2020-2021学年甘肃省白银市高二（上）12月月考数学（理）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年甘肃省白银市高二（上）12月月考数学（理）试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 椭圆C:x24+y2m2=1的焦距为4，则C的长轴长为（ ）
A.22B.4C.42D.8

2. 已知a→=3,m，b→=2m+1,1，则“m=1”是“a→//b→”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2=3，S4=15，则S6=( )
A.31B.32C.63D.64

4. 下列说法正确的是（ ）
A.命题“若|x|=5，则x=5"的否命题为“若|x|=5，则x≠5”
B.“x=−1”是“x2−5x−6=0”的必要不充分条件
C.命题“∃x0∈R,3x02+2x0−1>0”的否定是“∀x∈R,3x2+2x−1<0”
D.命题“若x=y，则sinx=siny"的逆否命题为真命题

5. 直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )
A.14B.13C.12D.34

6. △ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若△ABC的面积是63，B=π3， a=2c，则b=（ ）
A.2B.4C.6D.8

7. 已知椭圆x27+y216=1的上下焦点为F1,F2，点P在椭圆上，则|PF1|⋅|PF2|的最大值是（ ）
A.9B.16C.25D.27

8. 命题p：函数fx=sin2(ωx)的最小正周期为π的充要条件是ω=1；命题q：定义域为R的函数gx满足gx+2=g−x，则函数gx的图象关于直线x=1对称．则下列命题为真命题的是( )
A.p∧qB.¬p∧¬qC.¬p∧qD.p∧¬q

9. 若b2+c2−a2=2bc，且a−ccsBsinB=b−ccsAsinA，那么△ABC是（ ）
A.直角三角形B.等腰直角三角形
C.等腰三角形D.等边三角形

10. 若正实数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是( )
A.245B.125C.5D.25

11. 下面四个判断中，正确的是（ ）
A.式子1+k+k2+⋯+knn∈N∗，当n=1时为1
B.式子1+k+k2+⋯+kn−1n∈N∗，当n=1时为1+k
C.式子11+12+13+⋯+12n−1n∈N∗，当n=2时为11+12+13
D.设fn=1n+1+1n+2+13n+1n∈N∗，则fk+1=fk+13k+2+13k+3+13k+4

12. 已知F1,F2是椭圆C:x28+y2m=1的两个焦点，若椭圆C上存在点P满足∠F1PF2=90∘，则m的取值范围是（ ）
A.0,2∪16,+∞B.0,4∪16,+∞C.0,2∪8,+∞D.0,4∪8,+∞
二、填空题

在等差数列an中，a1=17且a4=2a7+1,Sn是数列an前n项的和，若Sn取得最大值，则n=________．


已知实数x，y满足x+2≥y，x+2y≥4，y≤5−2x，则z=yx+1的取值范围为________．

曲线y=−1−x2与曲线y+|ax|=0a∈R的交点有________个．

已知直线x+2y−3=0与椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线3x−4y+1=0上，则此椭圆的离心率为________.
三、解答题

设命题p：实数x满足x2−6mx+5m2≤0，其中m>0；命题q:x+2x−5<0．
(1)若m=2，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

(2)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，满足S=34b2+c2−a2．
(1)求角A的大小；

(2)若a=2，求b+c的取值范围．

若平面内两定点O0,0 ,A3,0，动点P满足|PO||PA|=12．
(1)求点P的轨迹方程；

(2)求|PO|2+|PA|2的最大值．

已知等差数列an的前n项和为Sn，且a3=−5,S4=−24.
(1)求数列an的通项公式；

(2)求数列|an|的前20项和T20.

已知椭圆M:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为63，焦距为22．直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B．
(1)求椭圆M的方程；

(2)设直线l的方程为y=x+m，先用m表示|AB|，然后求其最大值．

已知函数fx=2|x−1|−|x+1|−m.
(1)当m=−2时，求不等式fx>3的解集；

(2)若fx的最小值为M，且a+b=M+m+4a,b∈R，求2a2+3b2的最小值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年甘肃省白银市高二（上）12月月考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
椭圆的定义和性质
椭圆的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据条件可知m2>4，则2m2−4=4，
所以|m|=22，于是C的长轴长为42．
故选C．
2.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
根据a→//b→，求出m的值，再根据集合的包含关系判断即可．
【解答】
解：若a→//b→，
则m2m+1=3，
解得：m=−32或m=1.
由m=−32或m=1推不出m=1，反之成立.
故“m=1”是“a→//b→”的充分不必要条件.
故选A．
3.
【答案】
C
【考点】
等比中项
等比数列的前n项和
【解析】
由等比数列的性质可得S2，S4−S2，S6−S4成等比数列，代入数据计算可得．
【解答】
解：S2=a1+a2，
S4−S2=a3+a4=(a1+a2)q2，
S6−S4=a5+a6=(a1+a2)q4，
所以S2，S4−S2，S6−S4成等比数列，
即3，12，S6−15成等比数列，
可得122=3(S6−15)，
解得S6=63.
故选C.
4.
【答案】
D
【考点】
四种命题间的逆否关系
命题的否定
命题的真假判断与应用
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A中，命题“若|x|=5，则x=5”的否命题为“若|x|≠5，则x≠5”，故A不正确；
B中，由x2−5x−6=0，解得x=−1或x=6，所以“x=−1’是“x2−5x−6=0”的充分不必要条件，故B不正确；
C中，“∃x0∈R, 3x02+2x0−1>0"的否定是“∀x∈R,3x2+2x−1≤0"，故C不正确；
D中，命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题，因此其逆否命题为真命题，D正确.
故选D．
5.
【答案】
C
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
设出椭圆的方程，求出直线的方程，利用已知条件列出方程，即可求解椭圆的离心率．
【解答】
解：设椭圆的方程为：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，
则直线方程为：xc+yb=1，椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的14，
可得：11c2+1b2=b2，
∴ 4=b2(1c2+1b2)，
∴ b2c2=3，
∴ a2−c2c2=3，
∴ e=ca=12．
故选C．
6.
【答案】
C
【考点】
余弦定理
三角形的面积公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为△ABC的面积是63，B=π3，a=2c，
所以S△ABC=12acsinB=63，即12×2c×c×32=63，
解得c=23或c=−23（舍去），
所以a=43，
所以b2=a2+c2−2accsB，
即b2=432+232−2×43×23×12，
解得b=6或b=−6（舍去）．
故选C．
7.
【答案】
B
【考点】
椭圆的定义和性质
椭圆的标准方程
基本不等式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意a=4，|PF1|+|PF2|=2a=8，
|PF1|⋅|PF2|≤|PF1|+|PF2|22=822=16，
当且仅当|PF1|=|PF2|=4时等号成立，
故选B．
8.
【答案】
C
【考点】
复合命题及其真假判断
逻辑联结词“或”“且”“非”
【解析】
y=sin2ωx=1−cs2ωx2,最小正周期为2π2ω，由已知得2π2ω=π，所以ω=1或者ω=−1，p命题错误，gx+2=g−x，则g2−x=gx，所以gx关于x=1对称，q命题正确，选C
【解答】
解：①f(x)=sin2ωx=1−cs2ωx2，
当最小正周期2π2|ω|=π时，
得ω=±1，
即函数fx=sin2(ωx)的最小正周期为π的充要条件是ω=±1，
故命题p为假命题，
则¬p为真命题.
②由gx+2=g−x，
可得g(x+1)=g(−x+1)，
所以函数gx的图象关于直线x=1对称，
故命题q为真命题，
则¬q为假命题.
综合得，p∧q为假命题，¬p∧¬q为假命题，¬p∧q为真命题，p∧¬q为假命题.
故选C.
9.
【答案】
B
【考点】
余弦定理
正弦定理
三角形的形状判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由余弦定理可得csA=b2+c2−a22bc=2bc2bc=22，
因为0所以A=π4.
因为a−ccsBsinB=b−ccsAsinA，
由正弦定理可得：
sinA−sinCcsBsinB=sinB−sinCcsAsinA，
整理可得： sinBcsB=sinAcsA，
所以sin2B=sin2A，
所以2A+2B=π或2A=2B，
因为A=π4，所以B=π4，
所以C=π−A−B=π−π4−π4=π2，
所以△ABC是等腰直角三角形，
故选B．
10.
【答案】
C
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
将方程变形15y+35x=1，代入可得3x+4y=(3x+4y)(15y+35x)=135+3x5y+4y5x×3，然后利用基本不等式即可求解．
【解答】
解：∵ x+3y=5xy，x>0，y>0，
∴ 15y+35x=1，
∴ 3x+4y=(3x+4y)(15y+35x)
=135+3x5y+4y5x×3≥135+23x5y⋅12y5x=5，
当且仅当3x5y=12y5x即x=2y=1时取等号.
故选C.
11.
【答案】
C
【考点】
数学归纳法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A，式子1+k+k2+⋯+knn∈N∗，
当n=1时为： 1+k，题中的说法错误；
B，式子1+k+k2+⋯+kn−1n∈N∗，
当n=1时为1，题中的说法错误；
C，式子11+12+13+⋯+12n−1n∈N∗，
当n=2时为11+12+13，题中的说法正确；
D，设fn=1n+1+1n+2+13n+1n∈N∗，
则fk=1k+1+1k+2+13k+1，
fk+1=1k+2+1k+3+13k+4，
fk+1=fk+1k+3+13k+4−1k+1−13k+1，题中的说法错误；
故选C．
12.
【答案】
B
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的定义
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：先讨论当点P在椭圆上时，∠F1PF2最大时，点P的位置．
cs∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|22|PF1|⋅|PF2|
=|PF1|+|PF2|2−2|PF1|⋅|PF2|−4c22|PF1|⋅|PF2|
=4a2−2|PF1|⋅|PF2|−4c22|PF1|⋅|PF2|
=4b22|PF1|⋅|PF2|−2
≥4b22(|PF1|+|PF2|2)2−2=2b2a2−2,
当且仅当|PF1|=|PF2|时取得等号，即当点P在椭圆的短轴的端点上时，
cs∠F1PF2最小，此时∠F1PF2最大．
要使得椭圆C上存在点P满足∠F1PF2=90∘，则只需∠F1PF2最大时的值大于等于90∘．
如图设椭圆的一个短轴的端点为B，即只需∠F1BO≥45∘．
当椭圆的焦点在x轴上时， c=8−m,
由题意可得 8−mm≥tan45∘,0当椭圆的焦点在y轴上时，c=m−8，
由题意可得 m−88≥tan45∘,m>8,解得，m≥16．
故选B．
二、填空题
【答案】
9
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的性质
等差数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设公差为d，则由a4=2a7+1得17+3d=217+6d+1，
解得d=−2，
∴ an=17+n−1×−2=19−2n.
由an=19−2n≥0 ，得n≤192，
即a9>0,a10<0，
∴ Sn取得最大值时， n=9.
故答案为：9.
【答案】
13,2
【考点】
简单线性规划
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示，
观察可知，kBD≤yx+1≤kCD，
故13≤yx+1≤2．
故答案为：13,2．
【答案】
2
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：利用数形结合的思想方法，如图所示：
由图可知，交点有2个．
故答案为：2．
【答案】
22
【考点】
椭圆的离心率
与椭圆有关的中点弦及弦长问题
【解析】
联立x+2y−3=0,3x−4y+1=0得x=1,y=1，∴ 直线x+2y−3=0与3x−4y+1=0的交点为M1,1，
∴线段AB的中点为M1,1，设x+2y−3=0与x2a2−y2b2=1的交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1+x2=2,y1+y2=2，分别把A(x1,y1),B(x2,y2)代入椭圆方程x2a2+y2b2=1(a>b>0)，得：
x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1.
两式相减整理，得y1+y2y1−y2x1−x2x1+x2=−12=−b2a2,．∴ a=2b=2c．∴ e=ca=22 .
【解答】
解∶联立x+2y−3=0,3x−4y+1=0得x=1，y=1，
∴ 直线x+2y−3=0与3x−4y+1=0的交点为M1,1，
∴线段AB的中点为M1,1，
设x+2y−3=0与x2a2+y2b2=1的交点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则x1+x2=2，y1+y2=2，
分别把A(x1,y1)，B(x2,y2)代入椭圆方程x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
得x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,
两式相减，整理得y1+y2y1−y2x1−x2x1+x2=−12=−b2a2,
∴ a=2b=2c，
∴ e=ca=22 .
故答案为：22.
三、解答题
【答案】
解：(1)由x2−6mx+5m2≤0得x−mx−5m≤0，
又m>0，所以m≤x≤5m，
当m=2时， 2≤x≤10，
即p为真时实数x的取值范围是2≤x≤10，
由q:x+2x−5<0，得q:−2若p∧q为真，则p真且q真，
2≤x≤10，−2解得2≤x<5.
所以实数x的取值范围是[2,5)．
(2)p是q的充分不必要条件，等价于p⇒q，且q⇏p,
设A=x|m≤x≤5m,B=x|−2则A⊆B且A≠B所以m>−2,5m<5,
解得−2又因为m>0，所以实数m的取值范围是0,1．
【考点】
复合命题及其真假判断
根据充分必要条件求参数取值问题
逻辑联结词“或”“且”“非”
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由x2−6mx+5m2≤0得x−mx−5m≤0，
又m>0，所以m≤x≤5m，
当m=2时， 2≤x≤10，
即p为真时实数x的取值范围是2≤x≤10，
由q:x+2x−5<0，得q:−2若p∧q为真，则p真且q真，
2≤x≤10，−2解得2≤x<5.
所以实数x的取值范围是[2,5)．
(2)p是q的充分不必要条件，等价于p⇒q，且q⇏p,
设A=x|m≤x≤5m,B=x|−2则A⊆B且A≠B所以m>−2,5m<5,
解得−2又因为m>0，所以实数m的取值范围是0,1．
【答案】
解：(1)由三角形面积公式得：
S=34b2+c2−a2=12bcsinA，
∴ 32bccsA=12bcsinA，
∴ tanA=3,
∴ A=π3．
(2)在△ABC中，
由正弦定理得 asinπ3=bsinB=csinC ，又a=2，
所以b=433sinB， c=433sinC=433sin2π3−B，
故b+c=433sinB+433sin2π3−B
=43332sinB+32csB=4sin(B+π6)，
因为0所以12故b+c的取值范围是(2,4]．
【考点】
余弦定理
三角形的面积公式
正弦定理
正弦函数的单调性
正弦函数的定义域和值域
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由三角形面积公式得：
S=34b2+c2−a2=12bcsinA，
∴ 32bccsA=12bcsinA，
∴ tanA=3,
∴ A=π3．
(2)在△ABC中，
由正弦定理得 asinπ3=bsinB=csinC ，又a=2，
所以b=433sinB， c=433sinC=433sin2π3−B，
故b+c=433sinB+433sin2π3−B
=43332sinB+32csB=4sin(B+π6)，
因为0所以12故b+c的取值范围是(2,4]．
【答案】
解：(1)设Px,y，由题意可知，
∵ |PA|2=4|PO|2，
∴ 4x2+y2=x−32+y2，
整理得x+12+y2=4，即为点P的轨迹方程．
(2)∵ |PO|2+|PA|2=5|PO|2=5x2+y2，
由(1)得： y2=4−x+12，将其代入上式得
|PO|2+|PA|2=53−2x，
∵ −3≤x≤1，
∴ 当x=−3时， |PO|2+|PA|2最大，最大值为45.
【考点】
轨迹方程
两点间的距离公式
圆的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设Px,y，由题意可知，
∵ |PA|2=4|PO|2，
∴ 4x2+y2=x−32+y2，
整理得x+12+y2=4，即为点P的轨迹方程．
(2)∵ |PO|2+|PA|2=5|PO|2=5x2+y2，
由(1)得： y2=4−x+12，将其代入上式得
|PO|2+|PA|2=53−2x，
∵ −3≤x≤1，
∴ 当x=−3时， |PO|2+|PA|2最大，最大值为45.
【答案】
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
则由条件得a1+2d=−5,4a1+6d=−24,
解得a1=−9,d=2,
∴ an=−9+2n−1，即an=2n−11．
(2)令2n−11≥0，解得n≥112，
∴ 当n≤5时，an<0；当n≥6，an>0，
∴ T20=|a1|+|a2|+⋯+|a20|
=−a1+a2+⋯+a5+a6+a7+⋯+a20
=−2a1+a2+⋯+a5+(a1+a2+⋯+a5+a6+a7+⋯+a20)
=−2S5+S20
=−25×−9+5×42×2+20×−9+20×192×2
=−2×−25+200
=250．
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的通项公式
数列的求和
【解析】
本题考查利用基本量求等差数列的通项公式以及计算绝对值数列的前20项和．
暂无
【解答】
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
则由条件得a1+2d=−5,4a1+6d=−24,
解得a1=−9,d=2,
∴ an=−9+2n−1，即an=2n−11．
(2)令2n−11≥0，解得n≥112，
∴ 当n≤5时，an<0；当n≥6，an>0，
∴ T20=|a1|+|a2|+⋯+|a20|
=−a1+a2+⋯+a5+a6+a7+⋯+a20
=−2a1+a2+⋯+a5+(a1+a2+⋯+a5+a6+a7+⋯+a20)
=−2S5+S20
=−25×−9+5×42×2+20×−9+20×192×2
=−2×−25+200
=250．
【答案】
解：(1)由题意得 a2=b2+c2,ca=63,2c=22,
解得a=3,b=1.
所以椭圆M的方程为x23+y2=1．
(2)设Ax1,y1,Bx2,y2,
由 y=x+m,x23+y2=1, 得4x2+6mx+3m2−3=0，
由直线与椭圆交于两点，故可得Δ=36m2−163m2−3>0，
解得0≤m2<4，
又x1+x2=−3m2，x1x2=3m2−34，
所以|AB|=x2−x12+y2−y12=2x2−x12，
=2(x1+x2)2−4x1x2=12−3m22,
故当m=0，即直线l过原点时， |AB|最大，最大值为6．
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的定义和性质
椭圆的离心率
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意得 a2=b2+c2,ca=63,2c=22,
解得a=3,b=1.
所以椭圆M的方程为x23+y2=1．
(2)设Ax1,y1,Bx2,y2,
由 y=x+m,x23+y2=1, 得4x2+6mx+3m2−3=0，
由直线与椭圆交于两点，故可得Δ=36m2−163m2−3>0，
解得0≤m2<4，
又x1+x2=−3m2，x1x2=3m2−34，
所以|AB|=x2−x12+y2−y12=2x2−x12，
=2(x1+x2)2−4x1x2=12−3m22,
故当m=0，即直线l过原点时， |AB|最大，最大值为6．
【答案】
解：(1)当m=−2时，fx=−x+5,x<−1,−3x+3,−1≤x≤1,x−1,x>1,
又fx>3，
则有−x+5>3,x<−1或−3x+3>3,−1≤x≤1或x−1>3,x>1,
解得x<−1或−1≤x<0或x>4，即x<0或x>4，
所以不等式fx>3的解集为x|x<0或x>4．
(2)因为fx=−x+3−m,x<−1,−3x+1−m,−1≤x≤1,x−3−m,x>1在x=1处取得最小值−m−2，
所以M=−m−2，则a+b=M+m+4=2，
由柯西不等式(2a2+3b2)122+132
≥2a⋅12+3b⋅132=(a+b)2=4，
所以2a2+3b2≥245，当且仅当2a=3b，即a=65，b=45时，等号成立．
故2a2+3b2的最小值为245．
【考点】
绝对值不等式的解法与证明
函数的最值及其几何意义
柯西不等式
【解析】
考查了绝对值不等式的解法、分段函数的最值．
暂无
【解答】
解：(1)当m=−2时，fx=−x+5,x<−1,−3x+3,−1≤x≤1,x−1,x>1,
又fx>3，
则有−x+5>3,x<−1或−3x+3>3,−1≤x≤1或x−1>3,x>1,
解得x<−1或−1≤x<0或x>4，即x<0或x>4，
所以不等式fx>3的解集为x|x<0或x>4．
(2)因为fx=−x+3−m,x<−1,−3x+1−m,−1≤x≤1,x−3−m,x>1在x=1处取得最小值−m−2，
所以M=−m−2，则a+b=M+m+4=2，
由柯西不等式(2a2+3b2)122+132
≥2a⋅12+3b⋅132=(a+b)2=4，
所以2a2+3b2≥245，当且仅当2a=3b，即a=65，b=45时，等号成立．
故2a2+3b2的最小值为245．