2020-2021学年江西省上饶市高二（下）5月月考数学（理）试卷北师大版

这是一份2020-2021学年江西省上饶市高二（下）5月月考数学（理）试卷北师大版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 设a→=(3, −2, −1)是直线l的方向向量，n→=(−1, −2, 1)是平面α的法向量，则直线l与平面α( )
A.垂直B.平行或在平面α内
C.平行D.在平面α内

2. 已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(−1, 1)，则该抛物线焦点坐标为( )
A.(−1, 0)B.(1, 0)C.(0, −1)D.(0, 1)

3. 若命题p:∃x0∈R，x02+2x0+2≤0，则￢p为（ ）
A.∃x0∈R，x02+2x0+2>0B.∃x0∉R，x02+2x0+2>0
C.∀x∈R，x2+2x+2≤0D.∀x∈R，x2+2x+2>0

4. 若向量a→=(1,λ,1)，b→=(2,−1,−2)，且a→与b→的夹角余弦为26，则λ等于( )
A.−2B.2C.−2或2D.2

5. 已知F是抛物线y2=4x的焦点，P是抛物线上的一个动点，A3,1，则△APF周长的最小值为( )
A.2+25B.4+5C.3+5D.6+5

6. 若向量a→=(1,1,x)，b→=(1,2,1)，c→=(1,1,1)，满足条件(c→−a→)⋅(2b→)=−2，则x的值为( )
A.−2B.2C.0D.1

7. 如图所示，空间四边形OABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，点M在OA上，且OM→=2MA→，N为BC中点，则MN→=（ ）

A.12a→−23b→+12c→ B.−23a→+12b→+12c→
C.12a→+12b→−12c D.−23a→+23b→−12c→

8. 已知a，b∈R，则“|a|+|b|<2”是|ab|<1的（ ）
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

9. 方程(x+y+6)x+y−3=0表示的曲线是（ ）
A.两条平行线B.一条直线和一条射线
C.两条射线D.一条直线

10. 蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C:x2a+2+y2a=1(a>0)的蒙日圆为x2+y2=6，则a=( )
A.1B.2C.3D.4

11. 已知a，b，c∈0,2，则2−ab,2−bc,2−ca中（ ）
A.至少有一个不小于1B.至少有一个不大于1
C.都不大于1D.都不小于1

12. 过双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点F作倾斜角为60∘的直线交双曲线右支于A，B两点，若AF→=7FB→，则双曲线的离心率为（ ）
A.32B.3C.2D.52
二、填空题

设F1、F2分别是双曲线x2−y22=1的左、右焦点，若点P在此双曲线上，且|PF1|=5，则|PF2|=________．
三、解答题

求满足下列条件的曲线的标准方程：
(1)a=10，e=35，焦点在x轴上的椭圆；

(2)顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线x−y+2=0上抛物线的方程.

已知命题p：不等式ax2−ax+2>0对一切实数x恒成立，命题q:m−1≤a≤m+1．
(1)若p是假命题，求实数a的取值范围；

(2)若¬p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

已知向量a→=1,1,0,b→=−1,0,2.
(1)若a→+kb→//2a→+b→，求实数k；

(2)若向量a→+kb→与2a→+b→所成角为锐角，求实数k的范围．

已知正数列an满足an2=13+23+⋯+n3.
(1)求a1,a2,a3的值；

(2)试猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．

如图，ABCD是平行四边形，已知AB=2BC=4，BD=23，BE=CE，平面BCE⊥平面ABCD．

(1)证明：BD⊥CE；

(2)若BE=CE=10，求平面ADE与平面BCE所成二面角的余弦值．

如图，过椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆E于P，Q两点，点A，B是椭圆E的顶点，且AB // OP，F2为右焦点，△PF2Q的周长为8．

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点F1作直线l与椭圆E交于C，D两点，若△OCD的面积为103，求直线l的方程．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省上饶市高二（下）5月月考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
空间向量的数量积运算
空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】
根据a→⋅n→=0可知a→⊥n→，从而得出结论．
【解答】
解：∵ a→⋅n→=3×(−1)+(−2)×(−2)+(−1)×1=0．
∴ a→⊥n→，
∴ l // α或l⊂α．
故选B.
2.
【答案】
B
【考点】
抛物线的性质
抛物线的标准方程
【解析】
利用抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(−1, 1)，求得p2=1，即可求出抛物线焦点坐标．
【解答】
解：∵ 抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(−1, 1)，
∴ 准线x=−p2=−1，解得p=2，
∴ 该抛物线焦点坐标为(1, 0)．
故选B.
3.
【答案】
D
【考点】
命题的否定
【解析】
运用特称命题的否定为全称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定．
【解答】
解：由特称命题的否定为全称命题，可得
若命题p:∃x0∈R，x02+2x0+2≤0，
则￢p为∀x∈R，x2+2x+2>0．
故选D.
4.
【答案】
A
【考点】
空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】
利用向量夹角余弦公式直接求解．
【解答】
解：∵ 向量a→=(1,λ,1)，b→=(2,−1,−2)，
a→与b→的夹角余弦为26，
∴ cs=a→⋅b→|a→|⋅|b→|=−λ2+λ2⋅9=26，
解得λ=−2.
故选A.
5.
【答案】
B
【考点】
抛物线的性质
【解析】

【解答】
解：∵抛物线y2=4x，
∴F1,0，准线为l：x=−1，
过P点作PN⊥l，如图，
AF=3−12+1−02=5，
∴C△APF=|AF|+|AP|+|PF|
=5+|AP|+|PN|，
要使△APF周长最小，则使|AP|+|PN| 最小即可，
过A点作AM⊥l，与抛物线交于P1点，
此时△APF周长也最小，
∴△APF周长最小为4+5．
故选B．
6.
【答案】
B
【考点】
空间向量运算的坐标表示
空间向量的数量积运算
【解析】
先求出c→−a→，再利用空间向量的数量积公式a→=(x1,y1,z1)，b→=(x2,y2,z2)，a→⋅b→=x1⋅x2+y1y2+z1z2建立方程，求出x
【解答】
解：c→−a→=(0,0,1−x)，
(c→−a→)⋅(2b→)
=(2,4,2)⋅(0,0,1−x)=2(1−x)=−2，
解得x=2，
故选B.
7.
【答案】
B
【考点】
向量的三角形法则
【解析】
由题意，把OA→,OB→，OC→三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将MN→用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确选项．
【解答】
解：MN→=MA→+AB→+BN→,
=13OA→+OB→−OA→+12BC→,
=−23OA→+OB→+12OC→−12OB→,
=−23OA→+12OB→+12OC→,
∵OA→=a→,OB→=b→,OC→=c→,
∴MN→=−23a→+12b→+12c→,
故选B．
8.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由于|ab|≤|a|+|b|2<1，所以|ab|<1成立，即充分性成立；
举出反例a=5，b=16，满足|ab|<1，但|a|+|b|<2不成立，即必要性不成立；
所以“|a|+|b|<2”是“|ab|<1”的充分不必要条件，
故选B．
9.
【答案】
D
【考点】
曲线与方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为 x+y+6x+y−3=0，
所以x+y+6=0，x+y−3≥0或x+y−3=0，
此时x+y+6=0x+y−3≥0无解，
所以方程表示一条直线： x+y−3=0.
故选D．
10.
【答案】
B
【考点】
直线与椭圆结合的最值问题
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
直线与圆的位置关系
【解析】
分两条切线的斜率是否同时存在进行分类讨论，在两条切线的斜率同时存在时，可在圆上任取一点x0,y0，并设过该点的直
线方程为y−y0=kx−x0，与椭圆方程联立，利用Δ=0可得出关于k的二次方程，利用韦达定理可求得实数α的值．
【解答】
解：当椭圆两切线与坐标垂直时，则两切线的交点坐标为±a+2,±a，
该点在圆x2+y2=6上，所以，2a+2=6，解得a=2,
当椭圆两切线的斜率同时存在时，不妨设两切线的斜率分别为k1、k2,
设两切线的交点坐标为x0,y0，并设过该点的直线方程为y−y0=kx−x0，
联立y=kx+y0−kx0,x2a+2+y2a=1,
消去y得
a+2k2+ax2+2ka+2y0−kx0x+a+2y0−kx02−aa+2=0，
Δ=4k2a+22y0−kx02−4[a+2k2+a][a+2y0−kx02−aa+2]=0，
化简得k2a+2−x02+2kx0y0+a−y02=0，
由韦达定理得
k1k2=a−y02a+2−x02=−1，
整理得2a+2−x02+y02=2a−4=0，
解得a=2，
综上所述，a=2，
故选B．
11.
【答案】
B
【考点】
基本不等式
反证法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：假设2−ab>1,2−bc>1,2−ca>1，
三式相乘得2−ab⋅2−bc⋅2−ca>1，
由a，b，c∈0,2，
所以0<2−aa≤2−a+a22=1，
同理2−bb≤1，
2−cc≤1，
则2−aa⋅2−bb⋅2−cc≤1与2−ab⋅2−bc⋅2−ca>1矛盾，
即假设不成立，
所以2−ab,2−bc,2−ca不能同时大于1，
所以至少有一个不大于1，
故选B．
12.
【答案】
A
【考点】
直线的倾斜角
双曲线的定义
双曲线的离心率
平面向量的坐标运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：过右焦点F的直线的倾斜角60∘，不妨设直线方程为： x=33y+c，
联立方程 x=33y+c，b2x2−a2y2=a2b2得
13b2−a2y2+233b2cy+b4=0，
设Ax1,y1，Bx2,y2，Fc,0，
因为AF→=7FB→，
所以y1=−7y2，
所以 −6y2=−233b2c13b2−a2,−7y22=b413b2−a2,
所以36y22=4b4c23(13b2−a2)2,7y22=−b413b2−a2,
所以367=−4c2b2−3a2，
所以27a2−9b2=7c2，
因为a2+b2=c2，
所以27a2−9c2−a2=7c2，
所以36a2=16c2，
所以c2a2=3616，
所以ca=32.
故选A．
二、填空题
【答案】
7或3
【考点】
双曲线的定义
【解析】
确定P在双曲线的左支或右支上，由双曲线的定义可得结论．
【解答】
解：双曲线x2−y22=1中a=1，
∵ |PF1|=5，
∴ P在双曲线的左支或右支上，
∴ 由双曲线的定义可得||PF2|−|PF1||=2，
∴ |PF2|=7或3．
故答案为：7或3．
三、解答题
【答案】
解：(1)由a=10，e=35，
解得c=6，
所以b2=a2−c2=100−36=64，
故所求的椭圆方程为x2100+y264=1.
(2)直线x−y+2=0与坐标轴的交点坐标分别是−2,0,0,2，
当焦点坐标为−2,0时，p=4，顶点在原点，对称轴是坐标轴的抛物线方程是：y2=−8x，
当焦点坐标为0,2时，p=4，顶点在原点，对称轴是坐标轴的抛物线方程是：x2=8y.
【考点】
椭圆的标准方程
抛物线的标准方程
【解析】
（1）先依据条件求出．，再依a,b,c的关系求出b，最后写出方程；
（2）先求出直线与坐标轴的交点，即得抛物线的焦点坐标，因此可以写出方程．
【解答】
解：(1)由a=10，e=35，
解得c=6，
所以b2=a2−c2=100−36=64，
故所求的椭圆方程为x2100+y264=1.
(2)直线x−y+2=0与坐标轴的交点坐标分别是−2,0,0,2，
当焦点坐标为−2,0时，p=4，顶点在原点，对称轴是坐标轴的抛物线方程是：y2=−8x，
当焦点坐标为0,2时，p=4，顶点在原点，对称轴是坐标轴的抛物线方程是：x2=8y.
【答案】
解：(1)当命题p是真命题时：
当a=0时，ax2−ax+2>0可化为2>0，成立；
当a≠0时，a>0,Δ=−a2−4a⋅2<0,
解得0综上所述，实数a的取值范围是[0,8)，
当命题p是假命题时，实数a的取值范围是(−∞,0)∪[8,+∞)．
(2)¬p是q的必要不充分条件，
则m−1,m+1是(−∞,0)∪[8,+∞)的真子集，
即m+1<0或m−1≥8，
解得m<−1或m≥9，
∴ 实数m的取值范围是(−∞,−1)∪[9,+∞)．
【考点】
命题的真假判断与应用
一元二次不等式的应用
充分条件、必要条件、充要条件
子集与真子集
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)当命题p是真命题时：
当a=0时，ax2−ax+2>0可化为2>0，成立；
当a≠0时，a>0,Δ=−a2−4a⋅2<0,
解得0综上所述，实数a的取值范围是[0,8)，
当命题p是假命题时，实数a的取值范围是(−∞,0)∪[8,+∞)．
(2)¬p是q的必要不充分条件，
则m−1,m+1是(−∞,0)∪[8,+∞)的真子集，
即m+1<0或m−1≥8，
解得m<−1或m≥9，
∴ 实数m的取值范围是(−∞,−1)∪[9,+∞)．
【答案】
解：(1)由已知可得， a→+kb→=1−k,1,2k，2a→+b→=1,2,2.
因为a→+kb→//2a→+b→，
所以1−k1=12=2k2，可得k=12.
(2)由(1)知， a→+kb→=1−k,1,2k，
2a→+b→=1,2,2.
因为向量a→+kb→与2a→+b→所成角为锐角，
所以a→+kb→⋅2a→+b→
=1−k,1,2k⋅1,2,2=1−k+2+4k>0，
解得k>−1.
又当k=12时， a→+kb→//2a→+b→，
可得实数k的范围为k|k>−1且k≠12.
【考点】
空间向量运算的坐标表示
共线向量与共面向量
空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】
（1）求出a→+kb→=1−k,1,2k 2a→+b=1,2,2，根据1−k1=12=2k2可解得结果；
（2）根据a→+kb→⋅2a→+b→>0可得k>−1，除去k=12可得解．
【解答】
解：(1)由已知可得， a→+kb→=1−k,1,2k，2a→+b→=1,2,2.
因为a→+kb→//2a→+b→，
所以1−k1=12=2k2，可得k=12.
(2)由(1)知， a→+kb→=1−k,1,2k，
2a→+b→=1,2,2.
因为向量a→+kb→与2a→+b→所成角为锐角，
所以a→+kb→⋅2a→+b→
=1−k,1,2k⋅1,2,2=1−k+2+4k>0，
解得k>−1.
又当k=12时， a→+kb→//2a→+b→，
可得实数k的范围为k|k>−1且k≠12.
【答案】
(1)解：当n=1时，13=a12，
又an>0，
∴ a1=1，
当n=2时， 13+23=a22，
解得a2=3，
当n=3时， 13+23+33=a32，
解得a3=6．
(2)证明：猜想an=nn+12，
①当n=1时，由(1)可知结论成立；
②假设当n=k时，结论成立，即ak=kk+12成立，
则当n=k+1时，由13+23+⋯+k3=ak2与ak=kk+12，
得：k+13=ak+12−ak2=ak+12−kk+122，
∴ ak+12=k+13+k2k+124=k+12k+1+k24=k+12k+224，
又an>0，
∴ ak+1=k+1k+22成立，
综上所述得an=nn+12成立．
【考点】
数列递推式
数学归纳法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)解：当n=1时，13=a12，
又an>0，
∴ a1=1，
当n=2时， 13+23=a22，
解得a2=3，
当n=3时， 13+23+33=a32，
解得a3=6．
(2)证明：猜想an=nn+12，
①当n=1时，由(1)可知结论成立；
②假设当n=k时，结论成立，即ak=kk+12成立，
则当n=k+1时，由13+23+⋯+k3=ak2与ak=kk+12，
得：k+13=ak+12−ak2=ak+12−kk+122，
∴ ak+12=k+13+k2k+124
=k+12k+1+k24
=k+12k+224，
又an>0，
∴ ak+1=k+1k+22成立，
综上所述得an=nn+12成立．
【答案】
(1)证明：∵ ABCD是平行四边形，且CD=AB=2BC=4，BD=23，
∴ CD2=BD2+BC2，故∠CBD=90∘，即BD⊥BC，
取BC的中点F，连结EF．
∵ BE=CE，
∴ EF⊥BC，
又∵ 平面BCE⊥平面ABCD，
∴ EF⊥平面ABCD，
∴ BD⊂平面ABCD，
∴ EF⊥BD．
∵ EF∩BC=F, EF,BC⊂平面BCE，
∴ BD⊥平面BCE，
∵ EC⊂平面BCE，
∴ BD⊥CE.
(2)解：∵ BE=CE=10，由(1)得EF=BE2−BF2=10−1=3,
以B为坐标原点，BC，BD所在直线分别为x,y轴，建立空间直角坐标系（如图），
则A2,−23,0，D0,−23,0,E−1,0,3,
∴ AE→=−3,23,3，DE→=−1,23,3，
设平面ADE的法向量为a→=x,y,z，
则a→⋅AE→=0，a→⋅DE→=0，
即−3x+23y+3z=0，−x+23y+3z=0，
得平面ADE的一个法向量为a→=0,3,−2，
由(1)知BD⊥平面BCE，
所以可设平面BCE的法向量为b→=0,1,0，
设平面ADE与平面BCE所成二面角的平面角为θ，则
csθ=a→⋅b→|a→|⋅|b→|=0+3×1+07×1=217，
即平面ADE与平面BCE所成二面角的平面角的余弦值为217.
【考点】
两条直线垂直的判定
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
（1）推导出BD⊥BC，EF⊥BC，从而EF⊥平面ABCD，进而EF⊥BD，由此得到BD⊥平面BCE，从而BD⊥CE．
（2）以B为坐标原点，BC，BD所在直线分别为x，y轴，以过点B且与FE平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ADE与平面BCE所成二面角的余弦值．
【解答】
(1)证明：∵ ABCD是平行四边形，且CD=AB=2BC=4，BD=23，
∴ CD2=BD2+BC2，故∠CBD=90∘，即BD⊥BC，
取BC的中点F，连结EF．
∵ BE=CE，
∴ EF⊥BC，
又∵ 平面BCE⊥平面ABCD，
∴ EF⊥平面ABCD，
∴ BD⊂平面ABCD，
∴ EF⊥BD．
∵ EF∩BC=F, EF,BC⊂平面BCE，
∴ BD⊥平面BCE，
∵ EC⊂平面BCE，
∴ BD⊥CE.
(2)解：∵ BE=CE=10，由(1)得EF=BE2−BF2=10−1=3,
以B为坐标原点，BC，BD所在直线分别为x,y轴，建立空间直角坐标系（如图），
则A2,−23,0，D0,−23,0,E−1,0,3,
∴ AE→=−3,23,3，DE→=−1,23,3，
设平面ADE的法向量为a→=x,y,z，
则a→⋅AE→=0，a→⋅DE→=0，
即−3x+23y+3z=0，−x+23y+3z=0，
得平面ADE的一个法向量为a→=0,3,−2，
由(1)知BD⊥平面BCE，
所以可设平面BCE的法向量为b→=0,1,0，
设平面ADE与平面BCE所成二面角的平面角为θ，则
csθ=a→⋅b→|a→|⋅|b→|=0+3×1+07×1=217，
即平面ADE与平面BCE所成二面角的平面角的余弦值为217.
【答案】
解：(1)由题意得：4a=8,a=2，
且b2a−c=−ba，
又a2=b2+c2，
解得：b2=2，
所以椭圆的方程：x24+y22=1．
(2)显然直线l的斜率不为零，
设l的方程为：x=my−2,Cx,y,Dx′,y′，
联立与椭圆的方程消x得：2+m2y2−22my−2=0，
易得Δ>0恒成立，
y+y′=22m2+m2，yy′=−22+m2，
S△OCD=12⋅|OF1|⋅|yC−yD|
=12⋅2⋅y+y′2−4yy′
=422⋅1+m22+m2
∴ 由题意得：22⋅1+m22+m2=103，
整理得：5m4−16m2−16=0，
解得m2=4，
所以m=±2 ，
所以直线l的方程为：x=±2y−2．
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的定义
两条直线平行与倾斜角、斜率的关系
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
【解析】
（1）由题意，三角形的周长求出a的值，再由AB // OP，直线的斜率相等及a，c，b之间的关系求出椭圆的方程；
（2）设直线l的方程与椭圆联立，求出两根之和及两根之积，进而求出两根之差的绝对值，求出面积，再由椭圆求出直线方程．
【解答】
解：(1)由题意得：4a=8,a=2，
且b2a−c=−ba，
又a2=b2+c2，
解得：b2=2，
所以椭圆的方程：x24+y22=1．
(2)显然直线l的斜率不为零，
设l的方程为：x=my−2,Cx,y,Dx′,y′，
联立与椭圆的方程消x得：2+m2y2−22my−2=0，
易得Δ>0恒成立，
y+y′=22m2+m2，yy′=−22+m2，
S△OCD=12⋅|OF1|⋅|yC−yD|
=12⋅2⋅y+y′2−4yy′
=422⋅1+m22+m2
∴ 由题意得：22⋅1+m22+m2=103，
整理得：5m4−16m2−16=0，
解得m2=4，
所以m=±2 ，
所以直线l的方程为：x=±2y−2．