高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质本章综合与测试同步达标检测题

第三章 函数的概念与性质

总分：120分时间：120分钟

一、单选题（总分48分，每题4分)

1．若函数y=的图象经过点(2，3)，则该函数的图象一定经过(  )

A．(1，6) B．(–1，6)

C．(2，–3) D．(3，–2)

【答案】A

【解析】将代入函数解析式得，故，也即，经验证知A选项正确，故选A.

2．对于集合，，由下列图形给出的对应中，不能构成从到的函数有（  ）个

A.个 B.个 C.个 D.个

【答案】C

【解析】第一个图形中，有剩余元素，所以不能构成从到的函数

第二个图形中，存在对应两个不同的，所以不能构成从到的函数

第三个图形中，在时，对应两个不同的，所以不能构成从到的函数

第四个图形中，每个都有唯一确定的与之对应，所以可以构成从到的函数

综上所述，共有个图形不能构成从到的函数

本题正确选项：

3．设函数若，则实数（    ）

A．-4或2 B．-4或-2 C．-2或4 D．-2或2

【答案】A

【解析】分类讨论：

当时，有；

当时，有或(舍去)；

综上可得，实数-4或2 .

本题选择A选项.

4．已知函数的定义域为，则的定义域为（  ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】的定义域为，即，，

所以，函数的定义域为，故选：C.

5．函数的值域为 

A． B．R

C． D．

【答案】B

【解析】解：函数在定义域上是单调增函数，且满足，
的值域为R．
故选：B．

6．已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，则f(1)的值等于(  )

A．11 B．2 C．5 D．－1

【答案】B

【解析】令2x＋1=1，解得：x=0∴f(1)=3×0+2=2故选：B

7．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程(t为时间)，则下图与故事情节相吻合的是 （   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意可得的始终是匀速增长，开始时，的增长比较快，但中间有一段时间停止增长，在最后一段时间里，的增长又较快，但的值没有超过的值，

结合所给的图象可知，B选项适合，故选B．

8．已知当x∈(1,+∞)时,函数y=xα的图象恒在直线y=x的下方,则α的取值范围是(　　)

A.0<α<1 B.α<0

C.α<1 D.α>1

【答案】C

【解析】由幂函数的图象特征知α<1.

9．下列函数中，在区间上是增函数且是偶函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】A.是偶函数,并且在区间时增函数，满足条件；

B.不是偶函数,并且在上是减函数，不满足条件；

C.是奇函数,并且在区间上时减函数，不满足条件；

D.是偶函数，在区间上是减函数，不满足条件；

故选A.

10．下列哪一组函数相等（  ）

A.与 B.与

C.与 D.与

【答案】D

【解析】选项：定义域为；定义域为：    两函数不相等

选项：定义域为；定义域为：    两函数不相等

选项：定义域为；定义域为：    两函数不相等

选项：与定义域均为，且    两函数相等

本题正确选项：

11．函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（  ）

A．a>1 B．0<a<1 C．a<0 D．a<1

【答案】A

【解析】解：因为函数的定义域为R，

所以的解为R，

即函数的图像与x轴没有交点，

，当时，函数与x轴有交点，故不成立；

，当时，要使函数的图像与x轴没有交点，

则，解得，故本题选A。

12．已知函数的图象关于直线对称，当时，恒成立，则满足的的取值范围是（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】当时，恒成立，

所以恒成立，即函数在上单调递增，

又因为函数的图象关于直线对称，所以在上单调递减，

若要满足，即，解得，

故选A．

二、填空题（总分16分，每题4分)

13．集合A={x|x≤5且x≠1}用区间表示____________．

【答案】

【解析】因为集合A={x|x≤5且x≠1}，表示从负无穷到5（包括5）去掉1，所以用区间表示为.

14．已知函数f（x），g（x），分别由下表给出

则g（1）的值为______；当g[f（x）]=2时，x=______．

【答案】3    1   

【解析】从以上表格可知，当x=1时，g（1）=3

从表中可知，g[2]=2因而f（x）=2

从表可知，当x=1时，f（1）=2

所以x的值为1

15．已知函数满足，则函数的解析式为__________．

【答案】

【解析】  ①中将x换成，

得f（）+2f（x）   ②，

由①②联立消去f（）得f（x），

故答案为：f（x）．

16．定义在上的奇函数若函数在上为增函数，且则不等式的解集为_____．

【答案】

【解析】由题意得到与异号，故不等式可转化为或，根据题意可作函数图象，如图所示：

由图象可得：当时，；当时，，

则不等式的解集是．

三、解答题（总分56分，17、18、19每题8分，20、21题10分，22每题12分.)

17．根据已知条件，求函数的解析式．

（1）已知为一次函数，且，求的解析式．

（2）下图为二次函数的图像，求该函数的解析式．

【答案】（1）或；（2）

【解析】（）∵为一次函数，∴设，

∴，∴，∴或，

∴或．

（）如图所示，二次函数过，，三点，

∴代入得，解得，  ∴．

18．设．

（1）在图的直角坐标系中画出f（x）的图象；

（2）若f（t）=2，求t值；

（3）求函数f（x）的最小值．

【答案】（1）见解析； （2）t=-2或t=，或t=2； （3）-1.

【解析】（1）f（x）的图象如右边：

（2）当t≤-1时，f（t）=-t=2，∴t=-2；

当-1＜t＜2时，f（t）=t2-1=2，解得：t=；

当t≥2时，f（t）=t=2，∴t=2，

综上所述：t=-2或t=，或t=2．

（3）由图可知：当x∈（-1，2）时，f（x）=x2-1≥-1，

所以函数f（x）的最小值为-1．

19．已知函数是定义在上的偶函数，当时，现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示．

(1)画出函数在轴右侧的图象，并写出函数在上的单调递增区间；

(2)求函数在上的解析式．

【答案】（1）和；（2）.

【解析】(1)图象如下：

函数的单调增区间为和；

（2）设，则；

函数是定义在R上的偶函数，且当时，；

；

．

20．已知函数.

（1）求函数的定义域；

（2）试判断函数在上的单调性，并给予证明；

（3）试判断函数在的最大值和最小值.

【答案】(1)；(2)函数在上是增函数，证明见解析；(3)最大值是，最小值是.

【解析】（1）∵函数，；

∴.∴函数的定义域是；

（2）∵，

∴函数在上是增函数，

证明：任取，，且，

则

∵，

∴，，

∴

即，

∴在上是增函数.

（3）∵在上是增函数，

∴在上单调递增，

它的最大值是

最小值是.

21．是定义在R上的函数，对∈R都有，且当＞0时，＜0，且＝1.

(1)求的值；

(2)求证：为奇函数；

(3)求在[－2,4]上的最值．

【答案】(1) f(－2)＝2 (2)奇函数（3）f(x)max＝2， f(x)min＝－4.

【解析】(1)f(x)的定义域为R，

令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，

∴f(0)＝0，

∵f(－1)＝1，

∴f(－2)＝f(－1)＋f(－1)＝2，

(2)令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，

∴f(－x)＋f(x)＝f(0)＝0，

∴f(－x)＝－f(x)，

∴f(x)是奇函数．

(3)设x2>x1，

f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)

∵x2－x1>0，∴f(x2－x1)<0，

∴f(x2)－f(x1)<0，

即f(x2)<f(x1)，

∴f(x)在R上为减函数．

∴f(2)＝－f(－2)＝－2，

∴f(4)＝f(2)＋f(2)＝－4，

∵f(x)在[－2,4]上为减函数，

∴f(x)max＝f(－2)＝2，

f(x)min＝f(4)＝－4.

22．经市场调查，某商品在过去的100天内的销售量(单位：件)和价格(单位：元)均为时间 (单位：天)的函数，且销售量满足=，价格满足=．

(1)求该种商品的日销售额与时间的函数关系；

(2)若销售额超过16610元，商家认为该商品的收益达到理想程度，请判断该商品在哪几天的收益达到理想程度?

【答案】（1）=，

（2）天数为第53，54，…60，61天，共9天．

【解析】(1)由题意知，当时，= = =，

当时，= ==，

所求函数关系=．

(2)当时，==，

∴函数在上单调递增，∴= = (元)，

当时，==，

∴函数在上单调递减，∴= = (元)．

若销售额超过16610元，当时，函数单调递减，故只有第61天满足条件．

当时，经计算满足条件，又函数在上单调递增，∴第53，54，…，60天，满足条件，即满足条件的天数为第53，54，…60，61天，共9天．