【解答】
解：(1)直线l的参数方程为x=1+32ty=2+12t （t为参数），
圆的极坐标方程为ρ=6sinθ．
(2)圆C化为直角坐标方程为：x2+(y−3)2=9，
把x=1+32t，y=2+12t 代入x2+(y−3)2=9，
得t2+(3−1)t−7=0，
设点A，B对应的参数分别为t1，t2，
∴ t1t2=−7，则|PA|=|t1|，|PB|=|t2|，
∴ |PA|⋅|PB|=7．
【答案】
解：(1)由题意得2c=22，所以c=2，
又e=ca=63，所以a=3，
所以b2=a2−c2=1，
所以椭圆M的标准方程为x23+y2=1．
(2)设直线AB的方程为y=x+m，
由y=x+m，x23+y2=1， 消去y可得4x2+6mx+3m2−3=0，
则Δ=36m2−4×4(3m2−3)=48−12m2>0，即m2<4，
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x1+x2=−3m2，x1x2=3m2−34，
则|AB|=1+k2|x1−x2|=1+k2⋅(x1+x2)2−4x1x2=6×4−m22，
易得当m2=0时，|AB|max=6，故|AB|的最大值为6．
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的离心率
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意得2c=22，所以c=2，
又e=ca=63，所以a=3，
所以b2=a2−c2=1，
所以椭圆M的标准方程为x23+y2=1．
(2)设直线AB的方程为y=x+m，
由y=x+m，x23+y2=1， 消去y可得4x2+6mx+3m2−3=0，
则Δ=36m2−4×4(3m2−3)=48−12m2>0，即m2<4，
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x1+x2=−3m2，x1x2=3m2−34，
则|AB|=1+k2|x1−x2|=1+k2⋅(x1+x2)2−4x1x2=6×4−m22，
易得当m2=0时，|AB|max=6，故|AB|的最大值为6．
【答案】
解：1取PA的中点M，连接EM，DM．
因为EM//CD，EM=CD，所以CE//DM，
又DM⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，
所以CE//平面PAD．
2以A为原点，以AD方向为x轴，以AB方向为y轴，以AP方向为z轴，建立空间直角坐标系．
可得D2,0,0，C2,1,0，P0,0,4，B0,2,0，E0,1,2，
所以CD→=0,−1,0，CE→=−2,0,2，
设平面CDE的法向量为n1=x,y,z．
则n1⋅CD→=0,n1⋅CE→=0,可得y=0,−2x+2z=0,
令z=1，则x=1，
所以平面CDE的法向量为n1=1,0,1，
平面ABCD的法向量为n1=0,0,1，
因此csθ=|n1⋅n2||n1|⋅|n2|=22．
即平面CDE与平面ABCD所成的锐二面角为π4．
【考点】
直线与平面平行的判定
二面角的平面角及求法
【解析】
左侧图片未给出解析
左侧图片未给出解析
【解答】
解：1取PA的中点M，连接EM，DM．
因为EM//CD，EM=CD，所以CE//DM，
又DM⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，
所以CE//平面PAD．
2以A为原点，以AD方向为x轴，以AB方向为y轴，以AP方向为z轴，建立空间直角坐标系．
可得D2,0,0，C2,1,0，P0,0,4，B0,2,0，E0,1,2，
所以CD→=0,−1,0，CE→=−2,0,2，
设平面CDE的法向量为n1=x,y,z．
则n1⋅CD→=0,n1⋅CE→=0,可得y=0,−2x+2z=0,
令z=1，则x=1，
所以平面CDE的法向量为n1=1,0,1，
平面ABCD的法向量为n1=0,0,1，
因此csθ=|n1⋅n2||n1|⋅|n2|=22．
即平面CDE与平面ABCD所成的锐二面角为π4．
【答案】
解：(1)设A，B，C分别表示事件“甲、乙、丙通过复检”，则所求概率
P=PABC¯+PA¯BC¯+PAB¯C
=0.5×1−0.6×1−0.75+1−0.5×0.6×1−0.75+1−0.5×1−0.6×0.75
=0.275．
(2)甲被录取的概率为P甲=0.5×0.6=0.3，
同理P乙=0.6×0.5=0.3，P丙=0.75×0.4=0.3，
所以甲、乙、丙每位同学被录取的概率均为0.3，
即X∼B3,0.3，X的可能取值为0，1，2，3，
其中PX=k=C3k0.3k⋅1−0.33−k，
故PX=0=C30×0.30×1−0.33=0.343，
PX=1=C31×0.3×1−0.32=0.441，
PX=2=C32×0.32×1−0.3=0.189，
PX=3=C33×0.33=0.027，
故X的分布列为
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式
离散型随机变量及其分布列
【解析】
（1）先设A，B，C分别表示事件“甲、乙、丙通过复检”，根据题中条件，由概率的计算公式，即可得出结果；
（2）由题中条件，得到甲、乙、丙每位同学被录取的概率均为0.3，故可看成是独立重复试验，即X−−B3,0.3，X的可能
取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可得出分布列．
【解答】
解：(1)设A，B，C分别表示事件“甲、乙、丙通过复检”，则所求概率
P=PABC¯+PA¯BC¯+PAB¯C
=0.5×1−0.6×1−0.75+1−0.5×0.6×1−0.75+1−0.5×1−0.6×0.75
=0.275．
(2)甲被录取的概率为P甲=0.5×0.6=0.3，
同理P乙=0.6×0.5=0.3，P丙=0.75×0.4=0.3，
所以甲、乙、丙每位同学被录取的概率均为0.3，
即X∼B3,0.3，X的可能取值为0，1，2，3，
其中PX=k=C3k0.3k⋅1−0.33−k，
故PX=0=C30×0.30×1−0.33=0.343，
PX=1=C31×0.3×1−0.32=0.441，
PX=2=C32×0.32×1−0.3=0.189，
PX=3=C33×0.33=0.027，
故X的分布列为
【答案】
解：(1)函数fx的定义域为(0,+∞)，f′x=1x−a=1−axx.
当a≤0时，f′x>0，函数fx在0,+∞上单调递增；
当a>0时，由f′x=0，解得x=1a，
当x∈0,1a，f′x>0，fx单调递增；当x∈1a,+∞，f′x<0，fx单调递减．
综上所述；当a≤0时，函数fx在0,+∞上单调递增，
当a>0时，函数fx在0,1a上单调递增，在1a,+∞上单调递减．
(2)fx≤0恒成立⇔a≥lnxxmax．
令gx=lnxx，则g′x=1−lnxx2．
由g′x=0，解得x=e，
可知gx在0,e上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，
所以gxmax=ge=1e，即a≥1e．
(3)由(1)知，当函数fx有最大值时，a>0，
且最大值fxmax=f1a=ln1a−1，
此时ln1a−1>a−2，即lna+a−1<0.
令ℎa=lna+a−1a>0，
因为ℎ1=0且ℎa在0,+∞上单调递增，
所以ℎa<0=ℎ1，
所以0故a的取值范围为0,1．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的最值
【解析】
无
无
无
【解答】
解：(1)函数fx的定义域为(0,+∞)，f′x=1x−a=1−axx.
当a≤0时，f′x>0，函数fx在0,+∞上单调递增；
当a>0时，由f′x=0，解得x=1a，
当x∈0,1a，f′x>0，fx单调递增；当x∈1a,+∞，f′x<0，fx单调递减．
综上所述；当a≤0时，函数fx在0,+∞上单调递增，
当a>0时，函数fx在0,1a上单调递增，在1a,+∞上单调递减．
(2)fx≤0恒成立⇔a≥lnxxmax．
令gx=lnxx，则g′x=1−lnxx2．
由g′x=0，解得x=e，
可知gx在0,e上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，
所以gxmax=ge=1e，即a≥1e．
(3)由(1)知，当函数fx有最大值时，a>0，
且最大值fxmax=f1a=ln1a−1，
此时ln1a−1>a−2，即lna+a−1<0.
令ℎa=lna+a−1a>0，
因为ℎ1=0且ℎa在0,+∞上单调递增，
所以ℎa<0=ℎ1，
所以0故a的取值范围为0,1．选考物理
选考历史
总计
男生
女生
总计
PK2≥k0
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
选考物理
选考历史
总计
男生
40
10
50
女生
30
20
50
总计
70
30
100
选考物理
选考历史
总计
男生
40
10
50
女生
30
20
50
总计
70
30
100
X
0
1
2
3
P
0.343
0.441
0.189
0.027
X
0
1
2
3
P
0.343
0.441
0.189
0.027