2020-2021学年甘肃省定西市某校高二（下）4月月考数学（理）_试卷

这是一份2020-2021学年甘肃省定西市某校高二（下）4月月考数学（理）_试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知i为虚数单位，则复数1−i2−i=（ ）
A.−1−3iB.−1+3iC.1−3iD.1+3i

2. 已知集合A⫋{1, 2, 3}，且A中至少有一个奇数，则这样的集合A有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个

3. 某班小张等4位同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有（ ）
A.27种B.36种C.54种D.81种

4. 函数fx=x4在区间a,2a上的平均变化率为15，则实数a的值为（ ）
A.13B.12C.1D.2

5. 某同学逛书店，发现三本喜欢的书，决定至少买其中的一本，则购买方案有（ ）
A.3种B.6种C.7种D.9种

6. 从1，2，3，4，5五个数中任取3个，可组成不同的等差数列的个数为( )
A.2B.4C.6D.8

7. 计算A76−A65A54=( )
A.12B.24C.30D.36

8. 已知函数fx=x3−ax，若曲线y=fx在点1,f1处的切线与直线y=2x平行，则函数fx的所有极值之积为（ ）
A.−127B.−427C.−49D.−827

9. 下列不等式成立的是（ ）
A.3+1>22
B.若m>0，则12>m+1m+2
C.若a>b，c>d，则a−c>b−d
D.若m>0，n>0，且m+n=1，则2m+8n≥18

10. 由0，1，2，3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有（ ）
A.238个B.232个C.174个D.168个

11. 若函数fx=12x2−ax−lnx在区间1,2内有最小值，则实数a的取值范围为（ ）
A.0,1B.12,23C.0,32D.1,32

12. 如图，由火柴杆拼成的一系列图形中，第n个图形由若干个正三角形组成：
通过观察可以发现n=20时，第20个图形中火柴杆的根数为( )
A.480B.540C.600D.630
二、填空题

定积分1e1x−2xdx=________．

已知fx=x2+2f′(1)x，则f′1=________．

用数学归纳法证明等式1+2+3+⋯+2n−1+2n=2n−1+22n−1n∈N*的过程中，由n=k递推到n=k+1时，左边增加的项数为________.

把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．
三、解答题

已知i为虚数单位，复数z=a+ia∈R，z+1z为实数．
(1)求实数a的值；

(2)若复数z是方程x2+bx+c=0b∈R,c∈R的一个根，求实数b，c的值．

某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人．
(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？

(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？

一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单．
(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？

(2)前4个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？

已知函数fx=ax3−2ax2+ba≠0在区间−1,2上的最小值为−2，最大值为1.
(1)求实数a，b的值；

(2)若函数gx=fx−m有且仅有三个零点，求实数m的取值范围．

将一个面积为100m2的长方形铁皮制作成一个无盖的正四棱锥容器（图为无盖容器倒置图），要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失，记正四棱锥的无盖底面边长为x，容器的容积为fx．

(1)求函数y=fx的表达式；

(2)当该正四棱锥形容器的容积取得最大值时，求此时x的值．

已知函数fx=2x−lnx．
(1)求曲线y=fx过点−1,0的切线方程；

(2)令函数gx=fx−xlnx−ax，若函数gx单调递减，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年甘肃省定西市某校高二（下）4月月考数学（理） 试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
复数代数形式的乘除运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：1−i2−i=2−i−2i+i2=1−3i．
故选C．
2.
【答案】
D
【考点】
子集与真子集
分类加法计数原理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：满足题意的集合A分两类：
第一类有一个奇数有{1}，{3}，{1, 2}，{2, 3}，共4个；
第二类有两个奇数有{1, 3}，1个，
所以共有4+1=5（个）．
故选D．
3.
【答案】
C
【考点】
分步乘法计数原理
【解析】
根据题意，分析可得除小张外，每位同学都有3种选择，小张只有2种选择，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】
解：除小张外，每位同学都可以报A，B，C三个课外活动小组中任意一个，都有3种选择，
小张不能报A小组，只有2种选择，
所以不同的报名方法有3×3×3×2=54（种）．
故选C．
4.
【答案】
C
【考点】
变化的快慢与变化率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由区间可知2a>a，可得a>0，
又由f2a−fa2a−a=16a4−a4a=15a3=15，解得a=1．
故选C．
5.
【答案】
C
【考点】
分类加法计数原理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：买一本，有3种方案；
买两本，有3种方案；
买三本，有1种方案，
因此共有方案：3+3+1=7种．
故选C．
6.
【答案】
D
【考点】
等差数列
分类加法计数原理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：分两类：
第一类，公差大于0，有以下4个等差数列：①1,2,3，②2,3,4，③3,4,5，④1,3,5；
第二类，公差小于0，有以下4个等差数列：①3,2,1，②4,3,2，③5,4,3，④5,3,1．
根据分类加法计数原理可知，
可组成的不同的等差数列共有4+4=8（个）.
故选D.
7.
【答案】
D
【考点】
排列及排列数公式
【解析】
根据排列数公式计算即可．
【解答】
解：A76=7×6A54，A65=6A54，
所以A76−A65A54=7×6A54−6A54A54=36A54A54=36.
故选D.
8.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的极值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由f′x=3x2−a，有f′1=3−a=2，解得a=1，
有fx=x3−x，f′x=3x2−1，
令f′x=0可得函数fx的极值点为x=±33，
有f33=333−33=−239，
f−33=−333−(−33)=239，
则函数fx的极值之积为239×−239=−427．
故选B．
9.
【答案】
D
【考点】
基本不等式
不等式比较两数大小
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由3+12−222=4+23−8
=23−4=23−2<0，
可知3+1<22，故A选项错误；
由m+1m+2−12=m2m+4>0，
可知m+1m+2>12，故B选项错误：
若a=5，b=4，c=3，d=1，故C选项错误；
由2m+8n=21m+4nm+n
=24mn+nm+5≥224mn×nm+5=18，
当且仅当4mn=nm，m+n=1，
即m=13，n=23时取等号，故D选项正确．
故选D．
10.
【答案】
C
【考点】
排列及排列数公式
计数原理的应用
【解析】
根据排列组合的有关知识可知，用0，1，2，3这四个数字组成四位数字共有3×4×4×4=192个；其中没有重复数字的有3×3×2×1=18个；进而得到答案．
【解答】
解：由题意可知，由0，1，2，3这四个数字组成四位数时首位不能含0，
故共有3×4×4×4=192（个），
其中无重复数字的四位数共有3A33=18（个），
故有重复数字的四位数共有192−18=174（个）.
故选C.
11.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由f′x=x−a−1x=x2−ax−1x，
若函数fx在区间1,2内有最小值，
此时函数fx必定存在极值点，
由Δ=a2+4>0，
设x1，x2为一元二次方程x2−ax−1=0的两根，
有x1+x2=a，x1x2=−1<0，
故只需要1令gx=x2−ax−1，
有g1=−a<0，g2=3−2a>0， 解得0故选C．
12.
【答案】
D
【考点】
数学归纳法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解： n=1时，有1个三角形，3根火柴；
n=2时，有3个三角形，9根火柴；
n=3时，有6个三角形，18根火柴；
n=4时，有10个三角形，30根火柴；
n=i时，有ii+12个三角形（其中三角形指的是），3ii+12根火柴，
可得当n=20时，有3×20×212=630根火柴．
故选D．
二、填空题
【答案】
2−e2
【考点】
定积分
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：1e1x−2xdx=(lnx−x2)|1e
=(lne−e2)−(ln1−1)=2−e2．
故答案为：2−e2．
【答案】
−2
【考点】
导数的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由f′x=2x+2f′1，
取x=1，有f′1=2+2f′1，可得f′1=−2．
故答案为：−2．
【答案】
2k
【考点】
数学归纳法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：左边增加的项为2k+1+2k+2+⋯+2k+1，
共2k+1−2k=2k项．
故答案为：2k．
【答案】
36
【考点】
排列及排列数公式
【解析】
分3步进行分析：①用捆绑法分析A、B，②计算其中A、B相邻又满足B、C相邻的情况，即将ABC看成一个元素，与其他产品全排列，③在全部数目中将A、B相邻又满足A、C相邻的情况排除即可得答案．
【解答】
解：先考虑产品A与B相邻，把A，B作为一个元素有A44种方法，
而A，B可交换位置，所以有2A44=48种摆法.
又当A，B相邻又满足A，C相邻，有2A33=12种摆法，
故满足条件的摆法有48−12=36(种)．
故答案为：36.
三、解答题
【答案】
解：(1)由z+1z=a+i+1a+i
=a+i+a−ia+ia−i
=a+i+a−ia2+1
=a+aa2+1+1−1a2+1i
=a+aa2+1+a2a2+1i，
由z+1z为实数，有a2a2+1=0，解得a=0．
(2)由(1)可知z=i，
将z=i代入方程x2+bx+c=0，有i2+bi+c=0，
整理为bi+c−1=0，
由复数相等有b=0，c−1=0，解得b=0，c=1，
故b=0，c=1．
【考点】
复数的基本概念
复数代数形式的混合运算
复数相等的充要条件
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由z+1z=a+i+1a+i
=a+i+a−ia+ia−i
=a+i+a−ia2+1
=a+aa2+1+1−1a2+1i
=a+aa2+1+a2a2+1i，
由z+1z为实数，有a2a2+1=0，解得a=0．
(2)由(1)可知z=i，
将z=i代入方程x2+bx+c=0，有i2+bi+c=0，
整理为bi+c−1=0，
由复数相等有b=0，c−1=0，解得b=0，c=1，
故b=0，c=1．
【答案】
解：(1)从O型血的人中选1人有28种不同的选法，从A型血中选1人有7种不同的选法，从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．
任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，
所以用分类加法计数原理，不同的选法有28+7+9+3=47（种）．
(2)要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才完成，
所以用分步乘法计数原理，不同的选法有28×7×9×3=5292（种）．
【考点】
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
【解析】
（1）任选一个人去献血，在O型血中选1人有28种不同的选法，从A型血中有7种不同的选法，从B型血的人中有9种不同的选法，从AB型血中选1人有3种不同的选法．根据分类计数原理得到结果．
（2）要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，在这四种不同的血型中分别有28，7，9，3种结果，用分步计数原理得到结果．
【解答】
解：(1)从O型血的人中选1人有28种不同的选法，从A型血中选1人有7种不同的选法，从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．
任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，
所以用分类加法计数原理，不同的选法有28+7+9+3=47（种）．
(2)要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才完成，
所以用分步乘法计数原理，不同的选法有28×7×9×3=5292（种）．
【答案】
解：(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有A63=120种方法，其余5个演唱节目，有A55=120种方法，
共有120×120=14400种方法；
(2)∵ 8个节目全排列有A88=40320种方法，
若前4个节目中要有舞蹈节目的否定是前四个节目全是唱歌节目有A54A44=2880种方法，
∴ 前4个节目中要有舞蹈节目的排法为：A88−A54A44=37440种．
【考点】
排列、组合及简单计数问题
互斥事件与对立事件
【解析】
（1）3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有A63=120种方法，其余5个演唱节目，有A55=120种方法，利用乘法原理可得结论；
（2）先不考虑限制条件，8个节目全排列有A88种方法，前4个节目中要有舞蹈的否定是前四个节目全是唱歌有A54A44，用所有的排列减去不符合条件的排列，得到结果．
【解答】
解：(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有A63=120种方法，其余5个演唱节目，有A55=120种方法，
共有120×120=14400种方法；
(2)∵ 8个节目全排列有A88=40320种方法，
若前4个节目中要有舞蹈节目的否定是前四个节目全是唱歌节目有A54A44=2880种方法，
∴ 前4个节目中要有舞蹈节目的排法为：A88−A54A44=37440种．
【答案】
解：(1)由f′x=3ax2−4ax=ax3x−4，
①当a>0时，令f′x>0，可得x>43或x<0，
此时函数fx的增区间为(−∞,0)，(43,+∞)，减区间为0,43．
由f0=b，
f−1=−a−2a+b=b−3a，
f43=6427a−329a+b=b−3227a，
f2=8a−8a+b=b，
有b=1，b−3a=−2，可得a=1，b=1.
②当a<0时，令f′x>0可得0此时函数fx的减区间为−∞,0，43,+∞，增区间为0,43，
由f0=b，
f−1=−a−2a+b=b−3a，
f43=6427a−329a+b=b−3227a，
f2=8a−8a+b=b，
有b=−2，b−3a=1，可得a=−1，b=−2.
由上知a=1，b=1或a=−1，b=−2.
(2)①当a=b=1时，
f0=1，f43=1−3227=−527，
若函数gx有且仅有三个零点，实数m的取值范围为−527,1；
②当a=−1，b=−2时，
f0=−2，f43=−2+3227=−2227，
若函数gx有且仅有三个零点，实数m的取值范围为−2,−2227．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
由函数零点求参数取值范围问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由f′x=3ax2−4ax=ax3x−4，
①当a>0时，令f′x>0，可得x>43或x<0，
此时函数fx的增区间为(−∞,0)，(43,+∞)，减区间为0,43．
由f0=b，
f−1=−a−2a+b=b−3a，
f43=6427a−329a+b=b−3227a，
f2=8a−8a+b=b，
有b=1，b−3a=−2，可得a=1，b=1.
②当a<0时，令f′x>0可得0此时函数fx的减区间为−∞,0，43,+∞，增区间为0,43，
由f0=b，
f−1=−a−2a+b=b−3a，
f43=6427a−329a+b=b−3227a，
f2=8a−8a+b=b，
有b=−2，b−3a=1，可得a=−1，b=−2.
由上知a=1，b=1或a=−1，b=−2.
(2)①当a=b=1时，
f0=1，f43=1−3227=−527，
若函数gx有且仅有三个零点，实数m的取值范围为−527,1；
②当a=−1，b=−2时，
f0=−2，f43=−2+3227=−2227，
若函数gx有且仅有三个零点，实数m的取值范围为−2,−2227．
【答案】
解：(1)设正四棱锥容器的高为h，
则正四棱锥容器的侧棱长为h2+22x2=h2+12x2，
正四棱锥的侧面积为4×12x×(h2+12x2)−14x2=2xh2+14x2，
有2xh2+14x2=100，
可得h2=2500x2−14x2，得h=2500x2−14x2 ，
fx=13x2h=13x2×2500x2−14x2
=132500x2−14x6=1610000x2−x6，
由2500x2−14x2>0，可得0则函数y=fx的表达式为fx=1610000x2−x60(2)令gx=10000x2−x60有g′x=20000x−6x5=2x10000−3x4，
令g′x>0，可得0可得函数gx的增区间为0,1043，减区间为1043,+∞，
故当该正四棱锥的容积取得最大值，此时x的值为1043．
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
利用导数研究函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设正四棱锥容器的高为h，
则正四棱锥容器的侧棱长为h2+22x2=h2+12x2，
正四棱锥的侧面积为4×12x×(h2+12x2)−14x2=2xh2+14x2，
有2xh2+14x2=100，
可得h2=2500x2−14x2，得h=2500x2−14x2 ，
fx=13x2h=13x2×2500x2−14x2
=132500x2−14x6=1610000x2−x6，
由2500x2−14x2>0，可得0则函数y=fx的表达式为fx=1610000x2−x60(2)令gx=10000x2−x60有g′x=20000x−6x5=2x10000−3x4，
令g′x>0，可得0可得函数gx的增区间为0,1043，减区间为1043,+∞，
故当该正四棱锥的容积取得最大值，此时x的值为1043．
【答案】
解：(1)设切点为Pm,2m−lnm，
由f′x=2−1x，
则曲线y=fx过点P的切线方程为y−2m−lnm=2−1mx−m，
代入点−1,0的坐标，有−2m+lnm=2−1m−1−m，
整理为lnm−1m+1=0，
令gx=lnx−1x+1，有g′x=1x+1x2>0，
可得函数gx单调递增，
又由g1=0，可得m=1，
则曲线y=fx过点−1,0的切线方程为y−2=x−1，
整理为y=x+1．
(2)gx=2x−lnx−xlnx−ax，
有g′x=2−1x−lnx−1−a=−1x−lnx+1−a，
若函数gx单调递减，
则必有当x>0时，−1x−lnx+1−a≤0恒成立，
可化为1−a≤1x+lnx，
令hx=1x+lnx，
有h′x=−1x2+1x=x−1x2，
令h′(x)>0，可得x>1，
有函数hx的增区间为(1,+∞)，减区间为0,1，
有hxmin=h1=1，
有1−a≤1，可得a≥0，
故若函数gx单调递减，
则实数a的取值范围为[0,+∞)．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设切点为Pm,2m−lnm，
由f′x=2−1x，
则曲线y=fx过点P的切线方程为y−2m−lnm=2−1mx−m，
代入点−1,0的坐标，有−2m+lnm=2−1m−1−m，
整理为lnm−1m+1=0，
令gx=lnx−1x+1，有g′x=1x+1x2>0，
可得函数gx单调递增，
又由g1=0，可得m=1，
则曲线y=fx过点−1,0的切线方程为y−2=x−1，
整理为y=x+1．
(2)gx=2x−lnx−xlnx−ax，
有g′x=2−1x−lnx−1−a=−1x−lnx+1−a，
若函数gx单调递减，
则必有当x>0时，−1x−lnx+1−a≤0恒成立，
可化为1−a≤1x+lnx，
令hx=1x+lnx，
有h′x=−1x2+1x=x−1x2，
令h′(x)>0，可得x>1，
有函数hx的增区间为(1,+∞)，减区间为0,1，
有hxmin=h1=1，
有1−a≤1，可得a≥0，
故若函数gx单调递减，
则实数a的取值范围为[0,+∞)．