2021届河南省洛阳市高三理数四模试卷及答案

这是一份2021届河南省洛阳市高三理数四模试卷及答案，共12页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 高三理数四模试卷
一、单项选择题
1.设集合 ， ，那么 等于〔    〕
A.        B.        C.        D. 
2. ，假设复数 ( 是虚数单位)是纯虚数，那么 〔    〕
A. 0或1                                         B. 0                                         C. 1                                         D. -1
3.等差数列 的前 项和为 ，假设 ， ，那么 等于〔    〕
A. 63                                        B. 71                                        C. 99                                        D. 117
4.给定以下四个命题：
①假设一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②假设一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④假设两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是〔   〕
A. ①和②                                B. ②和③                                C. ③和④                                D. ②和④
5.设曲线 在点 处的切线与直线 平行，那么 等于〔    〕
A.                                          B. 2                                         C.                                          D. -2
6.抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与该抛物线交于 ， 两点，直线 与该抛物线的准线交于 点，且点 为 的中点，那么 等于〔    〕
A.                                          B.                                          C. 4                                         D. 2
7.假设 ， ， ， ，那么〔   〕
A.                        B.                        C.                        D. 
8.某市从8名优秀教师中选派4名同时去4个灾区支教〔每地1人〕，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，那么不同的选派方案的种数为〔    〕
A. 1680                                     B. 960                                     C. 600                                     D. 480
9.函数 的图像由函数 的图像经如下变换得到：先将 的图像向右平移 个单位，再将图像上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，那么函数 的对称轴方程为〔    〕
A. ，
B. ，k∈Z
C. ,
D. ，
10.三棱锥P-ABC的四个顶点均在球面上， 平面ABC． ， 为直角三角形， ，且 ， ．那么球的外表积为〔    〕
A.                                     B.                                     C.                                     D. 
11. 分别为双曲线 的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点．假设 的最小值为8a，那么该双曲线的离心率e的取值范围是．
A. (1, 3]                                   B. (1,2]                                   C. [2,3]                                   D. [3,十∞)
12.函数 在 上单调递增.且关于 的方程 恰有两个不相等的实数解.那么实数 的取值范围是〔   〕．
A.                   B.                   C.                   D. 
二、填空题
13. 均为正实数. .那么 的最小值为________．
14.等比数列 的前n项和为 ，且 ，那么 ________.
15.在 中，点 在线段 上，且 ，假设 ，那么 ________.
16.假设存在实常数 和 ，使得 和 对其公共定义域上的任意实数 都满足： 和 恒成立，那么称此直线 为 和 的“分隔直线〞.函数 ， ，假设 和 之间存在“分隔直线〞，那么 的取值范围为________.
三、解答题
17.的内角 的对边分别为 ，且 .
〔1〕求A；
〔2〕假设 ，点D为边 的中点，且 ，求 的面积.
18.如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， ， ， 与 .

〔1〕求证： ；
〔2〕假设平面 平面 ，且 ，求二面角 的余弦值.
19.支付宝作为常见的第三方支付工具，对提现转账均收费，有鉴于此，局部对价格敏感的用户或将回流至传统银行体系，某调查机构对此进行调查，并从参与调查的数万名支付宝用户中随机选取200人，把这200人分为3类：认为使用支付宝方便，仍使用支付宝提现转账的用户称为“A类用户〞；根据提现转账的多少确定是否使用支付宝的用户称为“B类用户〞；提前将支付宝账户内的资金全部提现，以后转账全部通过银行的用户称为“C类用户〞，各类用户的人数如下列图：

同时把这200人按年龄分为青年人组与中老年人组，制成如下列图的 列联表：

A类用户
非A类用户
合计
青年

20

中老年
40


合计


200
〔1〕完成 列联表并判断是否有99.9%的把握认为“A类用户与年龄有关〞；
〔2〕从这200人中按A类用户､B类用户､C类用户进行分层抽样，从中抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求在这4人中A类用户､B类用户､C类用户均存在的概率；
〔3〕把频率作为概率，从支付宝的全球所有用户中随机抽取3人，用X表示所选3人中A类用户的人数，求X的分布列与期望.
附：
P〔K2≥k〕






k






(参考公式： ，其中 )
20.椭圆 的离心率为 ，直线 与椭圆有且只有一个交点 .
〔1〕求椭圆 的方程和点 的坐标；
〔2〕设 为坐标原点，与 平行的直线 与椭圆 交于不同的两点 ，直线 与直线 交于点 ，试判断 是否为定值，假设是请求出定值，假设不是请说明理由.
21.函数 .
〔1〕求函数 的单调区间；
〔2〕假设函数 在 处的切线方程为 ，且当对于任意实数 时，存在正实数 ， ，使得 ，求 的最小正整数值.
22.在平面直角坐标系xOy中，曲线E经过点P ，其参数方程 〔 为参数〕，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
〔1〕求曲线E的极坐标方程；
〔2〕假设直线 交E于点A，B，且OA OB，求证： 为定值，并求出这个定值.
23.函数 .
〔1〕假设不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围；
〔2〕当 时，函数 的最小值为 ,求实数 的值.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】因为 或 ，，
，
所以 ，
故答案为：A．

【分析】根据题意由绝对值不等式的解法求解出不等式的解集，由此得到集合A再由不等式的性质求出集合B，结合交集的定义即可得出答案。
2.【解析】【解答】由复数 ( 是虚数单位)是纯虚数，
得： ，即 .
故答案为：C.

【分析】由复数的定义即可得出， 求解出a的值即可。
3.【解析】【解答】由等差数列 的前 项和性质，
得： ， ， 也成等差数列，
即 ，
又因 ， ，那么解得 ，
因此 .
故答案为：C.

【分析】利用等差数列的前n项公式，再结合等差数列的性质即可得出， 从而由等差数列的前n项和的定义即可得出答案。
4.【解析】【解答】当两个平面相交时，一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面，故①错误；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面，故③错误；假设两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．综上，真命题是②④.
故答案为：D

【分析】 由条件结合直线与平面平行与垂直，平面与平面平行与垂直的判定与性质，对命题逐一判断即可得出真命题是②④，从而得出答案。
5.【解析】【解答】对函数 求导得 ，
由条件可得 ，所以， .
故答案为：B.

【分析】根据题意首先对函数求导，再由导数的几何意义即可求出， 从而计算出a的值即可。
6.【解析】【解答】解：抛物线 的焦点 ，准线为 ，设准线与 轴交于点 ，那么 ，过 作 垂直准线交于点 ，过 作 垂直准线交于点 ，因为点 为 的中点，所以 ，那么 ，设过抛物线 的焦点 的直线 的方程为 ，

与抛物线联立得 ，
消去 得 ，
，
设点 ， ，点 ， ，
所以 ，
那么
故答案为：B

【分析】 根据题意设出准线与x轴交于点E，那么EF=2，过A 作AM 垂直准线交于点M，过B 作BN 垂直准线交于点N，依题意可得AM=4，即可求出， 设过抛物线的焦点F的直线的方程为， 联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，设点， ， ， ， 即可求出， ， 再根据焦半径公式代入数值计算出结果即可。
7.【解析】【解答】由于函数 在 上是增函数， ，那么 ，
由根本不等式可得 ，
因此， ，
故答案为：B。
【分析】由根本不等式以及对数函数的单调性可得出三个数 、 、 的大小关系。
8.【解析】【解答】假设甲去，那么乙不去，丙去，此时不同的选派方法数为 种，
假设甲不去，那么乙可能去也可能不去，丙不去，此时不同的选派方法数为 种.
综上所述，不同的选派方法数为 种.
故答案为：C.

【分析】根据题意由排列组合以及分步计数原理，结合条件计算出答案即可。
9.【解析】【解答】函数 的图像向右平移 个单位，得到 的图像，
再将图像上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，得到 的图像，
即 ，那么其对称轴满足： ，
即 ，
故答案为：A

【分析】根据题意由函数平移的性质整理得出， 结合余弦函数的图象即可得出答案。
10.【解析】【解答】根据题意：， 平面ABC． ，
那么三棱锥P-ABC可补成长方体，如图，

三棱锥P-ABC的外接球即是对应长方体的外接球，
所以长方体的对角线 为其外接球的直径,
由 ， ， ,
，所以球的半径为 .
所以球的外表积为： .
故答案为：C.

【分析】 由条件即可得出棱垂直于底面的三棱锥的外接球的球心是过底面外接圆的圆心做垂直于底面的直线与中截面的交点，而底面为直角三角形，所以底面外接圆的圆心为斜边的中点，且半径为斜边的一半，根据底面外接圆的半径与球的半径和 三棱锥的高的一半构成直角三角形，由题意求出外接球的半径，求出外接球的外表积.
11.【解析】【解答】 .
当且仅当 ，即 时，上式等号成立，这时 .
又 ，即 ，
因此， .
故答案为：A.
【分析】首先根据题意由双曲线的定义结合根本不等式即可求出， 由此得出即， 再由题意得出即， 结合离心率公式代入数值计算出结果即可。
12.【解析】【解答】由函数的解析式可知函数在区间 上单调递增，
当 时，函数 单调递减，由复合函数的单调性法那么可知： ，
且函数在 处满足： ，解得： ，故 ，
方程 恰有两个不相等的实数解，那么函数 与函数 的图像有且仅有两个不同的交点，
绘制函数 的图像如图中虚线所示，

令 可得： ，
由 可知 ， ，
那么直线 与函数 的图像在区间 上存在唯一的交点，
原问题转化为函数 与二次函数 在区间 上存在唯一的交点，
很明显当 ，即 时满足题意，
当直线与二次函数相切时，设切点坐标为 ，亦即 ，
由函数的解析式可得：当 时， ，
故： ，那么 ，
切点坐标为 ，从而： ，即 .
据此可得： 的取值范围是 .
故答案为： A.
【分析】由题意首先求得a的取值范围，然后结合函数的解析式将原问题转化为两函数图像存在两个交点的问题，数形结合即可确定a的取值范围.
二、填空题
13.【解析】【解答】因为 ，所以 ，
所以 ，
令 ，
那么
令 ，即 ，解得 ，此时 单调递增，
令 ，即 ，解得 ，此时 单调递减，
所以 时， ，
所以 时 的最小值为3，
故答案为：3
【分析】 均为正实数， ，可得 ，所以 ，
再利用导数研究单调性极值与最值即可求解.
14.【解析】【解答】设等比数列 的首项为 ，公比为 .
当 时显然不成立. 所以 ，那么由 ，解得：
所以
故答案为：

【分析】根据题意由等比数列的通项公式以及等比数列前n项和公式，整理计算出q的值，再把结果代入结合等比数列的通项公式计算出结果即可。
15.【解析】【解答】由 ，得 ，
那么在 中， ，
因 ，故 ，因此 .
故答案为： .
【分析】根据题意由向量的加、减运算法那么，结合向量的线性运算即可得出， 由此得出答案。
16.【解析】【解答】如以下列图所示：

由图可知， ，可得 对任意的 恒成立，
那么 ，即 ，
不等式 对任意的 恒成立，
①假设 ，当 时， ，不符合题意；
②假设 ，那么 对任意的 恒成立，那么 ，可得 ，
又 对任意的 恒成立，那么 ， ；
③假设 ，那么 ，所以， ，
即 ，解得 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
故答案为： .

【分析】 根据题意设f(x)和g(x)的“分割直线〞为y=kx+b，那么必有及恒成立，由此可到及恒成立，由此可得解.
三、解答题
17.【解析】【分析】(1)利用正弦定理边化角,再利用余弦定理求解即可.(2) 为 为 的中线,所以 再平方后利用向量的数量积公式进行求解,再代入 可解得 ,再代入面积公式求解即可.
18.【解析】【分析】 〔1〕根据题意连接PE，证明， 可得， 由， 得， 由线面垂直的判定可得 平面 ，从而得到AD⊥PC；
(2)由 平面 ， 平面 平面 ，，可得EP，EA，EC两两垂直，以E为原点，EA，EC，EP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值.
19.【解析】【分析】 (1)根据题意，填写2×2列联表，计算观测值，对照临界值表得出结论；
(2)根据题意按分层抽样方法抽取10人，那么.A类用户6人、B类用户3人、C类用户1人，利用组合数计算根本领件数，求出对应的概率值即可；
(3)由条件即可得出把频率作为概率，从支付宝所有用户(人数很多)中抽取3人，可近似看作3次独立重复试验，所以X的取值依次为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望.
20.【解析】【分析】 (1)根据椭圆的离心率公式 e= = = ，整理 b2= a2 ，将直线方程代入椭圆方程由△=0，即可求得a和b的值，由此得出椭圆的方程；
(2)设直线的方程，联立求得P点坐标，将直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及两点之间的距离公式，求得|PA|·|PB|，即可求出答案.
21.【解析】【分析】(1)根据题意首先求出函数的定义域，再对其求导并结合a的取值范围即可得出导函数的性质，由此得出函数的单调性以及单调区间。
(2)由(1)的结论得出导函数的性质，对x赋值计算出切线的斜率，由此计算出a的值从而得出函数的解析式，由条件整理即可得出， 设构造函数， 对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，再由函数的单调性即可得出即， 由此得到， 再设， 结合函数的单调性整理得出， 从而得出由此得出答案。
22.【解析】【分析】(1)根据题意把点的坐标代入到曲线的方程，由此计算出a的值以及曲线的普通方程和极坐标方程。
(2)首先根据题意设出点的坐标，由条件即可得出整理得出， 从而得到整理化简即可得出结果。
23.【解析】【分析】(1)根据题意首先把不等式转化为， 由绝对值不等式的几何意义，即可得出求解出a的取值范围即可。
(2)由条件结合零点的定义即可得出： 当 时，即， 由此得出函数的解析式， 再由分段函数以及函数的单调性即可求出函数的最小值，再由最值的情况得出求解出a的值。