2021届东北三省四市教研联合体高三理数第二次联合考试试卷及答案

这是一份2021届东北三省四市教研联合体高三理数第二次联合考试试卷及答案，共13页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 高三理数第二次联合考试试卷
一、单项选择题
1.定义集合运算： ，设 ， ，那么集合 的所有元素之和为〔    〕
A. 16                                         B. 18                                         C. 14                                         D. 8



2.复数 〔其中 为虚数单位〕，那么 〔    〕
A. 1                                           B. 3                                           C. 5                                           D. 6



3.割补法在我国古代数学著作中称为“出人相补〞，刘徽称之为“以盈补虚〞，即以多余补缺乏，是数量的平均思想在几何上的表达.如图，揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法，在三角形 内任取一点，那么该点落在标记“盈〞的区域的概率〔    〕

A.                                           B.                                           C.                                           D. 



4. ， ， ，那么 ， ， 的大小关系为〔    〕
A.                            B. 

                           C.                            D. 



5.以下四个命题，其中真命题的个数为〔    〕
①空间三条互相平行的直线 ， ， ，都与直线 相交，那么 ， ， 三条直线共面；②假设直线 平面 ，直线 平面 ，那么 ；③平面 平面 直线 ，直线 平面 ，直线 平面 ，那么 ；④垂直于同一个平面的两个平面互相平行.
A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4



6.双曲线 的左、右焦点分别为 、 ， 是双曲线 上一点， 轴， ，那么双曲线的渐近线方程为〔    〕
A.                        B. 

                       C.                        D. 



7.如下列图，流程图所给的程序运行结果为 ，那么判断框中所填入的关于 的条件是〔    〕

A.                                 B. 

                                C.                                 D. 



8. 是定义域为 的奇函数， ，当 时， ，那么 时， 的解析式为〔    〕
A.                B. 

               C.                D. 



9.假设函数 的图象向右平移 个长度单位后关于点 对称，那么 在 上的最小值为〔    〕
A. -1                                   B.                                    C.                                    D. 



10.直线 与圆 交于 、 两点， 为坐标原点， ，那么实数 的值为〔    〕
A.                                      B.                                      C.                                      D. 



11. 、 是球 的球面上两点， ，过 作互相垂直的两个平面截球得到圆 和圆 ，假设 ， ，那么球的外表积为〔    〕
A. 5π                                      B. 10π                                      C. 15π                                      D. 20π



12.函数 ， ，假设 成立，那么 的最小值为〔    〕
A.                                   B.                                   C.                                   D. 



二、填空题
13.________．
14.在一次跳绳比赛中，35名运发动在一分钟内跳绳个数的茎叶图，如下列图，假设将运发动按跳绳个数由少到多编为1~35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，把7人跳绳个数由少到多排成一列，第一个人跳绳个数是133，那么第5个人跳绳个数是________.

15.在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 的面积为 ， ， ，那么 的值为________.
16.在学习推理和证明的课堂上，老师给出两个曲线方程 ； ，老师问同学们：你想到了什么?能得到哪些结论?下面是四位同学的答复：
甲：曲线 关于 对称；
乙：曲线 关于原点对称；
丙：曲线 与坐标轴在第一象限围成的图形面积 ；
丁：曲线 与坐标轴在第一象限围成的图形面积 ；
四位同学答复正确的有________〔选填“甲、乙、丙、丁〞〕.
三、解答题
17.公比大于1的等比数列 的前6项和为126，且 ， ， 成等差数列.
〔Ⅰ〕求数列 的通项公式 ；
〔Ⅱ〕假设数列 满足 ，且 ，证明：数列 的前 项和 .
18.新冠疫情爆发以来，在党和政府的领导下，社区工作人员做了大量的工作，为总结工作中的经验和缺乏，设计了一份调查问卷，总分值100分，随机发给100名男性居民和100名女性居民，分数统计如下：
100位男性居民评分频数分布表
分组
频数

3

12

72

8

5
合计
100
100位女性居民评分频数分布表
分组
频数

5

15

64

7

9
合计
100
〔Ⅰ〕求这100位男性居民评分的均值 和方差 ；
〔Ⅱ〕男性居民评分 服从正态分布 ， 用 表示， 用 表示，求 ；
〔Ⅲ〕假设规定评分小于70分为不满意，评分大于等于70分为满意，能否有99%的把握认为居民是否满意与性别有关?
附： ， ， ， .
参考公式 ， .














19.等腰直角 ， ，点 ， 分别为边 ， 的中点，沿 将 折起，得到四棱锥 ，平面 平面 .

〔Ⅰ〕过点 的平面 平面 ，平面 与棱锥 的面相交，在图中画出交线；设平面 与棱 交于点 ，写出 的值〔不必说出画法和求值理由〕；
〔Ⅱ〕求证：平面 平面 .
20.点 ， ，直线 ， 的斜率乘积为 ， 点的轨迹为曲线 .
〔Ⅰ〕求曲线 的方程；
〔Ⅱ〕设斜率为 的直线交 轴于 ，交曲线 于 ， 两点，是否存在 使得 为定值，假设存在，求出的 值；假设不存在，请说明理由.
21.函数 .
〔Ⅰ〕当 时，求函数 的单调区间
〔Ⅱ〕假设 在 上有且仅有一个极小值点，求 的取值范围.
22.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 〔 为参数〕，曲线 的参数方程为 〔 为参数〕，以该直角坐标系的原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
〔Ⅰ〕分别求曲线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程；
〔Ⅱ〕设直线 交曲线 于 ， 两点，交曲线 于 ， 两点，求 的长．
23.
〔Ⅰ〕解不等式 ；
〔Ⅱ〕设 的最大值为 ，如果正实数 ， 满足 ，求 的最小值.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】由题设知： ，
∴所有元素之和 .
故答案为：A.

【分析】根据题意由的集合的定义代入数值计算出结果即可。
2.【解析】【解答】由 ，
∴ .
故答案为：C.

【分析】根据题意首先由复数代数形式的运算性质整理化简再由复数代数形式的运算性质即可得出答案。
3.【解析】【解答】易知，“盈〞的面积等于“虚〞的面积，从而三角形面积等于矩形面积，而“虚〞占矩形面积的百分数即“盈〞占三角形的百分数.“盈〞与“虚〞的交界点在三角形腰的中点上，易知，“虚〞占矩形面积的四分之一，故“盈〞占三角形面积的四分之一.
故答案为：A.

【分析】 根据题意可得该点落在标记“盈〞的区域的面积为三角形面积的四分之一，即可求出．
4.【解析】【解答】 ，
∴ .
故答案为：C.

【分析】利用对数函数以及指数函数的单调性即可得出答案。
5.【解析】【解答】①假设 ， ， 三条直线不共面，由平行的直线 ， 与直线 相交，即 ， 、 共面，而 ， 平行，那么 、 不可能相交，与题设矛盾，正确；
② 面 ，假设 面 且 ，又 面 即 ，那么 ，正确；
③过直线 作面 ，假设面 面 ，面 面 ，而 面 ，那么有 面 ， ，又面 面 ，即 ，所以 ，正确；
④垂直于同一平面的两个平面不一定平行，错误；
故答案为：C.

【分析】 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系直接求解．
6.【解析】【解答】由题设， ，由 轴，知 ，
∴ ，又 ，
∴ ，得 ，又 ，得 ，
∴ ，又渐近线方程为 ，即 等价于 .
故答案为：C.

【分析】根据题意由条件，结合正切函数以及双曲线的 a、b 、c 三者的关系即可求出以及， 提出建立空间直角坐标系，求出点以及向量的坐标并设出平面的法向量，结合数量积的坐标公式计算出法向量的坐标，再由向量夹角的公式代入计算出夹角的余弦值，由此得出二面角 的余弦值 。得出双曲线的渐近线方程。
7.【解析】【解答】由程序流程的输出结果，知：
⒈ ：执行循环， ；
⒉ ：执行循环， ；
⒊ ：执行循环， ；
⒋ ：执行循环， ；
由题设输出结果为 ，故第5步输出结果，此时 .
故答案为：B.

【分析】根据题意由程序框图的循环代入数值验证即可得出满足题意的输出值.
8.【解析】【解答】 是定义域为 的，所以 ，

因为 ，所以 的一条对称轴方程为 ，
当 时， ，
所以当 时， ，
所以 ，
那么 时， ，
所以 ，
即 .
故答案为：A.
【分析】根据题意由得f〔2-x〕=f〔x〕，由0≤x≤1时，f〔x〕=ex-1及奇函数可求-1≤x≤0时的函数解析式，然后由2≤x≤3可得-1≤2-x≤0，进而可求．
9.【解析】【解答】 的图象向右平移 个长度单位可得
，
因为 是此函数的对称中心点，
那么 ，
解得 ， ，
又因为 ，
所以当 时， ，
所以 ，
因为 ，那么 ，
所以 ，
所以 在 上的最小值为 .
故答案为：C

【分析】首先平移的性质得出函数f(x)平移之后的函数的解析式，再由正弦函数的图象即可得出， 对k赋值即可得出函数的解析式，结合正弦函数的单调性由整体思想即可求出函数的单调区间。
10.【解析】【解答】由 得： ，
又 为圆 的圆心，那么 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，所以 为等边三角形，
那么 到直线 的距离为： ，
即     ，
故答案为：D.

【分析】首先由条件结合数量积的运算性质即可得出， 由此得出进而求出， 进而得出三角形为等边三角形，结合点到直线的距离公式代入数值计算出a的值即可。
11.【解析】【解答】令圆 、圆 半径分别为 ，由 ， ， ，
∴ ， ，且 到圆 的距离 ，
∴假设球 的半径为R ， 那么 ，即球的外表积 .

故答案为：D.

【分析】 根据题意作出图形，利用条件转化求解外接球的半径，然后求解外接球的外表积即可.
12.【解析】【解答】令 ，那么 ， ，
∴ ， ，即 ，
假设 ，那么 ，
∴ ，有 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；
∴ ，即 的最小值为 .
故答案为：D.

【分析】 根据f〔m〕=g〔n〕=t得到m，n的关系，利用消元法转化为关于t的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论．
二、填空题
13.【解析】【解答】解：
，
故答案为 ．
【分析】利用诱导公式，将 转化为 ，然后利用两角和的正弦公式化简求出结果.
14.【解析】【解答】有系统抽样知：在35人中抽7人，第一人跳绳个数为133，
∴后续第二人开始，抽取人员的跳绳个数分别为138、141、143、145、148、153.
∴第5个人跳绳个数为145.
故答案为：145.

【分析】根据题意计算出系统抽样间隔，由第一个人跳绳的个数得出样本编号，从而得出第5个人的编号和对应跳绳个数．
15.【解析】【解答】由 ，
又 ，解得 ，
由余弦定理知， .
故答案为：4.

【分析】首先由同角三角函数的根本关系式计算出sinA的值，再由条件结合三角形的面积公式即可求出bc的值，结合余弦定理代入数值计算出结果即可。
16.【解析】【解答】对于甲的答复，在曲线 上任取一点 ，那么 ，
点 关于直线 的对称点为 ，且 ，
所以，曲线 关于 对称，甲的答复正确；
对于乙的答复，在曲线 上任取一点 ，那么 ，
点 关于原点的对称点为 ，那么 ，
所以，曲线 关于原点对称，乙的答复正确；
对于丙的答复，对于等式 ， ，可得 ，同理可得 ，
当 时， ，当 时， ，
在曲线 上任取一点 ，那么 ，
即点 在直线 的下方，如以下列图所示：

直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，所以， ，
丙的答复正确；
对于丁的答复，在曲线 上任取一点 ，
因为 ， ，那么 ， ，
那么 ，即点 在圆 外，如以下列图所示：

圆 在第一象限内与两坐标轴围成的区域的面积为 ，所以， ，丁的答复错误.
故答案为：甲、乙、丙.

【分析】 利用曲线的对称性判断甲、乙说法的正误，选择和作为参考，判断丙、丁说法的正误.
三、解答题
17.【解析】【分析】 〔Ⅰ〕 由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公比，进而得到所求。
〔Ⅱ〕 由对数的运算性质可得再由数列的恒等式可得由数列的裂项相消求和和不等式的性质，即可得证.
18.【解析】【分析】 (1)根据频数分布表以及平均数和方差公式即可求解.
(2)由正态分布的性质求解即可；
(3)根据可得2×2列联表，计算K2的观测值k与临界值比较，即可得出结论.
19.【解析】【分析】 〔1〕根据题意即可得出AD⊥DE，平面ADE⊥平面BCDE，根据两个平面垂直的性质定理得AD⊥平面BCDE，所以AD⊥BC，又CD⊥BC，根据线面垂直的判定定理BC⊥平面ACD，BC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ACD
〔2〕由于平面α∥平面ABC，故平面ACD与平面α的交线MQ∥AC，M是CD的中点，故Q是AD的中点；同理平面BCDE与平面α的交线MN∥BC，N为BE的中点；平面ABE的交线NP∥AB，P为AE的中点，连接PQ即为平面α与平面ADE的交线，故平面α与四棱锥A-BCDE各个面的交线所围成多边形就是四边形MNPQ，进一步观察可知四边形MNPQ是直角梯形，进而由比例关系可以求得截面面积与△ABC的面积之比.
20.【解析】【分析】 〔Ⅰ〕 设出点P的坐标，利用直接法建立关系式，化简即可求解
〔Ⅱ〕 设出T的坐标以及直线的方程，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理以及两点间距离公式求出的关系式，然后根据关系式即可求解.
21.【解析】【分析】 〔Ⅰ〕 当 ，点的函数的解析式对其求导得到由奇偶性的定义可得f(x)为偶函数，求导分析当时f(x)的单调性，即可得出答案.
〔Ⅱ〕 由 〔Ⅰ〕知，f(x)为偶函数，由f(x)在上有且仅有一个极小值点，得在上有且只有1个解，即即在上有且只有一个解，即可得出答案.
22.【解析】【分析】〔Ⅰ〕消去参数，即可得到曲线 的直角坐标方程，结合 ，即可得到曲线 的极坐标方程。〔Ⅱ〕计算直线l的直角坐标方程和极坐标方程，计算 长，即可。
23.【解析】【分析】 〔Ⅰ〕 用零点分段法去掉绝对值，求出各段的解集，再求并集即可.
〔Ⅱ〕 先求出f(x)的最大值3，得到， 再变形后用根本不等式可求解.