河南省开封市2022届高三理数三模试卷及答案

 高三理数三模试卷

一、单选题

1．已知集合 ， ，则 （　　） 

A． B． C． D．

2．已知数列 的通项公式为 ，前n项和为 ，则 （　　） 

A．48 B．63 C．80 D．99

3．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（　　） 

A． B． C．2 D．

4．在 中，D为AC的中点， ，则 （　　） 

A． B．

C． D．

5．函数 的部分图象大致为（　　） 

A． B．

C． D．

6．过抛物线 上一点A作x轴的垂线与C交于点P，过点A作y轴的垂线交y轴于点Q，若C的焦点F是PQ的中点，且 ，则 （　　） 

A．1 B． C．2 D．3

7．设 ， ，则“ ”是“ ”的（　　） 

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

8．已知 ， ， 是z的共轭复数，且 ，则 （　　） 

A．2 B． C． D．

9．生物的性状是由遗传因子确定的，遗传因子在体细胞内成对存在，一个来自父本，一个来自母本，且等可能随机组合.豌豆子叶的颜色是由显性因子D（表现为黄色），隐性因子d（表现为绿色）决定的，当显性因子与隐形因子结合时，表现显性因子的性状，即DD，Dd都表现为黄色；当两个隐形因子结合时，才表现隐形因子的性状，即dd表现为绿色.已知父本和母本确定子叶颜色的遗传因子都是Dd，不考虑基因突变，从子一代中随机选择两粒豌豆进行杂交，则选择的豌豆的子叶都是黄色且子二代豌豆的子叶是绿色的概率为（　　） 

A． B． C． D．

10．如图，E是正方形ABCD内一动点，且满足 ，在正方形ABCD内随机投一个点，则该点落在图中阴影部分的概率的最小值是（　　） 

A． B． C． D．

11．已知 ， 分别是双曲线 的左､右焦点，P是C的渐近线上一点且位于第一象限， ，若圆 与直线PF1相交，则C的离心率的取值范围是（　　） 

A． B． C． D．

12．已知a，b均为正实数，且 ， （e为自然对数的底数），则下列大小关系不成立的是（　　） 

A． B． C． D．

二、填空题

13．已知单位向量 ， 的夹角为 ，则 　     　. 

14．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于直线 对称.若 ，则 　     　. 

15．已知点A，B，C，D均在表面积为16π的球面上，且 ， ， 是边长为3的等边三角形，则四面体ABCD的体积为　     　. 

16．在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美好愿景.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程.已知第1个图中的三角形的面积为1，记第n个图形的面积为 ，则 　           　. 

三、解答题

17．已知 中， ， ， . 

（1）求AC；

（2）若D为BC边上一点，给出三种数值方案：① ；② ；③ .判断上述三种方案所对应的 的个数（不需说明理由），并求三种方案中，当 唯一时BD的长. 

18．根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y（百千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间对应数据的散点图，如图所示.

参考公式：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ， ，相关系数 .参考数据：

（1）请从相关系数r（精确到0.01）的角度分析，能否用线性回归模型拟合y与x的关系（若 ，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）； 

（2）建立y关于x的线性回归方程，并用其估计当该种液体肥料每亩使用量为9千克时，该蔬菜基地西红柿亩产量的增加量约为多少百千克？

19．如图，已知多面体ABCDEF中， 平面ABCD， 平面ABCD，且B，D，E，F四点共面，ABCD是边长为2的菱形， ， . 

（1）求证： 平面ACF； 

（2）求平面AEF与平面BCF所成锐二面角的余弦值.

20．已知 ， ，动点 满足AM与BM的斜率之积为 ，记M的轨迹为曲线C. 

（1）求点M的轨迹方程；

（2）点P，Q在C上，且 ，求 面积的取值范围. 

21．已知函数 ，其中 ，且满足对 时， 恒成立. 

（1）求实数a的取值范围；

（2）令 ，判断 在区间 内的零点个数，并说明理由.（参考数据： ） 

22．在极坐标系Ox中，已知点 ，直线l过点A，与极轴相交于点N，且 . 

（1）求直线l的极坐标方程；

（2）将OA绕点O按顺时针方向旋转 ，与直线l交于点B，求 的面积. 

23．已知函数 的最小值为2. 

（1）求a的取值范围；

（2）若 ，求a的取值范围. 

答案解析部分

1．【答案】A

2．【答案】C

3．【答案】C

4．【答案】D

5．【答案】A

6．【答案】C

7．【答案】A

8．【答案】D

9．【答案】B

10．【答案】B

11．【答案】B

12．【答案】D

13．【答案】

14．【答案】

15．【答案】

16．【答案】

17．【答案】（1）解：由正弦定理得： ，即 ，解得 .

（2）解：过A作BC的垂线AO，垂足为O，则 ， 如图，

① ，此时满足条件的 有0个；

② ，因为 ， ，所以此时满足条件的 有2个；

③ ，因为 ，所以此时满足条件的 有1个.

在③的情况下，由余弦定理得： ，

即 ，解得 .

18．【答案】（1）解：由已知数据可得 ， ， 

所以 ，

，

，

相关系数 .

因为 ，所以线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合y与x的关系.

（2）解：由于 ， ， 

所以y关于x的线性回归方程为 .

当 时， ，所以西红柿亩产量的增加量约为5.2百千克.

19．【答案】（1）证明：如图，连接BD交AC于点O，连接OF，

因B，D，E，F四点共面， 平面ABCD，平面 平面 ，则 ，

而底面ABCD是边长为2的菱形， ，则 ，因此四边形EFOD为平行四边形，

又 平面ABCD，且 平面ABCD，即 ，则 为矩形，即 ，

又 ， ，则 ，而 ， 平面ACF，

所以 平面ACF.

（2）解：由（1）知， ，而 平面ABCD，则 平面ABCD，即有OA，OB，OF两两垂直， 

以O为原点，以向量 ， ， 的方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系 ，如图，

则 ，

，

设 为平面AEF的法向量，则 ，令 ，得 ，

设 为平面BCF的法向量，则 ，令 ，得 ，

于是得 ，

所以平面AEF与平面BCF所成锐二面角的余弦值为 .

20．【答案】（1）解：直线AM的斜率为 ，直线BM的斜率为 ， 

由题意可知： ，

故曲线C的方程为： .

（2）解：不妨设P在x轴的上方，直线AP的斜率为k，则 . 

则直线AP的方程为： ，联立椭圆 ，

得 ，即 ，

则由韦达定理得： ，

所以，

由于 ，所以AQ的斜率为 ，直线AQ的方程为： ，

以 代替 ，

所以 ，

令 ，由于 ，所以 ， .

由于 在 时单调递增，所以 时面积最大，此时 .

综上： ，故 面积的取值范围为 .

21．【答案】（1）解：一方面，当 时， ，所以 . 

另一方面， ，令 ， ，

当 时， ，所以 即 在 单调递增，

又因为 ，所以 恒成立，所以 在 上单调递增，

所以 符合题意，即 .

（2）解： ，所以 ， 

令 ，所以 ，当 时， .

所以 即 在 上单调递增，

又因为 ， ，

所以 ，使 ，

且 时， ， 在 单调递减，

时， ， 在 单调递增，

又因为 ，

， ，

所以 在区间 ， 内各有一个零点，即 在区间 内有2个零点.

22．【答案】（1）解：设 为直线l上除点A外的任意一点，则 ， . 

由点A的极坐标为 知 ， .

设直线l与极轴交于点N，由已知 .

在 中，由正弦定理得： ，

即 ，即 .

显然，点A的坐标 也是该方程的解.

所以，直线l的极坐标方程为 .

（2）解：将OA绕点O按顺时针方向旋转 ，与直线l交于点B，则B的极坐标为 ， 

代入直线l的极坐标方程得 ，即 ，即 ，

所以 .

23．【答案】（1）解：因为 ，所以 ， 

又因为 ，当且仅当 时等号成立，

所以a的取值范围是 .

（2）解： ， ， 

由 及 得 ，

即 ，即 或 ，

解得 ，又因为 ，所以a的取值范围是 .