2020-2021学年四川省绵阳市高一（下）4月月考数学试卷 (1)人教A版

这是一份2020-2021学年四川省绵阳市高一（下）4月月考数学试卷 (1)人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知a→=3,4，b→=1,0，a→在b→上的投影是( )
A.3B.35C.4D.45

2. 在△ABC中，若b3csB=asinA，则csB等于( )
A.−12B.12C.−32D.32

3. 已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，若a5+a6+a7+a8+a9=0，则( )
A.a5=6B.a6=0C.a7=0D.a9=0

4. 设平面向量a→=(1,2)，b→=(−2,y)，若a→ // b→，则y=( )
A.−4B.4C.−1D.1

5. 已知等差数列an的前n项和为Sn，且a4+a6=12，S7=21，则a1=( )
A.−3B.−6C.3D.6

6. 如图，在三角形△ABC中，点D在BC边上，∠ADC=60∘，CD=AD=2，BD=4，则sin B的值为( )

A.12B.76C.714D.2114

7. 已知A，B是圆心为C，半径为5的圆上两点，且AB=5，则AC→⋅CB→等于( )
A.−52B.52C.2D.532

8. 已知△ABC的一个内角为120∘，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为( )
A.153B.53C.154D.74

9. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=6，c=26，tanA+tanB=2sinCcsA，则S△ABC=( )
A.32B.92C.93D.33

10. 设等差数列{an}满足3a8=5a15，且a1>0，Sn为其前n项和，则数列{Sn}的最大项为( )
A.S23B.S25C.S24D.S26

11. 已知向量a→=(sinθ,−2)，b→=(1,csθ)，且a→⊥b→，则sin2θ+cs2θ的值为( )
A.1B.2C.12D.3

12. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A是B和C的等差中项，AB→⋅BC→>0，a=32，则△ABC周长的取值范围是( )
A.2+32,3+32B.3,3+32
C.1+32,2+32D.1+32,3+32
二、填空题

平面向量a→=(x, 2)，b→=(3, x−1)，若a→ // b→，则x=________．

已知△ABC中，若AB=3，AC=4，AB→⋅AC→=6，则BC=________．

已知{an}是等差数列，a4+a7+a10=15，则其前13项的和S13=________.

在△ABC中，C=π3，AB=3，AB边上的高为43，则AC+BC=________．
三、解答题

已知平面向量a→，b→，a→=1,2.
(1)若b→=0,1，求|a→+2b→|的值；

(2)若b→=2,m，a→与a→−b→共线，求实数m的值．

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=8，a4=4.
(1)求an；

(2)求Sn的最大值．

在△ABC中，AB=6，AC=42 .
(1)若sinB=223，求△ABC的面积；

(2)若BD→=2DC→，AD=32，求BC的长．

已知等差数列{an}前n项和为Sn，且a3=10，S6=72 .
(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn=12an−30，求数列{bn}的前n项和Tn．

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csA2=255，AB→⋅AC→=3．
(1)求△ABC的面积；

(2)若c=1，求a、sinB的值．

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cs2C=2csA+B−32 .
(1)求C；

(2)若△ABC的周长为15，且a，b，c成等差数列，求△ABC的面积．
参考答案与试题解析
2020-2021学年四川省绵阳市高一（下）4月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
向量的投影
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ a→=(3,4)，b→=(1,0)，
∴ a→在b→上的投影为|a→|cs⟨a→,b→⟩=a→⋅b→|b→|=3×1+4×012+02=3．
故选A．
2.
【答案】
B
【考点】
正弦定理
【解析】
由csA=−12，可得A的值，再由正弦定理求得sinB的值，可得B的值．
【解答】
解：若b3csB=asinA，
则由正弦定理得sinB3csB=sinAsinA，
所以sinBcsB=3，
所以tanB=3，
因为0所以B=π3,
所以csB=csπ3=12.
故选B.
3.
【答案】
C
【考点】
等差数列的性质
【解析】
由等差数列的性质可知，a5+a9=a6+a8=2a7，代入所求式子即可求解．
【解答】
解：由等差数列的性质可知，a5+a9=a6+a8=2a7，
∴ a5+a6+a7+a8+a9=5a7=0，
解得a7=0.
故选C．
4.
【答案】
A
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
根据向量平行的坐标条件，列出个关于y的方程，解方程即可.
【解答】
解：∵ 向量a→=(1,2)，b→=(−2,y)，且a→ // b→,
∴ 1×y−2×(−2)=0.
∴ y=−4.
故选A.
5.
【答案】
B
【考点】
等差数列的通项公式
等差数列的前n项和
【解析】
直接利用等差数列公式计算得到答案．
【解答】
解：a4+a6=2a1+8d=12，
S7=7a1+21d=21，
解得a1=−6 .
故选B．
6.
【答案】
D
【考点】
正弦定理
余弦定理
【解析】
在△ADC中，利用余弦定理求出AB=27，再由正法定理即可求解．
【解答】
解：由题意，根据条件知△ADC为等边三角形，
则∠ADB=120∘，AC=2.
在△ABD中，
由余弦定理，得AB2=BD2+AD2−2BD⋅ADcs∠ADB，
即AB=27.
由正弦定理，得ADsinB=ABsin∠ADB，
则sinB=AD⋅sin∠ADBAB=2114 .
故选D .
7.
【答案】
A
【考点】
平面向量数量积的运算
【解析】
由A，B是圆心为C，半径为5的圆上两点，且|AB→|=5，可得△ABC是等边三角形．再利用数量积定义即可得出．
【解答】
解：∵ A，B是圆心为C，半径为5的圆上两点，
且AB=5，
∴ △ABC是等边三角形．
则AC→⋅CB→=−CA→⋅CB→
=−(5)2×cs60∘=−52．
故选A.
8.
【答案】
A
【考点】
余弦定理
三角形的面积公式
等差数列的性质
【解析】
因为三角形三边构成公差为4的等差数列，设中间的一条边为x，则最大的边为x+4，最小的边为x−4，根据余弦定理表示出cs120∘的式子，将各自设出的值代入即可得到关于x的方程，求出方程的解即可得到三角形的边长，然后利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
【解答】
解：设三角形的三边长分别为x−4，x，x+4，
则由余弦定理得，cs120∘=x2+(x−4)2−(x+4)22x(x−4)=−12，
化简得：x−16=4−x，解得x=10，
所以三角形的三边长分别为：6，10，14，
则△ABC的面积S=12×6×10×sin120∘=153．
故选A.
9.
【答案】
B
【考点】
三角形的面积公式
三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由tanA+tanB=2sinCcsA，
得sinAcsB+csAsinBcsAcsB=2sinCcsA,
即sinCcsB=2sinC.
∵ sinC≠0,
∴ csB=12，B∈(0,π)，
∴ B=π3.
因此S△ABC=12acsinB=12×6×26×32=92.
故选B.
10.
【答案】
B
【考点】
等差数列的前n项和
数列的函数特性
【解析】
设等差数列{an}的公差为d，由3a8＝5a15，利用通项公式化为2a1+49d＝0，由a10，可得d<0，Sn＝na1+n(n−1)2d=d2(n−25)2−6252d．利用二次函数的单调性即可得出．
【解答】
解：设等差数列{an}的公差为d，
∵ 3a8=5a15，
∴ 3(a1+7d)=5(a1+14d)，化为2a1+49d=0.
∵ a1>0，∴ d<0，
∴ 等差数列{an}单调递减，
Sn=na1+n(n−1)2d
=n(−49d2)+n(n−1)2d
=d2(n−25)2−6252d，
∴ 当n=25时，数列{Sn}取得最大值.
故选B.
11.
【答案】
A
【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值
数量积判断两个平面向量的垂直关系
二倍角的正弦公式
【解析】
由题意可得a→⋅b→=0，即解得tanθ=2，再由sin2θ+cs2θ=2sinθcsθ+cs2θcs2θ+sin2θ=2tanθ+11+tan2θ，运算求得结果．
【解答】
解：由题意可得：a→⋅b→=sinθ−2csθ=0，即tanθ=2．
∴ sin2θ+cs2θ=2sinθcsθ+cs2θcs2θ+sin2θ=2tanθ+11+tan2θ=1，
故选A．
12.
【答案】
B
【考点】
等差中项
正弦定理
正弦函数的定义域和值域
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ A是B和C的等差中项，
∴ 2A=B+C，
∴ A=π3.
由AB→⋅BC→>0，得cs(π−B)>0，
从而B>π2，
∴ π2∵ asinA=bsinB=csinC=32sinπ3=1，
∴ b=sinB，c=sinC=sin2π3−B，
∴ △ABC的周长l=a+b+c
=32+sinB+sin2π3−B
=3sinB+π6+32.
又π2∴ 2π3∴ 12∴ 3故选B．
二、填空题
【答案】
3或−2
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
根据平面向量共线定理的坐标表示，列方程求出x的值．
【解答】
解：平面向量a→=(x, 2)，b→=(3, x−1)，
若a→ // b→，则x(x−1)−2×3=0，
即x2−x−6=0，
解得x=−2或x=3.
故答案为：3或−2.
【答案】
13
【考点】
余弦定理
平面向量数量积
【解析】
先根据向量的数量积公式可得AB→⋅AC→=|AB→|⋅|AC→|csA＝6，再根据余弦定理即可求出．
【解答】
解：∵ AB=3，AC=4，AB→⋅AC→=6，
∴ AB→⋅AC→=|AB→|⋅|AC→|csA=6.
由余弦定理可得BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcsA=9+16−12=13，
∴ BC=13.
故答案为：13.
【答案】
65
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由a4+a7+a10=15，得3a7=15，即a7=5,
S13=13a1+a132=13a7=65.
故答案为：65.
【答案】
11
【考点】
余弦定理
三角形的面积公式
【解析】
求出三角形的面积，利用余弦定理，直接求出AC+BC的值．
【解答】
解：由题意可知△ABC的面积为：12×3×43=233=12AC⋅BCsin60∘，
所以AC⋅BC=83．
由余弦定理得AB2=AC2+BC2−2AC⋅BCcs60∘=(AC+BC)2−3AC⋅BC，
所以(AC+BC)2−3AC⋅BC=3，
所以(AC+BC)2=11，
所以AC+BC=11．
故答案为：11．
三、解答题
【答案】
解：(1)a→+2b→=1,2+0,2=1,4，
所以|a→+2b→|=12+42=17.
(2)a→−b→=−1,2−m.
因为a→与a→−b→共线，
所以1−1=22−m，
解得m=4.
【考点】
向量的模
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
（1）结合已知求得： a→+2b→=1,4，利用平面向量的模的坐标表示公式计算得解．
（2）求得： a→−b→=−1,2−m，利用a→与a→−b→共线可列方程−11=2−m2，解方程即可．
【解答】
解：(1)a→+2b→=1,2+0,2=1,4，
所以|a→+2b→|=12+42=17.
(2)a→−b→=−1,2−m.
因为a→与a→−b→共线，
所以1−1=22−m，
解得m=4.
【答案】
解：(1)设等差数列{an}的公差为d.
∵ a2=8，a4=4，
∴ a1+d=8,a1+3d=4,
解得a1=10，d=−2．
∴ an=10−2(n−1)=12−2n．
(2)由an=12−2n≥0，
解得n≤6，
∴ 当n=5或6时，Sn取得最大值S6=6×(10+0)2=30．
【考点】
等差数列的通项公式
等差数列的前n项和
数列与不等式的综合
【解析】
（1）利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）由an≥0．解得n，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．
【解答】
解：(1)设等差数列{an}的公差为d.
∵ a2=8，a4=4，
∴ a1+d=8,a1+3d=4,
解得a1=10，d=−2．
∴ an=10−2(n−1)=12−2n．
(2)由an=12−2n≥0，
解得n≤6，
∴ 当n=5或6时，Sn取得最大值S6=6×(10+0)2=30．
【答案】
解：(1)由正弦定理得：42223=6sinC，
解得sinC=1.
∵ 0∴ C=π2，
∴ BC=62−422=2，
∴ S=12×2×42=42.
(2)设DC=x，则BD=2x
根据cs∠BDA=−cs∠ADC
可得：(32)2+(2x)2−622×32×2x=−(32)2+x2−(42)22×32x，
解得：x=693，
∴ BC=3DC=69.
【考点】
解三角形
正弦定理
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由正弦定理得：42223=6sinC，
解得sinC=1.
∵ 0∴ C=π2，
∴ BC=62−422=2，
∴ S=12×2×42=42.
(2)设DC=x，则BD=2x
根据cs∠BDA=−cs∠ADC
可得：(32)2+(2x)2−622×32×2x=−(32)2+x2−(42)22×32x，
解得：x=693，
∴ BC=3DC=69.
【答案】
解：(1)设等差数列的公差为d.
∵ S6=6(a1+a6)2=72，
∴ a1+a6=24，
∴ a3+a4=24.
∵ a3=10，
∴ a4=14，d=4，
∴ an=a3+4(n−3)=4n−2 .
(2)∵ bn=12an−30=2n−31，
∴ Tn=2(1+2+3+...+n)−31n
=n(n+1)−31n=n2−30n.
【考点】
等差数列的通项公式
等差数列的前n项和
【解析】
（1）设等差数列的公差为d，由S5=72可最a1+an=24，由等差败列的性质可求a1+a4进而可求公差d，从而可求通项．
（2）由（1）可知，bn=12an−30=2n−31，利用等差数列的求和公式即可求解
【解答】
解：(1)设等差数列的公差为d.
∵ S6=6(a1+a6)2=72，
∴ a1+a6=24，
∴ a3+a4=24.
∵ a3=10，
∴ a4=14，d=4，
∴ an=a3+4(n−3)=4n−2 .
(2)∵ bn=12an−30=2n−31，
∴ Tn=2(1+2+3+...+n)−31n
=n(n+1)−31n=n2−30n.
【答案】
解：(1)∵ csA2=255，
∴ csA=2×(255)2−1=35.
而AB→⋅AC→=|AB→|⋅|AC→|⋅csA
=35bc=3，
∴ bc=5.
又A∈(0, π)，
∴ sinA=45，
∴ S=12bcsinA=12×5×45=2．
(2)由(1)知bc=5，而c=1，
∴ b=5，
∴ a2=b2+c2−2bccsA=20，
解得a=25.
又asinA=bsinB，
∴ sinB=bsinAa=5×4525=255．
【考点】
平面向量数量积的运算
二倍角的余弦公式
正弦定理
同角三角函数间的基本关系
余弦定理
【解析】
（1）先利用二倍角公式，计算csA，再利用数量积公式，求得bc的值，进而利用三角形的面积公式，可得结论；
（2）先求b，利用余弦定理求a，再利用正弦定理，可求sinB的值．
【解答】
解：(1)∵ csA2=255，
∴ csA=2×(255)2−1=35.
而AB→⋅AC→=|AB→|⋅|AC→|⋅csA
=35bc=3，
∴ bc=5.
又A∈(0, π)，
∴ sinA=45，
∴ S=12bcsinA=12×5×45=2．
(2)由(1)知bc=5，而c=1，
∴ b=5，
∴ a2=b2+c2−2bccsA=20，
解得a=25.
又asinA=bsinB，
∴ sinB=bsinAa=5×4525=255．
【答案】
解：(1)由题意cs2C=2csA+B−32，
所以cs2C=−2csC−32.
又cs2C=2cs2C−1，
整理得2cs2C+2csC+12=0，
解得csC=−12.
因为0(2)由题意可得2b=a+c,a+b+c=15,
则b=5,a=10−c.
根据余弦定理可得a2+b2−c2=−ab，
则10−c2+52−c2=−510−c，
解得c=7，a=10−7=3，
故△ABC的面积S=12absinC=1534 .
【考点】
诱导公式
二倍角的余弦公式
余弦定理
等差数列的性质
三角形的面积公式
【解析】
（1）由诱导公式和二倍角公式求得csC后可得角C .
（2）由等差数列和周长求得b，把a用c表示，然后由余弦定理可求得c，a，从而求得三角形面积．
【解答】
解：(1)由题意cs2C=2csA+B−32，
所以cs2C=−2csC−32.
又cs2C=2cs2C−1，
整理得2cs2C+2csC+12=0，
解得csC=−12.
因为0(2)由题意可得2b=a+c,a+b+c=15,
则b=5,a=10−c.
根据余弦定理可得a2+b2−c2=−ab，
则10−c2+52−c2=−510−c，
解得c=7，a=10−7=3，
故△ABC的面积S=12absinC=1534 .