2020-2021学年四川省绵阳市高一（下）5月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年四川省绵阳市高一（下）5月月考数学试卷人教A版，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知|b→|=3，a→在b→方向上的投影为32，则a→⋅b→的值为( )
A.3B.92C.2D.12

2. 已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若A=60∘，c=6，a=6，则此三角形有( )
A.两解B.一解C.无解D.无穷多解

3. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2=3，S4=15，则S6=( )
A.31B.32C.63D.64

4. 如图，在△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=30∘，AD是边BC上的高，则AD→⋅AC→的值等于( )

A.0B.4C.8D.−4

5. 在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2−6x+8=0的根，则a1a17a9=
A.22B.2C.1D.−22

6. △ABC中角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若b2+c2−a2=bctanA，则角A的值是( )
A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3

7. 河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{an}，则lg2(a3⋅a5)的值为( )
A.8B.10C.12D.16

8. 已知△ABC的一内角A=π3，O为△ABC所在平面上一点，满足|OA|=|OB|=|OC|，设AO→=mAB→+nAC→，则m+n的最大值为( )
A.23B.1C.43D.2
二、填空题

已知向量a→=2,λ，b→=−1,1，且a→−b→与b→共线，则λ=________.
三、解答题

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ccsB与bcsC的等差中项为2acsA．
(1)求csA的值；

(2)若△ABC的面积是142，求AB→⋅AC→的值．

已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=15，且a1，a2，a4成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设数列{an}满足bn=1an⋅an+1，求数列{bn}前n项和Tn．
参考答案与试题解析
2020-2021学年四川省绵阳市高一（下）5月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
向量的投影
平面向量数量积的运算
【解析】
先设出两向量的夹角，由题得，|a→|csθ=32，再结合向量数量积的定义运算即可得解.
【解答】
解：设a→与b→的夹角为θ，
由题意得|a→|csθ=32，
∴ a→⋅b→=|a→||b→|csθ=3×32=92.
故选B.
2.
【答案】
B
【考点】
正弦定理的应用
【解析】
由等边对等角可得∠C=∠A=60∘，可进一步得出三角形的形状，即可得解.
【解答】
解：由等边对等角可得∠C=∠A=60∘，
由三角形的内角和可得∠B=60∘，
此三角形为正三角形，有唯一解．
故选B.
3.
【答案】
C
【考点】
等比中项
等比数列的前n项和
【解析】
由等比数列的性质可得S2，S4−S2，S6−S4成等比数列，代入数据计算可得．
【解答】
解：S2=a1+a2，
S4−S2=a3+a4=(a1+a2)q2，
S6−S4=a5+a6=(a1+a2)q4，
所以S2，S4−S2，S6−S4成等比数列，
即3，12，S6−15成等比数列，
可得122=3(S6−15)，
解得S6=63.
故选C.
4.
【答案】
B
【考点】
平面向量数量积
【解析】
由题意，AD→⋅AC→=AD→•(AB→+BC→)=AD→⋅AB→+AD→⋅BC→；AD→⊥BC→；AD→⋅AB→=|AD→|⋅|AB→|cs∠BAD=|AB→|⋅sin30∘⋅|AB→|⋅cs60∘；从而求得．
【解答】
解：AD→⋅AC→=AD→⋅(AB→+BC→)
=AD→⋅AB→+AD→⋅BC→
=AD→⋅AB→
=|AD→|⋅|AB→|⋅cs∠BAD
=|AB→|⋅sin30∘⋅|AB→|⋅cs60∘
=4×4×12×12=4.
故选B．
5.
【答案】
A
【考点】
等比数列的通项公式
等比数列的性质
【解析】
利用一元二次方程的根与系数的关系、等比数列的通项公式及其性质即可得出．
【解答】
解：∵ a3，a15是方程x2−6x+8=0的根，
∴ a3=2，a15=4；或a3=4，a15=2，
∴ a1a17=a3a15=8，
a9=a3a15=22，
则a1a17a9=822=22．
故选A.
6.
【答案】
C
【考点】
余弦定理
同角三角函数基本关系的运用
【解析】
由已知利用余弦定理，同角三角函数基本关系式可求sinA的值，结合A的范围根据特殊角的三角函数值即可得解A的值．
【解答】
解：∵ b2+c2−a2=bctanA，
由余弦定理，b2+c2−a2=2bccsA ，
可得：2bccsA=bctanA ，
可得：2csA⋅sinAcsA=1，
∴ sinA=12，
∵ A∈(0,π)，
∴ A=π6或5π6.
故选C．
7.
【答案】
C
【考点】
等比数列的前n项和
等比数列的通项公式
【解析】
数列an，是等比数列，公比为2，前7项和为1016，由此可求得首项C1，得通项公式，从而得结论．
【解答】
解：最下层的“浮雕像”的数量为a1，
依题有：公比q=2，n=7，S7=a11−271−2=1016，
解得a1=8，
则an=8×2n−1=2n+21≤n≤7,n∈N∗，
∴ a3=25，a5=27，
∴ a3⋅a5=25×27=212，
∴lg2a3⋅a5=lg2212=12.
故选C．
8.
【答案】
A
【考点】
向量的线性运算性质及几何意义
向量在几何中的应用
向量的共线定理
向量的加法及其几何意义
向量的几何表示
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图，点O为△ABC外接圆的圆心，延长AO交BC与点D，
设AO→=λAD→，即AD→=1λAO→，
则AD=mλAB→+nλAC→，
∵ B, D, C三点共线，
∴ mλ+nλ=1，即m+n=λ.
当AB=AC时，点O既是外心，也是重心，此时m+n取得最大值，m+n=23.
故选A.
二、填空题
【答案】
−2
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为a→=2,λ，b→=−1,1，
所以a→−b→=(3, λ−1)，
因为a→−b→与b→共线，
所以3×1−(λ−1)×(−1)=0，
所以λ=−2.
故答案为：−2.
三、解答题
【答案】
解：(1)∵ ccsB与bcsC的等差中项为2acsA，
∴ bcsC+ccsB=22acsA，
由正弦定理得：
22sinAcsA=sinBcsC+csBsinC
=sinB+C
=sinπ−A
=sinA，
∵0∴sinA>0，
∴ 22csA=1，
解得csA=24.
(2)由(1)可知，sinA>0，
且sinA=1−cs2A=144，
△ABC的面积是S△ABC=12bcsinA=148bc=142，
则bc=4．
∴ AB→⋅AC→=cbcsA=4×24=2．
【考点】
等差中项
正弦定理
两角和与差的正弦公式
平面向量数量积
【解析】
本题考查利用正弦定理边角互化思想求角，同时也考查了平面数量数量积的计算，涉及三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于基础题．

【解答】
解：(1)∵ ccsB与bcsC的等差中项为2acsA，
∴ bcsC+ccsB=22acsA，
由正弦定理得：
22sinAcsA=sinBcsC+csBsinC
=sinB+C
=sinπ−A
=sinA，
∵0∴sinA>0，
∴ 22csA=1，
解得csA=24.
(2)由(1)可知，sinA>0，
且sinA=1−cs2A=144，
△ABC的面积是S△ABC=12bcsinA=148bc=142，
则bc=4．
∴ AB→⋅AC→=cbcsA=4×24=2．
【答案】
解：(1)公差d不为零的等差数列{an}，若S5=15，且a1，a2，a4成等比数列，
可得5a1+10d=15，
a22=a1a4，即(a1+d)2=a1(a1+3d)，
解得a1=1，d=1．
则an=n.
(2)bn=1an⋅an+1=1n(n+1)=1n−1n+1，
∴ Tn=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1．
＝1−1n+1
=nn+1．
【考点】
等差数列的通项公式
等差数列的前n项和
数列的求和
【解析】
本题考查等差数列的通项公式和求和公式与等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于基础题．

【解答】
解：(1)公差d不为零的等差数列{an}，若S5=15，且a1，a2，a4成等比数列，
可得5a1+10d=15，
a22=a1a4，即(a1+d)2=a1(a1+3d)，
解得a1=1，d=1．
则an=n.
(2)bn=1an⋅an+1=1n(n+1)=1n−1n+1，
∴ Tn=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1．
＝1−1n+1
=nn+1．