2020-2021学年江西省上饶市高一（下）4月月考数学（理）试卷北师大版

这是一份2020-2021学年江西省上饶市高一（下）4月月考数学（理）试卷北师大版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知直线l平分圆x2+y−32=4，且与直线x+y=0垂直，则直线l的方程是( )
A.x+y−2=0B.x−y+2=0C.x+y−3=0D.x−y+3=0

2. 要得到函数y=sin2x−π3的图象，只需将函数y=sin2x的图象( )
A.向左平移π3个单位B.向左平移π6个单位
C.向右平移π3个单位D.向右平移π6个单位

3. 在空间直角坐标系中，点3,2,−1关于xOy坐标平面的对称点为点A，点2,−1,1关于坐标原点O的对称点为B，则|AB|=( )
A.30B.26C.14D.10

4. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》一章给出计算弧田面积所用的公式为：弧田面积=12（弦×矢+矢×矢）．其中弧田由圆弧和其所对弦围成，公式中的“弦”指的是圆弧所对弦长，矢等于半径长与圆心到弦的距离之差．如图，现有圆心角为2π3的弧田，其弦与半径构成的三角形面积为43，按照上述公式计算，所得弧田面积是( )

A.43+2B.42+3C.23+4D.22+4

5. 两圆x2+y2=9和x2+y2−8x+6y+9=0的位置关系是( )
A.相离B.相交C.内切D.外切

6. 若sinπ3−α=−13，则csα+π6=( )
A.−13B.13C.−223D.223

7. 集合M={x|x=k⋅90∘+45∘,k∈Z}，N={x|x=k⋅45∘+90∘,k∈Z}，则有( )
A.M=NB.N⫋MC.M⫋ND.M∩N=⌀

8. 设函数fx=cs2x−π6，给出下列结论：
①fx的一个周期为−π ；②y=fx的图像关于直线x=π12对称；
③y=fx的图像关于点−π6,0对称 ；④f(x)在π6,2π3单调递减.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A.①④B.②③C.①②③D.②③④

9. 已知函数y=2sinx的定义域为[a, b]，值域为[−2, 1]，则b−a的值不可能是( )
A.3π2B.7π6C.4π3D.5π6

10. 已知sinx+π3=14，则sin2π3−x+sin2π6−x=( )
A.1B.15+14C.1916D.34

11. 动点Px,y在圆x−12+y2=1上绕点1,0沿逆时针方向匀速旋转，其初始位置为P032,32，8秒旋转一周，则动点Р的横坐标x关于时间t(单位：秒)的函数解析式可以为( )
A.x=csπ4t+π3+1B.x=csπ3t+π4+1
C.x=sinπ4t+π6+2D.x=sinπ3t+π6+2

12. 设a=sincs1，b=cscs1，c=cs1，d=cssin1，则下列不等式正确的是( )
A.a二、填空题

函数fx=1tanx+1的定义域是_______.
三、解答题


(1)计算： sin2150∘+cs90∘+tan135∘−cs2120∘+sin−90∘；

(2)化简：sinπ−αsin3π2+αcs−2π+αsin2π−αcs3π+α．

函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2 的部分图象如图所示．

(1)求图中a，b的值及函数fx的递增区间；

(2)若α∈0,π，且fα=2，求α的值．

在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点坐标分别是A(0,0)，B(3,3)，C(1,−5)，记△ABC外接圆为圆M．
(1)求圆M的方程；

(2)在圆M上是否存在点P，使得|PB|2−|PA|2=12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．

海水具有周期现象，某海滨浴场内水位y（单位：m）是时间t(0≤t≤24，单位：ℎ）的函数，记作y=ft，下面是某天水深的数据，经长期观察，y=ft的曲线可近似的满足函数y=Asin(ωt+φ)+b .

(1)根据以上数据，求出函数y=ft一个近似表达式；

(2)一般情况下，水深超过1.25米该海滨浴场方可开放，另外，当水深超过1.75米时，由于安全原因，会被关闭，那么该海滨浴场在一天内的上午7:00到晚上19:00，有多长时间可以开放？

已知函数fx=2sinx+π6．
(1)若点P1,3是角α终边上一点，求fα−π6+tanα的值；

(2)令gx=sin2x+fx+5π6+2，若gx
如图，点Px0,y0是圆O:x2+y2=9上一动点，过点P作圆O的切线l与圆O1:(x−a)2+(y−4)2=100(a>0)交于A，B两点，已知当直线l过圆心O1时，|O1P|=4．

(1)求a的值；

(2)当线段AB最短时，求直线l的方程．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省上饶市高一（下）4月月考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
直线的点斜式方程
【解析】
由题意可得所求直线l经过点0,3 ，斜率为1，再利用点斜式求直线l的方程．
【解答】
解：由题意可得所求直线l经过点0,3，斜率为1，
故l的方程是y−3=x−0，即x−y+3=0．
故选D．
2.
【答案】
D
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由于y=sin2x−π3=sin2x−π6，
因此只需将函数y=sin2x的图象向右平移π6个单位即可得到.
故选D.
3.
【答案】
A
【考点】
空间中的点的坐标
空间两点间的距离公式
【解析】
由对称性求出A．B两点坐标，进而求得|AB|
【解答】
解：由题意可得：A3,2,1，B−2,1,−1，
∴ |AB|=25+1+4=30.
故选A.
4.
【答案】
A
【考点】
扇形面积公式
【解析】
由题意可得∠COA=π3，解三角形可得AB=23OC，利用三角形的面积公式可求得OC，AB的值，根据所给的弧田面积公式即可求解．
【解答】
解：由题意，∠AOB=2π3，则∠COA=π3，
可得ACOC=12ABOC=3，
解得：AB=23OC.
又因为弦与半径构成的三角形面积为：
43=12AB×OC=12×23OC×OC，
解得OC=2，
所以AB=43，
所以弧田面积=12(43×2+2×2)=43+2．
故选A.
5.
【答案】
B
【考点】
圆与圆的位置关系及其判定
两点间的距离公式
【解析】
分别由两圆的方程找出两圆心坐标和两个半径R和r，然后利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d，比较d与R−r及d与R+r的大小，即可得到两圆的位置关系．
【解答】
解：圆x2+y2−8x+6y+9=0可转化为(x−4)2+(y+3)2=16.
又x2+y2=9，
所以两圆心的坐标分别为：(4, −3)和(0, 0)，两半径分别为4和3，
所以两圆心之间的距离d=42+(−3)2=5.
因为4−3<5<4+3，
所以两圆的位置关系是相交．
故选B．
6.
【答案】
A
【考点】
运用诱导公式化简求值
【解析】
观察所求角和已知角可得csα+π6=csπ2−π3−α ，再利用诱导公式即可求解．
【解答】
解：∵α+π6+π3−a=π2，
∴csα+π6=csπ2−π3−α
=sinπ3−α=−13．
故选A．
7.
【答案】
C
【考点】
集合的包含关系判断及应用
【解析】
变形表达式为相同的形式，比较可得．
【解答】
解：由题意可得M={x|x=k⋅90∘+45∘,k∈Z}
={x|x=(2k+1)×45∘, k∈Z}，
即45∘的奇数倍构成的集合.
又N={x|x=k⋅45∘+90∘,k∈Z}
={x|x=(k+2)×45∘, k∈Z}，
即45∘的整数倍构成的集合，
∴ M⫋N.
故选C．
8.
【答案】
C
【考点】
余弦函数的周期性
余弦函数的单调性
【解析】
（1）根据题目所给信息对选项进行甄别，进而解题即可.
【解答】
解：已知函数f(x)=cs(2x−π6)=cs[2(x−π12)]，即是由函数y=cs2x向右平移π12个单位形成的，
画出函数f(x)的图像如下图所示：
已知该函数最小正周期为T=2π2=π，
π的整数倍都是该函数的周期，故①正确；
而其对称轴为2x−π6=kπ，即x=kπ2+π12，
当k=0时，其对称轴为x=π12，故②正确，
已知该函数的对称中心为2x−π6=π2+kπ,k∈Z，
即x=π3+kπ2,k∈Z，
可得该函数的对称中心为(π3+kπ2,0)，k∈Z，
当k=−1时，其对称中心为(−π6,0)，故③正确；
若f(x)单调递减，则2x−π6∈[2kπ，2kπ+π]，k∈Z，
即x∈[π12+kπ，7π12+kπ]，k∈Z，
所以f(x)在π6,2π3上不单调，故④错误.
故选C.
9.
【答案】
A
【考点】
正弦函数的定义域和值域
【解析】
根据三角函数的值域，先求出可能的a，b的取值，结合图象，判断在一个周期内b−a的最大取值范围即可．
【解答】
解：由−2≤2sinx≤1，得−1≤sinx≤12，
在一个周期内，
由sinx=12，则x=π6或x=5π6或x=13π6；
由sinx=−1，则x=−π2或x=3π2.
若a=5π6，则3π2≤b≤13π6，
则2π3≤b−a≤4π3，
则B，C，D中的值都有可能.
故选A.
10.
【答案】
C
【考点】
运用诱导公式化简求值
同角三角函数基本关系的运用
【解析】
根据已知，利用诱导公式及同角三角函数关系式即可化简求值．
【解答】
解：∵ sinx+π3=14，
∴ sin2π3−x+sin2π6−x
=sinπ−x+π3+sin2π2−x+π3
=sinx+π3+cs2x+π3
=14+1−142
=1916.
故选C.
11.
【答案】
A
【考点】
在实际问题中建立三角函数模型
【解析】
根据单位圆中三角函数线知识结合图像的平移，可得x=csωt+φ+1 ，然后利用周期公式求出ω ，再把点P032,32代入求φ，从而可求解．
【解答】
解：因为圆x−12+y2=1可看作由单位圆x2+y2=1向右平移一个单位长度得到，
根据单位圆中三角函数线知识，可设函数解析式为x=csωt+φ+1，
所以T=2πω=8⇒ω=π4.
因为t=0时，点P032,32，
将该点代入得到φ的一个取值为φ=π3，
所以x=csπ4t+π3+1．
故选A．
12.
【答案】
B
【考点】
三角函数线
余弦函数的单调性
【解析】
画出正弦函数线和余弦函数线，结合余弦函数的图象和性质，即可得到所求大小关系．
【解答】
解：因为π4<α<π2，如图，单位圆中的三角函数线，
sinα=MP，α=∠POA=AP，
csα=OM，
所以csα由0可得cscs1>cssin1>cs1>sincs1．
即为b>d>c>a．
故选B．
二、填空题
【答案】
{x|x≠−π4+kπ且x≠π2+kπ,k∈Z}
【考点】
正切函数的定义域
函数的定义域及其求法
【解析】
由题意得到tanx+1≠0，解不等式即可.
【解答】
解：要使函数fx=1tanx+1有意义，
则tanx+1≠0，
解得：x≠−π4+kπ且x≠π2+kπ，k∈Z，
∴ 函数的定义域为{x|x≠−π4+kπ且x≠π2+kπ,k∈Z}.
故答案为：{x|x≠−π4+kπ且x≠π2+kπ,k∈Z}.
三、解答题
【答案】
解：(1)原式=14+0−1−14−1=−2.
(2)原式=sinα(−csα)csα−sinα(−csα)=−csα．
【考点】
任意角的三角函数
运用诱导公式化简求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)原式=14+0−1−14−1=−2.
(2)原式=sinα(−csα)csα−sinα(−csα)=−csα．
【答案】
解：(1)由图可知，A=2，3T4=5π12−−π3=3π4
⇒T=π⇒ω=2ππ=2⇒f(x)=2sin(2x+φ).
∵ f−π3=−2⇒2sin−2π3+φ=−2，
又−π2<φ<π2⇒−7π6<−2π3+φ<−π6
⇒−2π3+φ=−π2⇒φ=π6
⇒f(x)=2sin2x+π6⇒a=−π3−π4=−7π12，b=2sinπ6=1.
令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ得−π3+kπ≤x≤π6+kπ．
故f(x)的递增区间为−π3+kπ,π6+kπ(k∈Z).
(2)f(α)=2sin2α+π6=2⇒sin2α+π6=22.
又α∈[0,π]⇒2α+π6∈π6,13π6
⇒2α+π6=π4或3π4⇒α=π24或7π24．
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
正弦函数的单调性
正弦函数的定义域和值域
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由图可知，A=2，3T4=5π12−−π3=3π4
⇒T=π⇒ω=2ππ=2⇒f(x)=2sin(2x+φ).
∵ f−π3=−2⇒2sin−2π3+φ=−2，
又−π2<φ<π2⇒−7π6<−2π3+φ<−π6
⇒−2π3+φ=−π2⇒φ=π6
⇒f(x)=2sin2x+π6⇒a=−π3−π4=−7π12，b=2sinπ6=1.
令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ得−π3+kπ≤x≤π6+kπ．
故f(x)的递增区间为−π3+kπ,π6+kπ(k∈Z).
(2)f(α)=2sin2α+π6=2⇒sin2α+π6=22.
又α∈[0,π]⇒2α+π6∈π6,13π6
⇒2α+π6=π4或3π4⇒α=π24或7π24．
【答案】
解：(1)设△ABC外接圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．
将A(0,0)，B(3,3)，C(1,−5)代入，
得F=0,D+E+6=0,D−5E+6=0,
解得D=−6,E=0,F=0,
∴ 圆M的方程为x2+y2−6x=0.
(2)设点P(x, y)，
∵ |PB|2−|PA|2=12，
∴ (x−3)2+(y−3)2−x2−y2=12，
化简得：x+y−1=0．
化圆M:x2+y2−6x=0为(x−3)2+y2=9，
圆心M(3, 0)，半径为3．
∵ 圆M的圆心到直线x+y−1=0的距离d=|3−1|2=2<3．
∴ 直线x+y−1=0与圆M相交，
故满足条件的点P有两个．
【考点】
圆的一般方程
直线与圆的位置关系
点到直线的距离公式
【解析】
（1）设出△ABC外接圆M的一般式方程，代入点的坐标，求解D，E，F的最值，可得圆M的方程；
（2）设点P(x, y)，由|PB|2−|PA|2＝12，可得P的轨迹为一条直线，再由圆M的圆心到直线的距离小于圆的半径，可得在圆M上存在两个点P，使得|PB|2−|PA|2＝12．
【解答】
解：(1)设△ABC外接圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．
将A(0,0)，B(3,3)，C(1,−5)代入，
得F=0,D+E+6=0,D−5E+6=0,
解得D=−6,E=0,F=0,
∴ 圆M的方程为x2+y2−6x=0.
(2)设点P(x, y)，
∵ |PB|2−|PA|2=12，
∴ (x−3)2+(y−3)2−x2−y2=12，
化简得：x+y−1=0．
化圆M:x2+y2−6x=0为(x−3)2+y2=9，
圆心M(3, 0)，半径为3．
∵ 圆M的圆心到直线x+y−1=0的距离d=|3−1|2=2<3．
∴ 直线x+y−1=0与圆M相交，
故满足条件的点P有两个．
【答案】
解：(1)由题意，A=0.5，b=1.5，T=12
⇒ω=2π12=π6
⇒y=f(t)=0.5sinπ6t+φ+1.5.
又y=f(t)过点(0,2)，即f(0)=2
⇒0.5sinπ6×0+φ+1.5=2
⇒sinφ=1⇒φ=π2+2kπ(k∈Z)
⇒f(t)=0.5sinπ6t+π2+2kπ+1.5
=0.5sinπ6t+π2+1.5
=0.5csπ6t+1.5.
(2)令1.25⇒−0.5又7≤t≤19⇒7π6≤π6t≤19π6
⇒4π3<π6t≤5π3或7π3≤π6t<8π3
⇒k∈8,10]∪[14,16⇒开放时间共4小时．
【考点】
在实际问题中建立三角函数模型
余弦函数的定义域和值域
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由题意，A=0.5，b=1.5，T=12
⇒ω=2π12=π6
⇒y=f(t)=0.5sinπ6t+φ+1.5.
又y=f(t)过点(0,2)，即f(0)=2
⇒0.5sinπ6×0+φ+1.5=2
⇒sinφ=1⇒φ=π2+2kπ(k∈Z)
⇒f(t)=0.5sinπ6t+π2+2kπ+1.5
=0.5sinπ6t+π2+1.5
=0.5csπ6t+1.5.
(2)令1.25⇒−0.5又7≤t≤19⇒7π6≤π6t≤19π6
⇒4π3<π6t≤5π3或7π3≤π6t<8π3
⇒k∈8,10]∪[14,16⇒开放时间共4小时．
【答案】
解：(1)点P1,3在角α终边上，
∴ sinα=32，tanα=3，
∴ fα−π6+tanα=2sinα+tanα=23.
(2)gx=sin2x+fx+5π6+2
=sin2x−2sinx+2，
令t=sinx，t∈[12,1]，
则ℎ(t)=t2−2t+2，
由gx∴ a>t2−2t+4=mt，
又mtmax=m12=134，
∴ a>134，
即a∈134,+∞．
【考点】
任意角的三角函数
正弦函数的定义域和值域
不等式恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)点P1,3在角α终边上，
∴ sinα=32，tanα=3，
∴ fα−π6+tanα=2sinα+tanα=23.
(2)gx=sin2x+fx+5π6+2
=sin2x−2sinx+2，
令t=sinx，t∈[12,1]，
则ℎ(t)=t2−2t+2，
由gx∴ a>t2−2t+4=mt，
又mtmax=m12=134，
∴ a>134，
即a∈134,+∞．
【答案】
解：(1)当l过圆心O1时，
|O1P|=4⇒|OO1|2−|OP|2
=a2+16−9=4⇒a=3(a=−3舍）.
(2)如图，过O1作O1M⊥AB，
则M为弦AB的中点，设当|AB|最短时，|O1M|最长．
又|O1M|≤|O1P|≤|OO1|+|OP|=8，当且仅当O在线段O1P上时，|O1M|取得最大值.
由kOO1=43⇒lOO1:y=43x，与x2+y2=9联立得⇒P−95,−125（正值舍），
此时OO1⊥AB⇒kAB=−34⇒l:3x+4y+15=0．
【考点】
圆的切线方程
两点间的距离公式
直线与圆相交的性质
与圆有关的最值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)当l过圆心O1时，
|O1P|=4⇒|OO1|2−|OP|2
=a2+16−9=4⇒a=3(a=−3舍）.
(2)如图，过O1作O1M⊥AB，
则M为弦AB的中点，设当|AB|最短时，|O1M|最长．
又|O1M|≤|O1P|≤|OO1|+|OP|=8，当且仅当O在线段O1P上时，|O1M|取得最大值.
由kOO1=43⇒lOO1:y=43x，与x2+y2=9联立得⇒P−95,−125（正值舍），
此时OO1⊥AB⇒kAB=−34⇒l:3x+4y+15=0．t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
2
1.5
1
1.5
2
1.5
1
1.5
2