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2020-2021学年广西省南宁市高二（上）11月联考考试数学（文）试卷人教A版
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这是一份2020-2021学年广西省南宁市高二（上）11月联考考试数学（文）试卷人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合A={x|−1≤x≤1}，B={x|0A.x|−1≤x≤1B.x|−1≤x<1C.x|0≤x≤1D.x|0
2. 若a→=1,2，b→=1,0，则2a→+b→等于（ ）
A.2,3B.3,4C.1,3D.2,1
3. 在△ABC中，已知a=4，b=6，B=60∘，则sinA的值为（ ）
A.33B.32C.63D.62
4. 函数fx=ex−5的零点所在的区间可以是（ ）
A.−1,0B.0,1C.1,2D.2,3
5. 设变量x，y满足约束条件y≤x，x+y≥2，y≥3x−6，则目标函数z=2x+y的最小值为（ ）
A.1B.2C.3D.8
6. 在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项的和为( )
A.44B.88C.99D.110
7. 设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则下列命题中正确的是( )
A.若l // m，m⊥α，n⊥α，则l // n
B.若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α
C.若m⊂α，n⊂α，l⊥n，则l // m
D.若l⊥m，l⊥n，则n // m
8. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=3n−1，则其通项公式an等于( )
A.3nB.12(3n−1)C.2×3n−1D.2×3n−1
9. 将函数fx=sin3x+π2的图象向左平移π4个单位长度，所得的图象所对应的函数解析式是（ ）
A.y=sin3x+π4B.y=sin3x+3π4
C.y=sin3x−π12D.y=sin3x+5π12
10. 执行如图所示的程序框图，则输出的b的值为（ ）
A.127B.63C.31D.15
11. 不等式x2−2x+5≥a2−3a对任意实数x恒成立，则实数a的最大值与最小值之和为( )
A.3B.−3C.2D.−2
12. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acsB+bcsA=csinC，S=14(b2+c2−a2)，则∠B等于( )
A.90∘B.60∘C.45∘D.30∘
二、填空题
一艘船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30∘处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75∘，且与它相距82海里，则此船的航速是________海里/小时．
三、解答题
已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2+c2−a2−3bc=0.
(1)求角A的值；
(2)求3csB−sinB的取值范围．
某学校随机抽取新生调查其上学路途所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是0,100，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．
(1)求直方图中x的值；
(2)如果上学时间不少于1小时的学生须在学校住宿．
①用分层抽样法从600名新生中抽取1个25人的样本，求应分别从“不住宿学生”和“住宿学生”中各抽取多少人；
②从①中抽取的25人中随机选取2人，求恰有1人是“住宿学生”的概率．
已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d(d≠1)，且a1=b1，a4=b4，a10=b10．
(1)求实数a1和d的值；
(2)若b16=ak+1，求k的值．
已知向量m→=2,sinα，n→=csα,−1，其中α∈0,π2，且m→⊥n→.
(1)求sin2α和cs2α的值；
(2)若sinα−β=1010，且β∈0,π2，求角β.
某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y1与投资金额x的函数关系为y1=18−180x+10，B产品的利润y2与投资金额x的函数关系为y2=x5 （注：利润与投资金额单位：万元）．
(1)该公司已有100万元资金，并全部投入A，B两种产品中，其中x万元资金投入A产品，试把A，B两种产品利润总和表示为x的函数，并写出定义域；
(2)试问：怎样分配这100万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2−n，在正项等比数列{bn}中，b2=a2，b4=a5．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn=an⋅bn，求数列{cn}的前n项和Tn．
参考答案与试题解析
2020-2021学年广西省南宁市高二（上）11月联考考试数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
交集及其运算
【解析】
A∩B={x|0【解答】
解：A={x|−1≤x≤1}，B={x|0A∩B={x|0故选D.
2.
【答案】
B
【考点】
平面向量的坐标运算
【解析】
2a→+b→=2,4+1,0=3,4 .
【解答】
解：2a→+b→=2,4+1,0=3,4 .
故选B .
3.
【答案】
A
【考点】
正弦定理
【解析】
由B的度数求出sinB的值，再由a与b的值，利用正弦定理即可求出sinA的值．
【解答】
解：∵ a=4，b=6，B=60∘，
∴ 由正弦定理asinA=bsinB得：sinA=asinBb=4×326=33．
故选A.
4.
【答案】
C
【考点】
函数的零点
【解析】
【解答】
解：f1=e−5<0，f2=e2−5>0 .
故选C .
5.
【答案】
C
【考点】
求线性目标函数的最值
【解析】
作出约束条件y≤x,x+y≥2,y≥3x−6的可行域，知1,1为所求最优解，∴ zmin=2×1+1=3 .
【解答】
解：作可行域如图
可知目标函数在过点C时取最小值，点C(1,1)，
∴z=2+1=3.
故选C.
6.
【答案】
B
【考点】
等差数列的性质
等差数列的前n项和
【解析】
根据等差数列的定义和性质得 a1+a11=a4+a8=16，再由S11=11(a1+a11)2 运算求得结果．
【解答】
解：∵ 在等差数列{an}中，a4+a8=16，
∴ a1+a11=a4+a8=16，
∴ S11=11(a1+a11)2=88.
故选B.
7.
【答案】
A
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系
命题的真假判断与应用
【解析】
A、根据线面垂直的判定，可判断；
B、选用正方体模型，可得l，m平行、相交、异面都有可能；
C、由垂直于同一平面的两直线平行得m // n，再根据平行线的传递性，即可得l // n；
D、n、m平行、相交、异面均有可能．
【解答】
解：如图，
对于A，由垂直于同一平面的两直线平行得m // n，再根据平行线的传递性，即可得l // n，故A正确；
对于B，根据线面垂直的判定，只有当m，n相交时，结论才一定成立，故B不正确；
对于C，m⊂α，n⊂α，则直线m，n在同一平面内，l⊥n，l与m垂直，相交，异面都有可能，故C不正确；
对于D，l⊥m，l⊥n，则n，m平行、相交、异面均有可能，故D不正确.
故选A．
8.
【答案】
D
【考点】
数列递推式
【解析】
利用n≥2时，an=sn−sn−1及，a1=s1=可求数列的通项公式
【解答】
解：由于Sn=3n−1，
∴ n≥2时，an=Sn−Sn−1=3n−1−(3n−1−1)
=2×3n−1，
当n=1时，a1=S1=2适合上式，
∴ an=2×3n−1.
故选D.
9.
【答案】
D
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
【解答】
解：函数fx=sin3x+π2=sin3x+π6的图象向左平移π4个单位长度得fx=sin3x+π6+π4=sin3x+5π12 .
故选D .
10.
【答案】
B
【考点】
程序框图
【解析】
【解答】
解：第一次运算为b=3，a=2，
第二次运算为b=7，a=3，
第三次运算为b=15，a=4，
第四次运算为b=31，a=5，
第五次运算为b=63，a=6 .
故选B .
11.
【答案】
A
【考点】
不等式恒成立问题
二次函数的性质
一元二次不等式的解法
【解析】
将问题转化为a2−3a≤4，解出即可．
【解答】
解：令f(x)=x2−2x+5=(x−1)2+4，
∴ f(x)最小值=4，
若不等式x2−2x+5≥a2−3a对任意实数x恒成立，
只需a2−3a≤4，解得：−1≤a≤4.
∴ a的最小值为−1，最大值为4，即−1+4=3.
故选A．
12.
【答案】
C
【考点】
正弦定理的应用
两角和与差的正弦公式
【解析】
先利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，化简整理求得sinC的值，进而求得C，然后利用三角形面积公式求得S的表达式，进而求得a=b，推断出三角形为等腰直角三角形，进而求得∠B．
【解答】
解：设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理可知，
acsB+bcsA
=2RsinAcsB+2RsinBcsA
=2Rsin(A+B)
=2RsinC=2RsinC⋅sinC，
∴ sinC=1，∴ C=π2，
∴ a2+b2=c2.
∵ S=12ab=14(b2+c2−a2)，
解得a=b，因此∠B=45∘．
故选C.
二、填空题
【答案】
32
【考点】
解三角形的实际应用
正弦定理
【解析】
【解答】
解：如图：
由题∠A=30∘，∠S=45∘，AB=sinSsinABS=16海里，速度为32海里/小时．
故答案为：32.
三、解答题
【答案】
解：(1)因为b2+c2−a2=3bc，所以csA=b2+c2−a22bc=32 .
因为A∈0,π，所以A=π6 .
(2)3csB−sinB=2csB+π6 .
因为0所以−1所以3csB−sinB∈−2,3 .
【考点】
余弦定理
两角和与差的余弦公式
【解析】
（1）因为b2+c2−a3=3bc，所以csA=b2+c2−a22bc=32 .
因为A∈0,π，所以A=π6 .
（2）3csB−sinB=2csB+π6 . 因为0因为0∴ −1【解答】
解：(1)因为b2+c2−a2=3bc，所以csA=b2+c2−a22bc=32 .
因为A∈0,π，所以A=π6 .
(2)3csB−sinB=2csB+π6 .
因为0所以−1所以3csB−sinB∈−2,3 .
【答案】
解：(1)120=0.05，
∴ x=0.05−0.025−0.0065−0.003−0.003=0.0125 ．
(2)①住宿学生有：0.006×20×600=72(人)，
不住宿学生有：600−72=528(人)，
528×25600=22(人)，72×25600=3(人).
答：应分别抽取不住宿学生22人，住宿学生3人．
②从25人中选取2人的所有可能有:25×24÷2=300种，
恰有1人是“住宿学生”的可能有 22×3=66种，
∴ P=66300=1150 .
【考点】
频率分布直方图
古典概型及其概率计算公式
【解析】
（1）120=0.05，
∴ x=0.05−0.025−0.0065−0.006=0.0125 ．
（2）①0.006×20×600=72人，600−72=528人，528×25600=22人，72×25600=3人，
答：应分别抽取22人，3人．
②从25人中选取2人的所有可能有 24+23+22+⋯+1=3000种，
恰有1人是“住宿学生”的可能有 22×3=66种，
∴ 由古典概型知 P=66300=1150 .
【解答】
解：(1)120=0.05，
∴ x=0.05−0.025−0.0065−0.003−0.003=0.0125 ．
(2)①住宿学生有：0.006×20×600=72(人)，
不住宿学生有：600−72=528(人)，
528×25600=22(人)，72×25600=3(人).
答：应分别抽取不住宿学生22人，住宿学生3人．
②从25人中选取2人的所有可能有:25×24÷2=300种，
恰有1人是“住宿学生”的可能有 22×3=66种，
∴ P=66300=1150 .
【答案】
解：(1)∵ 等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d(d≠1)，
且a1=b1，a4=b4，a10=b10，
∴ a1+3d=a1d3，a1+9d=a1⋅d9，
∴ a1=3dd3−1，a1=9dd9−1，
∴ 3dd3−1=9dd9−1，
整理，得(d3−1)(d6+d3+1)−3(d3−1)=0.
∵ d≠1，∴ d3−1≠0，
∴ (d6+d3+1)−3=0，
∴ (d3+2)(d3−1)=0，
由d3−1≠0，得d3=−2，
解得d=−32，a1=3dd3−1=32．
(2)∵ b16=ak+1，
∴ a1d15=a1+kd，
∴ 32×(−32)15=32+k⋅(−32)，
∴ k=33.
【考点】
数列递推式
等比数列的性质
等差数列的性质
【解析】
（1）由已知得3dd3−1=9dd9−1，由d≠1得d=−32，a1=3dd3−1=32．
（2）b16=b1q15=a1(q3)5=−3232，an=a1+d(n−1)=232−n32，由b16=ak+1，得−3232=232−(k+1)32，由此能求出k．
【解答】
解：(1)∵ 等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d(d≠1)，
且a1=b1，a4=b4，a10=b10，
∴ a1+3d=a1d3，a1+9d=a1⋅d9，
∴ a1=3dd3−1，a1=9dd9−1，
∴ 3dd3−1=9dd9−1，
整理，得(d3−1)(d6+d3+1)−3(d3−1)=0.
∵ d≠1，∴ d3−1≠0，
∴ (d6+d3+1)−3=0，
∴ (d3+2)(d3−1)=0，
由d3−1≠0，得d3=−2，
解得d=−32，a1=3dd3−1=32．
(2)∵ b16=ak+1，
∴ a1d15=a1+kd，
∴ 32×(−32)15=32+k⋅(−32)，
∴ k=33.
【答案】
解：(1)∵m→⊥n→，
∴2csα−sinα=0，
即sinα=2csα，
代入cs2α+sin2α=1，
得5cs2α=1，且α∈0,π2，
则csα=55，sinα=255，
则sin2α=2sinαcsα=2×55×255=45，
cs2α=2cs2α−1=2×15−1=−35．
(2)由α∈(0,π2) ，β∈(0,π2)，得α−β∈(−π2,π2)，
因为sin(α−β)=1010，则cs(α−β)=31010 ，
又sinα=255,csα=55，
则sinβ=sin[α−(α−β)]=sinαcs(α−β)−csαsin(α−β)
=255×31010−55×1010=22，
因为β∈(0,π2)，则β=π4.
【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
左侧图片未给出解析．
【解答】
解：(1)∵m→⊥n→，
∴2csα−sinα=0，
即sinα=2csα，
代入cs2α+sin2α=1，
得5cs2α=1，且α∈0,π2，
则csα=55，sinα=255，
则sin2α=2sinαcsα=2×55×255=45，
cs2α=2cs2α−1=2×15−1=−35．
(2)∵α∈0,π2，β∈0,π2，
∴α−β∈−π2,π2，
又sin(α−β)=1010，
∴cs(α−β)=31010，
∴sinβ=sin[α−(α−β)]
=sinαcs(α−β)−csαsin(α−β)
=255×31010−55×1010
=22，
因β∈0,π2，
得β=π4．
【答案】
解：(1)其中x万元资金投入A产品，
则剩余的100−x（万元）资金投入B产品，
利润总和f(x)=18−180x+10+100−x5
=38−x5−180x+10(x∈[0, 100])．
(2)∵f(x)=40−x+105−180x+10，x∈[0, 100]，
∴ 由基本不等式得：f(x)≤40−236=28，
当且仅当x+105=180x+10时，取等号，即x=20．
答：分别用20万元和80万元资金投资A，B两种金融产品，可以使公司获得最大利润，最大利润为28万元．
【考点】
函数模型的选择与应用
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
(1)其中x万元资金投入A产品，则剩余的100−x（万元）资金投入B产品，根据A产品的利润y1与投资金额x的函数关系为y1=18−180x+10，B产品的利润y2与投资金额x的函数关系为y2=x5，可得利润总和；
（2）f(x)=40−x+105−180x+10，x∈[0, 100]，由基本不等式，可得结论．
【解答】
解：(1)其中x万元资金投入A产品，
则剩余的100−x（万元）资金投入B产品，
利润总和f(x)=18−180x+10+100−x5
=38−x5−180x+10(x∈[0, 100])．
(2)∵f(x)=40−x+105−180x+10，x∈[0, 100]，
∴ 由基本不等式得：f(x)≤40−236=28，
当且仅当x+105=180x+10时，取等号，即x=20．
答：分别用20万元和80万元资金投资A，B两种金融产品，可以使公司获得最大利润，最大利润为28万元．
【答案】
解：(1)∵ Sn=n2−n，∴ 令n=1，a1=0．
an=Sn−Sn−1=2(n−1)(n≥2)，
n=1时也满足上式，
∴ an=2(n−1)．
又∵ 数列{bn}为等比数列，b2=a2=2，b4=a5=8，
∴ b4b2=q2=4，又各项均为正，∴ q=2，
∴ bn=2n−1.
(2)由(1)得：cn=(n−1)⋅2n，
∴ Tn=0+(2−1)⋅22+(3−1)⋅23+⋯+(n−1)⋅2n
=1⋅22+2⋅23+⋯+(n−1)⋅2n，
∴ 2Tn=23+2⋅24+⋯+(n−2)⋅2n+(n−1)⋅2n+1，
−Tn=22+23+24+⋯+2n−(n−1)⋅2n+1
=22(1−2n−1)1−2−(n−1)⋅2n+1
=2n+1−(n−1)⋅2n+1−4，
∴ Tn=(n−2)⋅2n+1+4．
【考点】
等比数列的通项公式
等差数列的通项公式
数列的求和
【解析】
（1）由Sn=n2−n，令n=1，a1=0．an=Sn−Sn−1，(n≥2)，可得an．根据数列{bn}为等比，b2=a2=2，b4=a5=8，可得b4b2=q2=4，又各项均为正，可得q，即可得出bn．
（2）由（1）得：cn=(n−1)∗2n，利用错位相减法即可得出．
【解答】
解：(1)∵ Sn=n2−n，∴ 令n=1，a1=0．
an=Sn−Sn−1=2(n−1)(n≥2)，
n=1时也满足上式，
∴ an=2(n−1)．
又∵ 数列{bn}为等比数列，b2=a2=2，b4=a5=8，
∴ b4b2=q2=4，又各项均为正，∴ q=2，
∴ bn=2n−1.
(2)由(1)得：cn=(n−1)⋅2n，
∴ Tn=0+(2−1)⋅22+(3−1)⋅23+⋯+(n−1)⋅2n
=1⋅22+2⋅23+⋯+(n−1)⋅2n，
∴ 2Tn=23+2⋅24+⋯+(n−2)⋅2n+(n−1)⋅2n+1，
−Tn=22+23+24+⋯+2n−(n−1)⋅2n+1
=22(1−2n−1)1−2−(n−1)⋅2n+1
=2n+1−(n−1)⋅2n+1−4，
∴ Tn=(n−2)⋅2n+1+4．
1. 已知集合A={x|−1≤x≤1}，B={x|0
2. 若a→=1,2，b→=1,0，则2a→+b→等于（ ）
A.2,3B.3,4C.1,3D.2,1
3. 在△ABC中，已知a=4，b=6，B=60∘，则sinA的值为（ ）
A.33B.32C.63D.62
4. 函数fx=ex−5的零点所在的区间可以是（ ）
A.−1,0B.0,1C.1,2D.2,3
5. 设变量x，y满足约束条件y≤x，x+y≥2，y≥3x−6，则目标函数z=2x+y的最小值为（ ）
A.1B.2C.3D.8
6. 在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项的和为( )
A.44B.88C.99D.110
7. 设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则下列命题中正确的是( )
A.若l // m，m⊥α，n⊥α，则l // n
B.若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α
C.若m⊂α，n⊂α，l⊥n，则l // m
D.若l⊥m，l⊥n，则n // m
8. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=3n−1，则其通项公式an等于( )
A.3nB.12(3n−1)C.2×3n−1D.2×3n−1
9. 将函数fx=sin3x+π2的图象向左平移π4个单位长度，所得的图象所对应的函数解析式是（ ）
A.y=sin3x+π4B.y=sin3x+3π4
C.y=sin3x−π12D.y=sin3x+5π12
10. 执行如图所示的程序框图，则输出的b的值为（ ）
A.127B.63C.31D.15
11. 不等式x2−2x+5≥a2−3a对任意实数x恒成立，则实数a的最大值与最小值之和为( )
A.3B.−3C.2D.−2
12. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acsB+bcsA=csinC，S=14(b2+c2−a2)，则∠B等于( )
A.90∘B.60∘C.45∘D.30∘
二、填空题
一艘船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30∘处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75∘，且与它相距82海里，则此船的航速是________海里/小时．
三、解答题
已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2+c2−a2−3bc=0.
(1)求角A的值；
(2)求3csB−sinB的取值范围．
某学校随机抽取新生调查其上学路途所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是0,100，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．
(1)求直方图中x的值；
(2)如果上学时间不少于1小时的学生须在学校住宿．
①用分层抽样法从600名新生中抽取1个25人的样本，求应分别从“不住宿学生”和“住宿学生”中各抽取多少人；
②从①中抽取的25人中随机选取2人，求恰有1人是“住宿学生”的概率．
已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d(d≠1)，且a1=b1，a4=b4，a10=b10．
(1)求实数a1和d的值；
(2)若b16=ak+1，求k的值．
已知向量m→=2,sinα，n→=csα,−1，其中α∈0,π2，且m→⊥n→.
(1)求sin2α和cs2α的值；
(2)若sinα−β=1010，且β∈0,π2，求角β.
某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y1与投资金额x的函数关系为y1=18−180x+10，B产品的利润y2与投资金额x的函数关系为y2=x5 （注：利润与投资金额单位：万元）．
(1)该公司已有100万元资金，并全部投入A，B两种产品中，其中x万元资金投入A产品，试把A，B两种产品利润总和表示为x的函数，并写出定义域；
(2)试问：怎样分配这100万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2−n，在正项等比数列{bn}中，b2=a2，b4=a5．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn=an⋅bn，求数列{cn}的前n项和Tn．
参考答案与试题解析
2020-2021学年广西省南宁市高二（上）11月联考考试数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
交集及其运算
【解析】
A∩B={x|0
解：A={x|−1≤x≤1}，B={x|0
2.
【答案】
B
【考点】
平面向量的坐标运算
【解析】
2a→+b→=2,4+1,0=3,4 .
【解答】
解：2a→+b→=2,4+1,0=3,4 .
故选B .
3.
【答案】
A
【考点】
正弦定理
【解析】
由B的度数求出sinB的值，再由a与b的值，利用正弦定理即可求出sinA的值．
【解答】
解：∵ a=4，b=6，B=60∘，
∴ 由正弦定理asinA=bsinB得：sinA=asinBb=4×326=33．
故选A.
4.
【答案】
C
【考点】
函数的零点
【解析】
【解答】
解：f1=e−5<0，f2=e2−5>0 .
故选C .
5.
【答案】
C
【考点】
求线性目标函数的最值
【解析】
作出约束条件y≤x,x+y≥2,y≥3x−6的可行域，知1,1为所求最优解，∴ zmin=2×1+1=3 .
【解答】
解：作可行域如图
可知目标函数在过点C时取最小值，点C(1,1)，
∴z=2+1=3.
故选C.
6.
【答案】
B
【考点】
等差数列的性质
等差数列的前n项和
【解析】
根据等差数列的定义和性质得 a1+a11=a4+a8=16，再由S11=11(a1+a11)2 运算求得结果．
【解答】
解：∵ 在等差数列{an}中，a4+a8=16，
∴ a1+a11=a4+a8=16，
∴ S11=11(a1+a11)2=88.
故选B.
7.
【答案】
A
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系
命题的真假判断与应用
【解析】
A、根据线面垂直的判定，可判断；
B、选用正方体模型，可得l，m平行、相交、异面都有可能；
C、由垂直于同一平面的两直线平行得m // n，再根据平行线的传递性，即可得l // n；
D、n、m平行、相交、异面均有可能．
【解答】
解：如图，
对于A，由垂直于同一平面的两直线平行得m // n，再根据平行线的传递性，即可得l // n，故A正确；
对于B，根据线面垂直的判定，只有当m，n相交时，结论才一定成立，故B不正确；
对于C，m⊂α，n⊂α，则直线m，n在同一平面内，l⊥n，l与m垂直，相交，异面都有可能，故C不正确；
对于D，l⊥m，l⊥n，则n，m平行、相交、异面均有可能，故D不正确.
故选A．
8.
【答案】
D
【考点】
数列递推式
【解析】
利用n≥2时，an=sn−sn−1及，a1=s1=可求数列的通项公式
【解答】
解：由于Sn=3n−1，
∴ n≥2时，an=Sn−Sn−1=3n−1−(3n−1−1)
=2×3n−1，
当n=1时，a1=S1=2适合上式，
∴ an=2×3n−1.
故选D.
9.
【答案】
D
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
【解答】
解：函数fx=sin3x+π2=sin3x+π6的图象向左平移π4个单位长度得fx=sin3x+π6+π4=sin3x+5π12 .
故选D .
10.
【答案】
B
【考点】
程序框图
【解析】
【解答】
解：第一次运算为b=3，a=2，
第二次运算为b=7，a=3，
第三次运算为b=15，a=4，
第四次运算为b=31，a=5，
第五次运算为b=63，a=6 .
故选B .
11.
【答案】
A
【考点】
不等式恒成立问题
二次函数的性质
一元二次不等式的解法
【解析】
将问题转化为a2−3a≤4，解出即可．
【解答】
解：令f(x)=x2−2x+5=(x−1)2+4，
∴ f(x)最小值=4，
若不等式x2−2x+5≥a2−3a对任意实数x恒成立，
只需a2−3a≤4，解得：−1≤a≤4.
∴ a的最小值为−1，最大值为4，即−1+4=3.
故选A．
12.
【答案】
C
【考点】
正弦定理的应用
两角和与差的正弦公式
【解析】
先利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，化简整理求得sinC的值，进而求得C，然后利用三角形面积公式求得S的表达式，进而求得a=b，推断出三角形为等腰直角三角形，进而求得∠B．
【解答】
解：设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理可知，
acsB+bcsA
=2RsinAcsB+2RsinBcsA
=2Rsin(A+B)
=2RsinC=2RsinC⋅sinC，
∴ sinC=1，∴ C=π2，
∴ a2+b2=c2.
∵ S=12ab=14(b2+c2−a2)，
解得a=b，因此∠B=45∘．
故选C.
二、填空题
【答案】
32
【考点】
解三角形的实际应用
正弦定理
【解析】
【解答】
解：如图：
由题∠A=30∘，∠S=45∘，AB=sinSsinABS=16海里，速度为32海里/小时．
故答案为：32.
三、解答题
【答案】
解：(1)因为b2+c2−a2=3bc，所以csA=b2+c2−a22bc=32 .
因为A∈0,π，所以A=π6 .
(2)3csB−sinB=2csB+π6 .
因为0
【考点】
余弦定理
两角和与差的余弦公式
【解析】
（1）因为b2+c2−a3=3bc，所以csA=b2+c2−a22bc=32 .
因为A∈0,π，所以A=π6 .
（2）3csB−sinB=2csB+π6 . 因为0
解：(1)因为b2+c2−a2=3bc，所以csA=b2+c2−a22bc=32 .
因为A∈0,π，所以A=π6 .
(2)3csB−sinB=2csB+π6 .
因为0
【答案】
解：(1)120=0.05，
∴ x=0.05−0.025−0.0065−0.003−0.003=0.0125 ．
(2)①住宿学生有：0.006×20×600=72(人)，
不住宿学生有：600−72=528(人)，
528×25600=22(人)，72×25600=3(人).
答：应分别抽取不住宿学生22人，住宿学生3人．
②从25人中选取2人的所有可能有:25×24÷2=300种，
恰有1人是“住宿学生”的可能有 22×3=66种，
∴ P=66300=1150 .
【考点】
频率分布直方图
古典概型及其概率计算公式
【解析】
（1）120=0.05，
∴ x=0.05−0.025−0.0065−0.006=0.0125 ．
（2）①0.006×20×600=72人，600−72=528人，528×25600=22人，72×25600=3人，
答：应分别抽取22人，3人．
②从25人中选取2人的所有可能有 24+23+22+⋯+1=3000种，
恰有1人是“住宿学生”的可能有 22×3=66种，
∴ 由古典概型知 P=66300=1150 .
【解答】
解：(1)120=0.05，
∴ x=0.05−0.025−0.0065−0.003−0.003=0.0125 ．
(2)①住宿学生有：0.006×20×600=72(人)，
不住宿学生有：600−72=528(人)，
528×25600=22(人)，72×25600=3(人).
答：应分别抽取不住宿学生22人，住宿学生3人．
②从25人中选取2人的所有可能有:25×24÷2=300种，
恰有1人是“住宿学生”的可能有 22×3=66种，
∴ P=66300=1150 .
【答案】
解：(1)∵ 等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d(d≠1)，
且a1=b1，a4=b4，a10=b10，
∴ a1+3d=a1d3，a1+9d=a1⋅d9，
∴ a1=3dd3−1，a1=9dd9−1，
∴ 3dd3−1=9dd9−1，
整理，得(d3−1)(d6+d3+1)−3(d3−1)=0.
∵ d≠1，∴ d3−1≠0，
∴ (d6+d3+1)−3=0，
∴ (d3+2)(d3−1)=0，
由d3−1≠0，得d3=−2，
解得d=−32，a1=3dd3−1=32．
(2)∵ b16=ak+1，
∴ a1d15=a1+kd，
∴ 32×(−32)15=32+k⋅(−32)，
∴ k=33.
【考点】
数列递推式
等比数列的性质
等差数列的性质
【解析】
（1）由已知得3dd3−1=9dd9−1，由d≠1得d=−32，a1=3dd3−1=32．
（2）b16=b1q15=a1(q3)5=−3232，an=a1+d(n−1)=232−n32，由b16=ak+1，得−3232=232−(k+1)32，由此能求出k．
【解答】
解：(1)∵ 等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d(d≠1)，
且a1=b1，a4=b4，a10=b10，
∴ a1+3d=a1d3，a1+9d=a1⋅d9，
∴ a1=3dd3−1，a1=9dd9−1，
∴ 3dd3−1=9dd9−1，
整理，得(d3−1)(d6+d3+1)−3(d3−1)=0.
∵ d≠1，∴ d3−1≠0，
∴ (d6+d3+1)−3=0，
∴ (d3+2)(d3−1)=0，
由d3−1≠0，得d3=−2，
解得d=−32，a1=3dd3−1=32．
(2)∵ b16=ak+1，
∴ a1d15=a1+kd，
∴ 32×(−32)15=32+k⋅(−32)，
∴ k=33.
【答案】
解：(1)∵m→⊥n→，
∴2csα−sinα=0，
即sinα=2csα，
代入cs2α+sin2α=1，
得5cs2α=1，且α∈0,π2，
则csα=55，sinα=255，
则sin2α=2sinαcsα=2×55×255=45，
cs2α=2cs2α−1=2×15−1=−35．
(2)由α∈(0,π2) ，β∈(0,π2)，得α−β∈(−π2,π2)，
因为sin(α−β)=1010，则cs(α−β)=31010 ，
又sinα=255,csα=55，
则sinβ=sin[α−(α−β)]=sinαcs(α−β)−csαsin(α−β)
=255×31010−55×1010=22，
因为β∈(0,π2)，则β=π4.
【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
左侧图片未给出解析．
【解答】
解：(1)∵m→⊥n→，
∴2csα−sinα=0，
即sinα=2csα，
代入cs2α+sin2α=1，
得5cs2α=1，且α∈0,π2，
则csα=55，sinα=255，
则sin2α=2sinαcsα=2×55×255=45，
cs2α=2cs2α−1=2×15−1=−35．
(2)∵α∈0,π2，β∈0,π2，
∴α−β∈−π2,π2，
又sin(α−β)=1010，
∴cs(α−β)=31010，
∴sinβ=sin[α−(α−β)]
=sinαcs(α−β)−csαsin(α−β)
=255×31010−55×1010
=22，
因β∈0,π2，
得β=π4．
【答案】
解：(1)其中x万元资金投入A产品，
则剩余的100−x（万元）资金投入B产品，
利润总和f(x)=18−180x+10+100−x5
=38−x5−180x+10(x∈[0, 100])．
(2)∵f(x)=40−x+105−180x+10，x∈[0, 100]，
∴ 由基本不等式得：f(x)≤40−236=28，
当且仅当x+105=180x+10时，取等号，即x=20．
答：分别用20万元和80万元资金投资A，B两种金融产品，可以使公司获得最大利润，最大利润为28万元．
【考点】
函数模型的选择与应用
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
(1)其中x万元资金投入A产品，则剩余的100−x（万元）资金投入B产品，根据A产品的利润y1与投资金额x的函数关系为y1=18−180x+10，B产品的利润y2与投资金额x的函数关系为y2=x5，可得利润总和；
（2）f(x)=40−x+105−180x+10，x∈[0, 100]，由基本不等式，可得结论．
【解答】
解：(1)其中x万元资金投入A产品，
则剩余的100−x（万元）资金投入B产品，
利润总和f(x)=18−180x+10+100−x5
=38−x5−180x+10(x∈[0, 100])．
(2)∵f(x)=40−x+105−180x+10，x∈[0, 100]，
∴ 由基本不等式得：f(x)≤40−236=28，
当且仅当x+105=180x+10时，取等号，即x=20．
答：分别用20万元和80万元资金投资A，B两种金融产品，可以使公司获得最大利润，最大利润为28万元．
【答案】
解：(1)∵ Sn=n2−n，∴ 令n=1，a1=0．
an=Sn−Sn−1=2(n−1)(n≥2)，
n=1时也满足上式，
∴ an=2(n−1)．
又∵ 数列{bn}为等比数列，b2=a2=2，b4=a5=8，
∴ b4b2=q2=4，又各项均为正，∴ q=2，
∴ bn=2n−1.
(2)由(1)得：cn=(n−1)⋅2n，
∴ Tn=0+(2−1)⋅22+(3−1)⋅23+⋯+(n−1)⋅2n
=1⋅22+2⋅23+⋯+(n−1)⋅2n，
∴ 2Tn=23+2⋅24+⋯+(n−2)⋅2n+(n−1)⋅2n+1，
−Tn=22+23+24+⋯+2n−(n−1)⋅2n+1
=22(1−2n−1)1−2−(n−1)⋅2n+1
=2n+1−(n−1)⋅2n+1−4，
∴ Tn=(n−2)⋅2n+1+4．
【考点】
等比数列的通项公式
等差数列的通项公式
数列的求和
【解析】
（1）由Sn=n2−n，令n=1，a1=0．an=Sn−Sn−1，(n≥2)，可得an．根据数列{bn}为等比，b2=a2=2，b4=a5=8，可得b4b2=q2=4，又各项均为正，可得q，即可得出bn．
（2）由（1）得：cn=(n−1)∗2n，利用错位相减法即可得出．
【解答】
解：(1)∵ Sn=n2−n，∴ 令n=1，a1=0．
an=Sn−Sn−1=2(n−1)(n≥2)，
n=1时也满足上式，
∴ an=2(n−1)．
又∵ 数列{bn}为等比数列，b2=a2=2，b4=a5=8，
∴ b4b2=q2=4，又各项均为正，∴ q=2，
∴ bn=2n−1.
(2)由(1)得：cn=(n−1)⋅2n，
∴ Tn=0+(2−1)⋅22+(3−1)⋅23+⋯+(n−1)⋅2n
=1⋅22+2⋅23+⋯+(n−1)⋅2n，
∴ 2Tn=23+2⋅24+⋯+(n−2)⋅2n+(n−1)⋅2n+1，
−Tn=22+23+24+⋯+2n−(n−1)⋅2n+1
=22(1−2n−1)1−2−(n−1)⋅2n+1
=2n+1−(n−1)⋅2n+1−4，
∴ Tn=(n−2)⋅2n+1+4．
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